Trigonometri #5

MATEMATIKA SMA • KELAS X • TAHAP 5

Pemecahan Masalah Trigonometri

Menggunakan perbandingan trigonometri, aturan sinus, aturan cosinus, dan luas segitiga untuk memecahkan persoalan kontekstual secara runtut.

Dalam soal kontekstual, tantangan pertama sering kali bukan menghitung, melainkan menentukan informasi yang diketahui, menggambar sketsa, memilih model matematika yang tepat, lalu menafsirkan hasilnya.

1. Strategi pemecahan2. Sudut elevasi3. Jarak dan arah4. Memilih aturan5. Laboratorium kasus6. Proyek mini7. Evaluasi

1. Strategi Memecahkan Masalah Trigonometri

Langkah 1 — Pahami

Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan. Samakan satuan panjang dan perhatikan apakah sudut diukur dari horizontal atau vertikal.

Langkah 2 — Buat sketsa

Gambarkan objek, garis pandang, jarak mendatar, tinggi, dan sudut yang diketahui. Tandai segitiga yang terbentuk.

Langkah 3 — Pilih model

Segitiga siku-siku: gunakan sinus, cosinus, atau tangen. Segitiga sembarang: pertimbangkan aturan sinus atau cosinus.

Langkah 4 — Hitung dan cek

Hitung dengan satuan yang konsisten, periksa kewajaran hasil, lalu tulis jawaban sesuai konteks.

Catatan: jika tinggi pengamat atau alat ukur berada di atas tanah, perhatikan apakah hasil yang dihitung adalah tinggi dari mata pengamat atau tinggi total objek.

2. Sudut Elevasi dan Depresi

Sudut elevasi adalah sudut antara garis horizontal pengamat dan garis pandang ke objek yang lebih tinggi. Sudut depresi adalah sudut antara garis horizontal dan garis pandang ke objek yang lebih rendah.

\(\tan\theta=\frac{\text{tinggi}}{\text{jarak mendatar}}\)

Contoh: tinggi pohon

Seorang siswa berdiri 18 m dari pangkal pohon. Sudut elevasi ke puncak pohon \(35^\circ\). Tinggi mata siswa 1,5 m. Perkirakan tinggi pohon.

Buka pembahasan

Selisih tinggi puncak pohon terhadap mata siswa adalah \(18\tan35^\circ\approx12{,}60\) m.

Tinggi pohon \(\approx12{,}60+1{,}5=14{,}10\) m.

3. Menentukan Jarak yang Sulit Diukur Langsung

Aturan sinus dan cosinus berguna saat jarak yang dicari berada di seberang sungai, di antara dua titik yang sulit dihubungkan langsung, atau menjadi diagonal suatu area.

Contoh: jarak ke titik di seberang sungai

Jarak ke titik P dapat diperkirakan dari dua titik pengamatan A dan B, jarak AB, dan sudut-sudut yang diukur.

Dua titik pengamatan \(A\) dan \(B\) berjarak 30 m. Sudut di \(A\) menuju titik \(P\) adalah \(48^\circ\), sedangkan sudut di \(B\) adalah \(67^\circ\). Tentukan jarak \(AP\).

Buka pembahasan

Sudut \(P=180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ\).

\(\frac{AP}{\sin67^\circ}=\frac{30}{\sin65^\circ}\)

\(AP=\frac{30\sin67^\circ}{\sin65^\circ}\approx30{,}5\) m.

4. Bagaimana Memilih Rumus?

Informasi yang diketahui	Strategi yang biasanya sesuai
Segitiga siku-siku, sudut dan satu sisi	Sinus, cosinus, atau tangen
Dua sudut dan satu sisi segitiga	Aturan sinus
Dua sisi dan sudut apit	Aturan cosinus
Tiga sisi segitiga	Aturan cosinus untuk mencari sudut
Dua sisi dan sudut apit, mencari luas	\(L=\frac12 ab\sin C\)

Strategi di tabel merupakan panduan umum. Selalu periksa apakah informasi yang diketahui benar-benar cocok dengan rumus dan apakah konfigurasi segitiganya valid.

5. Laboratorium Kasus: Mengukur Tinggi Menara

Atur jarak pengamat ke kaki menara, sudut elevasi, dan tinggi mata pengamat. Kalkulator menghitung tinggi menara berdasarkan model segitiga siku-siku.

Tinggi dari mata ke puncak dihitung dengan jarak mendatar × tan(sudut elevasi), kemudian ditambah tinggi mata.

Jarak mendatar (m) Sudut elevasi (derajat) Tinggi mata pengamat (m)

Hasil

Hasil akan muncul di sini.

Model menganggap tanah datar, jarak yang dimasukkan adalah jarak mendatar, dan sudut diukur dari garis horizontal. Pengukuran nyata dapat dipengaruhi kemiringan tanah dan ketelitian alat.

6. Proyek Mini: Perkirakan Tinggi Objek di Sekolah

Tantangan: dalam kelompok, perkirakan tinggi pohon, tiang bendera, atau bagian bangunan yang aman diamati dari tanah. Jangan memanjat atau mendekati area berbahaya.

Sketsa mengukur tinggi gedung sekolah: sudut elevasi diukur dari garis horizontal titik pengamatan ke arah bagian atas gedung. Ilustrasi tidak berskala.

1. Pilih objek dan tentukan titik pengamatan yang aman.
2. Ukur jarak mendatar dari titik pengamatan ke pangkal objek.
3. Gunakan klinometer sederhana atau alat pengukur sudut untuk memperoleh sudut elevasi.
4. Catat tinggi mata pengamat, lalu hitung tinggi objek.
5. Ulangi pengukuran dari titik lain dan bandingkan hasilnya.
6. Jelaskan sumber kesalahan dan cara memperbaiki ketelitian pengukuran.

Lembar pencatatan

Objek yang diukurPohonTiang benderaBangunanLainnya

Jarak mendatar (m)

Sudut elevasi (°)

Tinggi mata (m)

Hasil perhitungan proyek akan muncul di sini.

Catatan dapat disalin ke laporan kelompok. Pastikan hasil perhitungan dibandingkan dengan pengukuran ulang.

7. Evaluasi Tahap 5

Pilih satu jawaban yang paling tepat. Pembahasan dapat dibuka sebelum atau sesudah memeriksa skor.

1. Seseorang berdiri 10 m dari pohon. Sudut elevasi ke puncak pohon \(45^\circ\). Selisih tinggi puncak pohon dengan mata pengamat adalah …

5 m 10 m \(10\sqrt2\) m

Kunci dan pembahasan

B. \(h=10\tan45^\circ=10\) m.

2. Segitiga memiliki sudut \(A=50^\circ\), \(B=60^\circ\), dan sisi \(a=12\) cm. Untuk menentukan sisi \(b\), rumus yang tepat adalah …

\(b=\frac{12\cos60^\circ}{\cos50^\circ}\) \(b=\frac{12\sin60^\circ}{\sin50^\circ}\) \(b=12+50+60\)

Kunci dan pembahasan

B. Aturan sinus: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\), sehingga \(b=\frac{12\sin60^\circ}{\sin50^\circ}\).

3. Dua sisi segitiga 6 cm dan 8 cm membentuk sudut apit \(60^\circ\). Untuk mencari sisi di hadapan sudut itu, gunakan …

Aturan cosinus Aturan sinus saja Rumus keliling saja

Kunci dan pembahasan

A. Diketahui dua sisi dan sudut apit, jadi aturan cosinus sesuai.

4. Dua sisi 8 cm dan 10 cm membentuk sudut apit \(30^\circ\). Luas segitiga adalah …

20 cm² 40 cm² 80 cm²

Kunci dan pembahasan

A. \(L=\frac12(8)(10)\sin30^\circ=20\text{ cm}^2\).

5. Dalam perhitungan tinggi gedung, jarak mendatar 20 m dan sudut elevasi \(30^\circ\). Selisih tinggi dari mata pengamat ke puncak gedung adalah …

\(20\sin30^\circ\approx10\) m \(20\tan30^\circ\approx11{,}55\) m \(20\cos30^\circ\approx17{,}32\) m

Kunci dan pembahasan

B. Tangen menghubungkan sisi depan sudut dengan sisi samping: \(h=20\tan30^\circ\approx11{,}55\) m.

6. Mengapa hasil pengukuran tinggi objek perlu ditafsirkan dengan hati-hati?

Karena trigonometri tidak dapat digunakan di luar kelas Karena hasil dipengaruhi ketelitian sudut, jarak, kondisi tanah, dan asumsi model Karena semua hasil trigonometri pasti salah

Kunci dan pembahasan

B. Model matematika memakai asumsi; kualitas data dan kondisi lapangan memengaruhi hasil.

Skor akan muncul di sini.

Rangkuman Tahap 5

• Mulai dari informasi yang diketahui, pertanyaan, sketsa, dan satuan.
• Gunakan sinus, cosinus, atau tangen untuk segitiga siku-siku.
• Gunakan aturan sinus atau cosinus untuk segitiga sembarang sesuai informasi yang tersedia.
• Periksa kewajaran hasil dan jelaskan keterbatasan model.

Seri tahap pengenalan dan penerapan dasar trigonometri telah selesai. Ibu dapat mengembangkan tahap lanjutan berupa soal HOTS, asesmen proyek, atau latihan campuran sesuai kebutuhan kelas.