Trigonometri #13 (Persamaan Trigonometri)

MATEMATIKA SMA

Persamaan Trigonometri

Memahami konsep, menemukan sudut, dan menyelesaikan persamaan trigonometri.

Belajar bertahap • Contoh • Eksplorasi • Latihan • Kuis

1. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:

Memahami arti persamaan trigonometri.
Menentukan sudut yang memenuhi persamaan sinus, cosinus, dan tangen.
Menentukan semua penyelesaian pada interval tertentu.
Menyelesaikan persamaan trigonometri yang memerlukan langkah aljabar.

2. Apa Itu Persamaan Trigonometri?

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri, seperti sinus, cosinus, atau tangen. Contohnya:

sin x = 1/2

2 cos x − 1 = 0

tan x = 1

Berbeda dari persamaan aljabar biasa, persamaan trigonometri dapat memiliki beberapa sudut penyelesaian dalam satu putaran penuh.

Perhatikan intervalnya!
Dalam materi ini, kita banyak menggunakan interval 0° ≤ x ≤ 360°. Kita mencari semua sudut yang memenuhi persamaan dalam interval tersebut.

3. Mengingat Kembali Sudut Istimewa

Sudut	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	tidak terdefinisi

Nilai sudut istimewa membantu kita menentukan sudut acuan sebelum mencari sudut lain.

4. Aturan Dasar Penyelesaian

A. Jika sin x = sin α

x = α + 360°k
atau
x = 180° − α + 360°k

Dengan k bilangan bulat. Pilih nilai yang masuk ke interval soal.

B. Jika cos x = cos α

x = α + 360°k
atau
x = −α + 360°k

C. Jika tan x = tan α

x = α + 180°k

Mengapa berbeda?
Sinus bernilai sama pada sudut-sudut yang memiliki nilai sinus sama. Cosinus simetris terhadap sumbu-y pada lingkaran satuan, sedangkan tangen berulang setiap 180°.

Rumus di atas berlaku untuk k bilangan bulat dan sudut dalam derajat. Untuk menentukan semua jawaban, periksa setiap sudut yang berada pada interval yang diminta.

5. Eksplorasi Lingkaran Satuan

Ubah sudutnya, lalu amati nilai sinus dan cosinus. Ingat: koordinat titik pada lingkaran satuan adalah (cos x, sin x).

Pilih sudut: 30°

cos x = 0,866

sin x = 0,500

Sudut berada di Kuadran I.

Pada 0° dan 360°, titiknya sama. Pada sudut lain, tanda positif atau negatif bergantung pada kuadrannya.

6. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 — Persamaan sinus

Tentukan semua penyelesaian sin x = 1/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Langkah 1. Sudut acuan adalah 30°, karena sin 30° = 1/2.

Langkah 2. Sinus positif di Kuadran I dan II.

Langkah 3. Sudut-sudutnya adalah 30° dan 180° − 30° = 150°.

Jawaban: x = 30° atau x = 150°.

Contoh 2 — Persamaan cosinus

Tentukan semua penyelesaian 2 cos x − 1 = 0 pada 0° ≤ x ≤ 360°.

Langkah 1. 2 cos x − 1 = 0

Langkah 2. 2 cos x = 1, sehingga cos x = 1/2.

Langkah 3. Sudut acuan 60°. Cosinus positif di Kuadran I dan IV.

Jawaban: x = 60° atau x = 300°.

Contoh 3 — Persamaan tangen

Tentukan semua penyelesaian tan x = 1 pada 0° ≤ x ≤ 360°.

Langkah 1. tan 45° = 1, jadi sudut acuannya 45°.

Langkah 2. Tangen positif di Kuadran I dan III.

Jawaban: x = 45° atau x = 225°.

Contoh 4 — Sudut rangkap

Tentukan semua penyelesaian cos 2x = 1/2 pada 0° ≤ x ≤ 360°.

Langkah 1. Misalkan θ = 2x. Karena x berada pada 0° sampai 360°, maka θ berada pada 0° sampai 720°.

Langkah 2. cos θ = 1/2. Dalam interval 0° sampai 720°, nilai θ yang memenuhi adalah 60°, 300°, 420°, dan 660°.

Langkah 3. Bagi setiap sudut dengan 2.

Jawaban: x = 30°, 150°, 210°, dan 330°.

Contoh 5 — Persamaan kuadrat trigonometri

Tentukan semua penyelesaian 2 sin²x − 1 = 0 pada 0° ≤ x ≤ 360°.

Langkah 1. 2 sin²x − 1 = 0, sehingga sin²x = 1/2.

Langkah 2. sin x = ±√2/2.

Langkah 3. Sinus positif di Kuadran I dan II, serta negatif di Kuadran III dan IV.

Jawaban: x = 45°, 135°, 225°, dan 315°.

7. Latihan Mandiri

Selesaikan soal-soal berikut pada interval yang diminta. Kerjakan terlebih dahulu sebelum membuka pembahasan.

Soal 1. Tentukan semua penyelesaian sin x = √3/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Sudut acuan 60°. Sinus positif di Kuadran I dan II.
x = 60° dan 120°.

Soal 2. Tentukan semua penyelesaian cos x = −√2/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Sudut acuan 45°. Cosinus negatif di Kuadran II dan III.
x = 135° dan 225°.

Soal 3. Tentukan semua penyelesaian tan x = −√3 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Sudut acuan 60°. Tangen negatif di Kuadran II dan IV.
x = 120° dan 300°.

Soal 4. Tentukan semua penyelesaian 2 sin x − 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

sin x = 1/2. Sudut acuan 30° dan sinus positif di Kuadran I dan II.
x = 30° dan 150°.

Soal 5. Tentukan semua penyelesaian cos 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Misalkan θ = 2x. Maka 0° ≤ θ ≤ 720°. cos θ = −1 pada θ = 180° dan 540°.
Jadi x = 90° dan 270°.

Soal 6. Tentukan semua penyelesaian 2 sin²x − 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

sin²x = 1/2, sehingga sin x = ±√2/2.
x = 45°, 135°, 225°, dan 315°.

Soal 7. Tentukan semua penyelesaian 2 cos²x − 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

cos²x = 1/2, sehingga cos x = ±√2/2.
x = 45°, 135°, 225°, dan 315°.

Soal 8. Tentukan semua penyelesaian sin 2x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Misalkan θ = 2x, sehingga 0° ≤ θ ≤ 720°. sin θ = 0 pada θ = 0°, 180°, 360°, 540°, dan 720°.
Setelah dibagi 2, x = 0°, 90°, 180°, 270°, dan 360°.

Cari Blog Ini

Navigasi Materi