Trigonometri #2

MATEMATIKA SMA • KELAS X • TAHAP 2

Sudut Istimewa, Sudut Berelasi, dan Identitas Trigonometri

Mengenali pola, menentukan nilai eksak, memahami tanda di setiap kuadran, dan menyederhanakan bentuk trigonometri melalui eksplorasi dan latihan.

Pada tahap ini, kita memperdalam tiga keterampilan penting: menemukan nilai trigonometri sudut istimewa, menggunakan hubungan antar-sudut, dan menerapkan identitas trigonometri. Pastikan kamu sudah memahami perbandingan sinus, cosinus, dan tangen.

1. Sudut istimewa2. Pola nilai eksak3. Sudut berelasi4. Eksplorasi kuadran5. Identitas dasar6. Menyederhanakan bentuk7. Aplikasi8. Evaluasi

1. Mengingat Nilai Sudut Istimewa

Sudut istimewa yang sering digunakan adalah \(0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,\) dan \(90^\circ\).

\(\theta\)	\(\sin\theta\)	\(\cos\theta\)	\(\tan\theta\)
\(0^\circ\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(30^\circ\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)
\(45^\circ\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(1\)
\(60^\circ\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac12\)	\(\sqrt3\)
\(90^\circ\)	\(1\)	\(0\)	tidak terdefinisi

Pola cepat nilai sinus: untuk urutan sudut \(0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ\), gunakan \(\frac{\sqrt0}{2},\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt4}{2}\). Nilai cosinus mengikuti pola yang sama dari arah terbalik.

Coba sendiri. Berapa nilai eksak \(\sin60^\circ+\cos60^\circ\)?

Pembahasan

\(\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\) dan \(\cos60^\circ=\frac12\), sehingga hasilnya \(\frac{\sqrt3+1}{2}\).

2. Menemukan Nilai Eksak dari Segitiga Istimewa

Segitiga \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\)

Jika kedua kaki segitiga panjangnya 1, sisi miringnya \(\sqrt2\).

\(\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\)

Segitiga \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\)

Dari segitiga sama sisi yang dibagi dua, panjang sisinya berbanding \(1:\sqrt3:2\).

\(\sin30^\circ=\frac12,\quad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\)

Latihan: lengkapi nilai

\(\cos30^\circ\)Pilih jawaban\(\frac12\)\(\frac{\sqrt3}{2}\)\(\frac{\sqrt2}{2}\)

\(\tan60^\circ\)Pilih jawaban\(\frac{\sqrt3}{3}\)\(1\)\(\sqrt3\)

\(\sin45^\circ\)Pilih jawaban\(\frac{\sqrt2}{2}\)\(\frac12\)\(\sqrt2\)

Pilih jawaban untuk ketiga nilai.

3. Sudut Berelasi

Sudut berelasi memungkinkan kita menentukan nilai trigonometri tanpa menghitung dari awal. Gunakan sudut acuan dan tanda rasio berdasarkan kuadran.

Komplemen

\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)

\(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\)

\(\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}\)

Kuadran II

\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\)

\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)

\(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\)

Kuadran III

\(\sin(180^\circ+\theta)=-\sin\theta\)

\(\cos(180^\circ+\theta)=-\cos\theta\)

\(\tan(180^\circ+\theta)=\tan\theta\)

Kuadran IV

\(\sin(360^\circ-\theta)=-\sin\theta\)

\(\cos(360^\circ-\theta)=\cos\theta\)

\(\tan(360^\circ-\theta)=-\tan\theta\)

Strategi: (1) tentukan sudut acuan, (2) tentukan kuadran, (3) tentukan tanda, (4) gunakan nilai sudut istimewa.

Contoh 1: tentukan \(\cos150^\circ\)

\(150^\circ=180^\circ-30^\circ\), berada di kuadran II. Cosinus negatif, sehingga \(\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Contoh 2: tentukan \(\tan225^\circ\)

\(225^\circ=180^\circ+45^\circ\), berada di kuadran III. Tangen positif, sehingga \(\tan225^\circ=\tan45^\circ=1\).

Contoh 3: tentukan \(\sin330^\circ\)

\(330^\circ=360^\circ-30^\circ\), berada di kuadran IV. Sinus negatif, sehingga \(\sin330^\circ=-\sin30^\circ=-\frac12\).

4. Eksplorasi Sudut dan Kuadran

Geser sudut, lalu amati tanda sinus, cosinus, dan tangen. Perhatikan bahwa tanda berubah ketika titik melewati sumbu koordinat.

Sudut: 135°

Nilai rasio ditampilkan di sini.

Pada sumbu koordinat, salah satu rasio bisa bernilai nol atau tangen tidak terdefinisi. Contohnya, \(\tan90^\circ\) tidak terdefinisi karena \(\cos90^\circ=0\).

5. Identitas Trigonometri Dasar

Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai sudut pada domain tempat kedua ruas terdefinisi.

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cos\theta\ne0\)

\(\displaystyle 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta},\quad \cos\theta\ne0\)

Contoh penggunaan

Jika \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) dan \(\theta\) sudut lancip, tentukan \(\cos\theta\).

Lihat pembahasan

\(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\). Karena sudut lancip, cosinus positif. Jadi, \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).

Latihan. Jika \(\cos\theta=\frac{8}{17}\) dan \(\theta\) sudut lancip, tentukan \(\sin\theta\).

Kunci dan pembahasan

\(\sin^2\theta=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}\). Karena sudut lancip, \(\sin\theta=\frac{15}{17}\).

6. Menyederhanakan Bentuk Trigonometri

Gunakan identitas untuk mengganti bentuk yang rumit menjadi bentuk yang lebih sederhana. Perhatikan syarat penyebut tidak boleh nol.

Contoh 1: sederhanakan \(\frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta}\)

Dari identitas \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), diperoleh \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\). Maka bentuk tersebut menjadi \(\frac{\sin^2\theta}{\sin\theta}=\sin\theta\), untuk \(\sin\theta\ne0\).

Contoh 2: sederhanakan \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

Berdasarkan definisi tangen, \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta\), dengan syarat \(\cos\theta\ne0\).

Latihan 1. Sederhanakan \(\sin^2\theta+\cos^2\theta+\tan\theta\).

Kunci

Bagian \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), sehingga hasilnya \(1+\tan\theta\), selama tangen terdefinisi.

Latihan 2. Sederhanakan \(\frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta}\).

Kunci dan pembahasan

\(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\), sehingga hasilnya \(\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta}=\cos\theta\), dengan syarat \(\cos\theta\ne0\).

7. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Sudut berelasi dan identitas membantu menghitung nilai tanpa alat ukur langsung. Misalnya, jika sudut elevasi \(150^\circ\) tidak masuk akal untuk pengukuran tinggi, sudut acuan dapat membantu mengenali arah yang tepat; untuk pengukuran tinggi nyata, gunakan sudut elevasi lancip terhadap garis horizontal.

Contoh: tangga bersandar pada dinding

Sebuah tangga sepanjang 5 m membentuk sudut \(60^\circ\) terhadap lantai. Berapa tinggi ujung tangga pada dinding?

\(\sin60^\circ=\frac{h}{5}\)

\(\displaystyle h=5\sin60^\circ=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33\text{ m}\).

Kalkulator tinggi tangga

Panjang tangga (m)

Sudut terhadap lantai (°)

Masukkan data dan tekan hitung.

8. Evaluasi Tahap 2

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, kemudian tekan Periksa jawaban. Pembahasan dapat dibuka satu per satu.

1. Nilai \(\sin60^\circ\) adalah …

\(\frac12\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\)

Kunci dan pembahasan

B. \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\).

2. Nilai \(\cos150^\circ\) adalah …

\(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\)

Kunci dan pembahasan

C. \(150^\circ=180^\circ-30^\circ\), cosinus negatif di kuadran II.

3. Nilai \(\tan225^\circ\) adalah …

\(1\) \(-1\) \(\sqrt3\)

Kunci dan pembahasan

A. Tangen positif di kuadran III dan sudut acuannya \(45^\circ\).

4. Identitas yang benar adalah …

\(\sin\theta+\cos\theta=1\) \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) \(\sin^2\theta-\cos^2\theta=1\)

Kunci dan pembahasan

B. Ini adalah identitas Pythagoras trigonometri.

5. Jika \(\sin\theta=\frac5{13}\) dan \(\theta\) lancip, maka \(\cos\theta=\)…

\(\frac{12}{13}\) \(\frac8{13}\) \(\frac5{12}\)

Kunci dan pembahasan

A. \(\cos^2\theta=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\), jadi cosinusnya \(\frac{12}{13}\).

6. Tangga 5 m membentuk sudut \(30^\circ\) terhadap lantai. Tinggi ujung tangga adalah …

\(5\sqrt3/2\) m \(5\) m \(2{,}5\) m

Kunci dan pembahasan

C. \(h=5\sin30^\circ=5\cdot\frac12=2{,}5\) m.

Skor akan muncul di sini.

Rangkuman Tahap 2

• Nilai sudut istimewa dapat diperoleh dari segitiga \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\) dan \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\).
• Sudut berelasi memakai sudut acuan dan tanda pada kuadran.
• Identitas utama: \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\).
• Identitas membantu menyederhanakan bentuk, tetapi syarat penyebut tidak nol harus diperhatikan.
• Trigonometri dapat digunakan untuk mengukur tinggi dan panjang secara tidak langsung.

Hebat! Setelah memahami materi ini, lanjutkan ke fungsi dan grafik trigonometri untuk mempelajari amplitudo, periode, dan perubahan bentuk gelombang.