Sebelum mempelajari tentang permutasi dan kombinasi, kita perlu mengenal istilah faktorial. Faktorial pada Matematika disimbolkan dengan tanda seru yaitu "!". Defenisinya sebagai berikut:
Jadi dalam matemtika, nilai dari 5! adalah 1x2x3x4x5 = 120. Hati-hati untuk 0! nilainya sama dengan 0. Sekarang kita akan belajar pencacahan. Perhatikan gambar berikut:
Gambar tersebut menjelaskan dari rumah I ke rumah II terdapat 2 jalan yaitu jalan A, B, dan C. Sedangkan dari rumah II ke rumah III terdapat 2 jalan yaitu D dan E. Sehingga untuk sampai ke rumah III dari rumah I melalui rumah II terdapat 6 cara.
Berdasarkan prinsip pencacahan yang sudah kita pelajari sebelumnya langkah pertama dari rumah I ke rumah II terdapat 3 cara yang masing-masing dapat dilanjutkan ke rumah III dengan 2 cara. Dengan demikian dari rumah I ke rumah III terdapat 3 x 2 = 6 cara
Kita perluas lagi contoh permasalahannya. Perhatikan gambar berikut:
Kalau kita lanjutkan lagi dari rumah II ke rumah III terdapat 3 jalan yaitu jalan F, G, dan H maka dapat kita hitung banyaknya cara dari rumah I ke rumah III yaitu dengan prinsip pencacahan:
3x2x3=18 cara. Secara detail dapat kita lihat tabelnya sebagai berikut:
Contoh kasus lain, misalnya kita akan membuat kartu identitas berisi 4 digit dengan ketentuan sebagai berikut: digit pertama diisi kode jenis kelamin L atau P, digit ke-2 berisi huruf A-Z berarti ada 26 cara, sedangkan digit ke-3 berisi angka kecuali 0 berarti ada 9 cara yaitu 1-9, sedangkan digit terakhir berisi angka 0-9 berarti ada 10 cara. Dengan prinsip pencacahan kita dapat menghitung berapa banyak kartu yang dapat dibuat dengan ketentuan demikian.
Sekarang kita akan masuk ke pengertian Permutasi dan Kombinasi. Permutasi dalam istilah matemtika adalah susunan objek atau huruf atau angka yang perbedaan urutannya diperhatikan. Contoh: ABCD tidak sama dengan BDAC tidak sam dengan CBDA.
Istilah Kombinasi dalam matematika adalah susunan objek, atau huruf, atau angka yang perbedaan urutannya tidak menjadi masalah. Contoh: ABCD sama dengan BDCA sama dengan ADCB.
Perhatikan penjelasan berikut:
Pada contoh di atas diberikan 3 warna yaitu Merah (M), Hijau (H) dan Kuning (K). Jika ketiga warna itu disusun maka dapat dibentuk 6 permutasi yaitu KHM, KMH, HKM, HMK, MKH, dan MHK. Tetapi keenam permutasi itu hanya memiliki 1 kombinasi yang terdiri dari M, H, dan K.
Jika kita menggunakan prinsip pencacahan mulai dari warna pertama ada 3 pilihan, kemudian warna ke-2 tinggal 2 pilihan karena yang satunya sudah terpakai di warna pertama, dan warna yang ke-3 tinggal satu pilihan karena 2 warna sudah dipakai pada warna pertama dan ke-dua sehingga banyaknya permutasi 3x2x1 = 3! = 6 permutasi.
Dalam kehidupan sehari-hari permutasi dapat digunakan untuk menentukan banyaknya permutasi dari beberapa warna untuk membentuk banyaknya bendera, beberapa siswa untuk dipilih sebagai ketua OSIS, wakil Ketua OSIS, dan sekretaris. Prinsipnya beberapa unsur yang jika susunannya berubah maka maknanya pun berubah. Sedangkan kombinasi digunakan untuk unsur-unsur yang jika susunannya berubah maknanya sama. Misalnya cat warna merah dan kuning jika dicampur akan sama hasilnya dengan warna kuning dicampur dengan merah. Contoh lain misalnya 3 orang dipilih mewakili sekolah sebagai peserta seminar pelajar se-kota Semarang.
Ada lagi kasus lain dimana jika suatu susunan unsur urutannya sama dimaknai permutasi yang sama. Contoh: ABCD = BCDA = CDAB = DABC. Permuatasi ini disebut Permutasi Siklis, Kejadian ini terjadi jika unsur-unsur itu terbentuk dalam suatu lingkaran. Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut:
Gambar di atas memberi ilustrasi 4 orang duduk di sekeliling meja berbentuk lingkaran. Pada susunan di meja I kita dapat menyebut susunannya adlah ABCD=BCDA=CDAB=DABC. Susunan lainnya ACBD=CBDA=BDAC=DACB. Sehingga pada permutasi siklis daei 4 unsur adalah 6 permutasi.
Secara detail perhatikan penjelasan berikut:
Pada contoh di atas p=2 dan q=2 karena ada 2 unsur huruf M dan 2 unsur huruf A yang sama.
Kasus lainnya jika permutasi diambil dari sebagian unsur dari beberapa unsur yang tersedia. Contohnya terdapat 5 siswa. Di antara kelima siswa itu akan dipilih 3 orang sebagai Ketua OSIS, Wakil Ketua OSIS, dan Sekretaris. Melihat posisi jabatannya berbeda maka susunan yang dibentuk adalah permutasi. Semua kemungkinannya adalah seperti tabel berikut:
Perhatikan kembali tabel permutasi berikut kemudian perhatikan dengan saksama permutasi yang diblok dengan warna yang sama.
Permutasi yang diberi blok warna sama merupakan 1 kombinasi. Sehingga dari 60 permuatasi yang terbentuk hanya terdapat 10 kombinasi.
Kita dapat menentukan banyaknya kombinasi dengan cepat menggunakan rumus kombinasi sebagai berikut:
