Trigonometri #1

MATEMATIKA SMA • KELAS X

Belajar Trigonometri

Dari segitiga siku-siku hingga grafik fungsi: pahami konsep, amati pola, coba kalkulator, dan uji pemahamanmu.

Materi interaktif Latihan & pembahasan

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi segitiga. Konsep ini membantu kita memperkirakan tinggi pohon, jarak yang sulit diukur langsung, arah, gelombang, dan berbagai bentuk gerak periodik.

1. Rasio dasar2. Sudut istimewa3. Derajat & radian 4. Lingkaran satuan5. Sudut berelasi6. Identitas 7. Aturan segitiga8. Grafik9. Aplikasi10. Evaluasi

1. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perhatikan sebuah segitiga siku-siku dan sudut lancip \(\theta\). Nama sisi depan dan sisi samping ditentukan relatif terhadap sudut \(\theta\).

Contoh segitiga 3–4–5. Sudut \(\theta\) berada di dekat sisi samping.

Tiga rasio utama

\(\displaystyle \sin\theta=\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}\)

\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}\)

\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}\)

Ingat: sin = depan/miring, cos = samping/miring, tan = depan/samping.

Eksplorasi kalkulator segitiga

Masukkan panjang sisi depan dan sisi samping. Kalkulator akan menghitung sisi miring serta nilai sin, cos, tan dan besar sudutnya.

Sisi depan

Sisi samping

Hasil akan ditampilkan di sini.

Contoh soal dan pembahasan

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi depan 5 cm dan sisi miring 13 cm. Tentukan \(\sin\theta\).

Pembahasan: \(\sin\theta=\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}=\frac{5}{13}\).

2. Sudut Istimewa

Sudut \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ,\) dan \(90^\circ\) sering digunakan karena nilai trigonometrinya dapat dinyatakan secara eksak.

Sudut	\(\sin\theta\)	\(\cos\theta\)	\(\tan\theta\)
\(0^\circ\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(30^\circ\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)
\(45^\circ\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(1\)
\(60^\circ\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac12\)	\(\sqrt3\)
\(90^\circ\)	\(1\)	\(0\)	tidak terdefinisi

Tips mengingat nilai sinus: untuk sudut \(0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ\), urutannya adalah \(\frac{\sqrt0}{2},\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt4}{2}\). Nilai cosinus tinggal dibaca dari arah sebaliknya.

Latihan cepat

1. Nilai \(\cos 60^\circ\) adalah …

\(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(1\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban: B. Dari tabel sudut istimewa, \(\cos60^\circ=\frac12\).

2. Nilai \(\tan45^\circ\) adalah …

\(0\) \(\sqrt3\) \(1\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban: C. Karena sisi depan dan samping sama panjang, \(\tan45^\circ=1\).

3. Ukuran Sudut: Derajat dan Radian

Satu putaran penuh setara dengan \(360^\circ\) atau \(2\pi\) radian. Jadi, \(180^\circ=\pi\) radian.

\(\displaystyle \text{radian}=\text{derajat}\times\frac{\pi}{180^\circ}\qquad \text{derajat}=\text{radian}\times\frac{180^\circ}{\pi}\)

Sudut dalam derajat

Sudut dalam radian (kelipatan π)

Contoh: \(150^\circ=\frac{5\pi}{6}\) radian.

Contoh soal

Ubah \(225^\circ\) ke radian.

\(\displaystyle 225^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{4}\) radian.

4. Lingkaran Satuan dan Tanda Rasio Trigonometri

Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari 1 dengan pusat di \((0,0)\). Untuk sudut \(\theta\), titik pada lingkaran mempunyai koordinat \((\cos\theta,\sin\theta)\).

\(\displaystyle x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta,\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}\;(x\ne0)\)

Sudut (derajat): 45\u00B0

Koordinat titik ditampilkan di sini.

Tanda rasio berdasarkan kuadran:

Kuadran	Sinus	Cosinus	Tangen
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

5. Sudut Berelasi

Nilai trigonometri sudut di luar kuadran I dapat ditentukan menggunakan sudut acuan dan tanda pada kuadrannya.

Sudut komplemen

\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)

\(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\)

Sudut suplementer

\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\)

\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\)

Sudut lebih dari 180°

\(\sin(180^\circ+\theta)=-\sin\theta\)

\(\cos(360^\circ-\theta)=\cos\theta\)

Sudut negatif

\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)

\(\cos(-\theta)=\cos\theta\)

\(\tan(-\theta)=-\tan\theta\)

Contoh: tentukan \(\sin150^\circ\)

\(150^\circ=180^\circ-30^\circ\), sehingga \(\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12\).

Contoh: tentukan \(\cos210^\circ\)

\(210^\circ=180^\circ+30^\circ\), sehingga \(\cos210^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\).

6. Identitas Trigonometri Dasar

Identitas adalah persamaan yang benar untuk semua sudut pada domain tempat kedua ruas terdefinisi.

\(\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

\(\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\cos\theta\ne0)\)

\(\displaystyle 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\quad(\cos\theta\ne0)\)

Contoh pembuktian singkat

Buktikan \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) pada segitiga siku-siku.

Misalkan sisi depan \(a\), samping \(b\), dan miring \(c\). Teorema Pythagoras memberi \(a^2+b^2=c^2\). Maka

\(\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1.\)

Jika \(\sin\theta=\frac35\) dan \(\theta\) sudut lancip, tentukan \(\cos\theta\).

Kunci dan pembahasan

\(\cos^2\theta=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}\). Karena \(\theta\) lancip, cosinus positif, sehingga \(\cos\theta=\frac45\).

7. Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga

Untuk segitiga sembarang \(ABC\), sisi \(a,b,c\) masing-masing berhadapan dengan sudut \(A,B,C\).

\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
Aturan sinus

\(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
Aturan cosinus

\(\displaystyle L=\frac12 ab\sin C\)
Luas segitiga (sisi \(a,b\) mengapit sudut \(C\))

Kalkulator aturan cosinus

Masukkan dua sisi yang mengapit sudut dan besar sudut apitnya.

Sisi b

Sisi c

Sudut apit A (°)

Hasil akan ditampilkan di sini.

Contoh soal aturan sinus

Dalam segitiga, \(A=30^\circ\), \(B=45^\circ\), dan \(a=8\) cm. Tentukan sisi \(b\).

\(\displaystyle \frac{b}{\sin45^\circ}=\frac{8}{\sin30^\circ}\), jadi \(b=8\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=8\sqrt2\) cm.

8. Fungsi dan Grafik Trigonometri

Grafik sinus dan cosinus berbentuk gelombang periodik. Grafik tangen memiliki periode \(180^\circ\) dan tidak terdefinisi ketika cosinus bernilai nol.

Pilih fungsiy = sin xy = cos xy = tan x

Pengali amplitudo (untuk sin/cos): 1

Pengali sudut b: 1

Grafik y = sin x, dengan x dalam derajat pada sumbu mendatar.

Grafik ditampilkan untuk \(x\) dari \(-360^\circ\) sampai \(360^\circ\). Pengali sudut \(b\) mengubah periode. Untuk \(y=a\sin(bx)\) atau \(y=a\cos(bx)\), amplitudo adalah \(|a|\) dan periode \(360^\circ/|b|\).

Contoh membaca grafik

Untuk \(y=2\sin x\), amplitudo 2 dan periode \(360^\circ\). Nilai maksimum 2 dan minimum −2.

Untuk \(y=\cos 2x\), amplitudo 1 dan periode \(180^\circ\).

9. Aplikasi Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Mengukur tinggi benda

Dari titik berjarak mendatar \(d\) meter, sudut elevasi ke puncak pohon \(\theta\), dan tinggi mata pengamat \(h\), maka

\(\displaystyle H=d\tan\theta+h\)

Atap dan tangga

Sinus, cosinus, dan tangen membantu menentukan kemiringan, panjang tangga, serta tinggi yang dicapai.

Gelombang dan getaran

Grafik sinus dan cosinus memodelkan fenomena periodik, misalnya gelombang suara dan perubahan posisi pada gerak melingkar.

Pemetaan dan navigasi

Sudut dan panjang digunakan untuk memperkirakan posisi atau jarak ketika pengukuran langsung sulit dilakukan.

Eksplorasi tinggi pohon

Jarak mendatar ke pohon (m)

Sudut elevasi (°)

Tinggi mata pengamat (m)

Masukkan data lalu tekan tombol hitung.

Catatan: hasil merupakan perkiraan ideal. Tanah diasumsikan datar dan sudut elevasi diukur dari garis horizontal.

Contoh soal aplikasi

Seorang siswa berdiri 10 m dari sebuah tiang. Sudut elevasi ke puncak tiang \(45^\circ\). Tinggi mata siswa 1,5 m. Berapa perkiraan tinggi tiang?

\(H=10\tan45^\circ+1,5=10+1,5=11,5\) m.

10. Evaluasi Akhir

Kerjakan soal berikut, lalu tekan tombol Periksa jawaban. Kunci dan pembahasan juga dapat dibuka satu per satu.

1. Pada segitiga siku-siku, sisi depan sudut \(\theta\) = 8 dan sisi miring = 10. Nilai \(\sin\theta\) adalah …

\(\frac45\) \(\frac34\) \(\frac58\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. \(\sin\theta=\frac8{10}=\frac45\).

2. Nilai \(\sin30^\circ\) adalah …

\(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(1\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. \(\sin30^\circ=\frac12\).

3. \(180^\circ\) sama dengan … radian.

\(\frac{\pi}{2}\) \(2\pi\) \(\pi\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. \(180^\circ=\pi\) radian.

4. Di kuadran II, tanda sinus, cosinus, dan tangen berturut-turut adalah …

\(+,-,-\) \(-,+,-\) \(-,-,+\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Di kuadran II, sinus positif, sedangkan cosinus dan tangen negatif.

5. Identitas dasar yang benar adalah …

\(\sin\theta+\cos\theta=1\) \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) \(\sin^2\theta-\cos^2\theta=1\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Identitas Pythagoras menyatakan \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\).

6. Jika \(b=5\), \(c=7\), dan sudut apit \(A=60^\circ\), maka \(a^2\) adalah …

\(39\) \(74\) \(49\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. \(a^2=5^2+7^2-2(5)(7)\cos60^\circ=25+49-35=39\).

7. Periode \(y=\sin 2x\), jika \(x\) dinyatakan dalam derajat, adalah …

\(360^\circ\) \(90^\circ\) \(180^\circ\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Periode \(=360^\circ/2=180^\circ\).

8. Seseorang berdiri 10 m dari tiang. Sudut elevasi ke puncak \(45^\circ\), tinggi mata 1,5 m. Tinggi tiang kira-kira …

10 m 11,5 m 15 m

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. \(H=10\tan45^\circ+1,5=11,5\) m.

Skor akan muncul di sini.

Rangkuman

• \(\sin\theta=\frac{\text{depan}}{\text{miring}}\), \(\cos\theta=\frac{\text{samping}}{\text{miring}}\), \(\tan\theta=\frac{\text{depan}}{\text{samping}}\).
• \(180^\circ=\pi\) radian dan satu putaran penuh \(=360^\circ=2\pi\) radian.
• Lingkaran satuan menghubungkan sudut dengan koordinat \((\cos\theta,\sin\theta)\).
• Identitas utama: \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\).
• Aturan sinus, cosinus, dan rumus luas membantu menyelesaikan segitiga sembarang.
• Trigonometri berguna untuk pengukuran tidak langsung, pemetaan, desain, dan pemodelan gelombang.

Terus berlatih dan periksa kembali apakah kalkulasi menggunakan derajat atau radian. Keduanya benar, asalkan digunakan secara konsisten.