Trigonometri #8 (Grafik Fungsi Sinus & Cosinus)

TRIGONOMETRI SMA — PAKET 8

Grafik Fungsi Sinus dan Cosinus

Bagaimana bentuk grafik sinus dan cosinus? Bagaimana amplitudo dan periode memengaruhi bentuk grafik?

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa mampu:

1. Mengenali grafik fungsi sinus dan cosinus.
2. Menentukan amplitudo, periode, nilai maksimum, dan minimum.
3. Mengamati perubahan grafik melalui eksplorasi interaktif.
4. Menggunakan fungsi trigonometri untuk memodelkan fenomena periodik.

A. Grafik Fungsi Sinus

Perhatikan fungsi berikut.

\[y=\sin x\]

Ketika sudut berubah dari 0° hingga 360°, nilai sinus bergerak dari 0 menuju 1, kembali ke 0, turun hingga −1, lalu kembali ke 0.

Sudut x	sin x	Keterangan
0°	0	Titik awal
90°	1	Maksimum
180°	0	Memotong sumbu-x
270°	−1	Minimum
360°	0	Satu periode selesai

B. Grafik Fungsi Cosinus

\[y=\cos x\]

Grafik cosinus memiliki periode yang sama dengan sinus, tetapi nilai awalnya berbeda. Pada x = 0°, nilai cosinus adalah 1.

Sudut x	cos x	Keterangan
0°	1	Maksimum
90°	0	Memotong sumbu-x
180°	−1	Minimum
270°	0	Memotong sumbu-x
360°	1	Kembali ke maksimum

C. Amplitudo dan Periode

Bentuk umum fungsi sinus dan cosinus adalah:

\[y=A\sin(Bx+C)+D\] \[y=A\cos(Bx+C)+D\]

• Amplitudo: \(|A|\), yaitu jarak dari garis tengah ke puncak grafik.
• Periode: panjang satu siklus penuh.
• Pergeseran fase: ditentukan oleh C bersama B.
• Pergeseran vertikal: D, yaitu posisi garis tengah \(y=D\).

Jika x dinyatakan dalam derajat dan B tidak sama dengan nol:

\[T=\frac{360^\circ}{|B|}\] \[y_{\max}=D+|A|\] \[y_{\min}=D-|A|\]

Contoh, fungsi \(y=3\sin(2x)+1\) memiliki amplitudo 3, periode 180°, garis tengah \(y=1\), maksimum 4, dan minimum −2.

D. Laboratorium Grafik Interaktif

Geser parameter berikut. Grafik akan dihitung ulang berdasarkan fungsi trigonometri sebenarnya.

Jenis fungsi Sinus Cosinus

Amplitudo A: 1

Pengali sudut B: 1

Pergeseran fase C: 0°

Pergeseran vertikal D: 0

Sumbu horizontal menunjukkan sudut 0°–360°. Garis putus-putus menunjukkan garis tengah grafik.

E. Eksplorasi Terbimbing

Eksplorasi 1 — Pengaruh amplitudo

Pilih sinus, lalu ubah A dari 1 menjadi 2. Pertahankan B = 1, C = 0°, dan D = 0.

1. Bagaimana perubahan tinggi puncak?
2. Apakah periode berubah?
3. Berapakah nilai maksimum dan minimum?

Grafik menjadi lebih tinggi dan lebih rendah. Periode tetap 360° karena B tidak berubah. Untuk \(y=2\sin x\), nilai maksimum 2 dan minimum −2.

Eksplorasi 2 — Pengaruh periode

Ubah B dari 1 menjadi 2.

1. Berapa periode grafik yang baru?
2. Berapa siklus lengkap yang terlihat antara 0° dan 360°?

\[T=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\] Terdapat dua siklus lengkap pada interval 0° sampai 360°.

Eksplorasi 3 — Pergeseran vertikal

Ubah D menjadi 1, sedangkan parameter lain tetap seperti fungsi dasar sinus.

1. Di manakah garis tengah grafik?
2. Berapakah nilai maksimum dan minimum?

Garis tengah menjadi \(y=1\). Nilai maksimum adalah 2 dan minimum adalah 0.

F. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan amplitudo dan periode fungsi \(y=4\sin(2x)\).

Amplitudo: \[|A|=|4|=4\] Periode: \[T=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\] Jadi, amplitudo 4 dan periode 180°.

Contoh 2

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi \(y=2\cos x-3\).

\[y_{\max}=-3+2=-1\] \[y_{\min}=-3-2=-5\] Jadi, maksimum −1 dan minimum −5.

Contoh 3 — Aplikasi kehidupan

Ketinggian air dimodelkan oleh \(h(t)=2\sin(30t)+5\), dengan t dalam jam dan sudut dalam derajat. Tentukan ketinggian maksimum, minimum, dan periode model.

Maksimum: \[h_{\max}=5+2=7\] Minimum: \[h_{\min}=5-2=3\] Periode: \[T=\frac{360^\circ}{30}=12\] Jadi, maksimum 7 satuan, minimum 3 satuan, dan periode 12 jam. Ini merupakan model matematika ilustratif, bukan data pengukuran suatu lokasi.

G. Latihan Mandiri

Soal 1

Tentukan amplitudo dan periode \(y=5\sin(3x)\).

Amplitudo = 5. \[T=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\]

Soal 2

Tentukan nilai maksimum dan minimum \(y=3\cos x+2\).

Maksimum: \[2+3=5\] Minimum: \[2-3=-1\]

Soal 3 — Penalaran

Bandingkan \(f(x)=\sin x\) dan \(g(x)=\sin(2x)\). Jelaskan perbedaan periode dan banyak siklus pada interval 0°–360°.

Fungsi f memiliki periode 360° sehingga terdapat satu siklus. Fungsi g memiliki periode 180° sehingga terdapat dua siklus. Pengali sudut yang lebih besar menghasilkan periode yang lebih pendek.

H. Evaluasi Interaktif

Pilih jawaban yang benar. Setiap jawaban benar bernilai 20 poin.

1. Amplitudo \(y=3\sin x\) adalah ... A. 1 B. 2 C. 3 D. 360

2. Periode \(y=\sin(2x)\) adalah ... A. 90° B. 180° C. 270° D. 360°

3. Nilai maksimum \(y=2\cos x+1\) adalah ... A. −3 B. −1 C. 1 D. 3

4. Banyak siklus \(y=4\sin(2x)\) dari 0° hingga 360° adalah ... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. Grafik \(y=\sin x+2\) merupakan grafik sinus yang ... A. Bergeser ke atas 2 satuan B. Bergeser ke bawah 2 satuan C. Memiliki periode 2° D. Memiliki amplitudo 2

Skor akan muncul setelah jawaban diperiksa.

I. Refleksi

1. Apa perbedaan titik awal grafik sinus dan cosinus?
2. Bagaimana amplitudo memengaruhi grafik?
3. Mengapa periode memendek jika B membesar?
4. Sebutkan contoh fenomena periodik dalam kehidupan.

Nilai karakter: ketelitian, rasa ingin tahu, ketekunan, dan kejujuran.

“Ujilah segala sesuatu dan peganglah yang baik.” — 1 Tesalonika 5:21