Trigonometri #9 (grafik fungsi tangen)

TRIGONOMETRI SMA — PAKET 9

Grafik Fungsi Tangen

Mengapa grafik tangen memiliki celah? Di manakah grafik memotong sumbu-x? Bagaimana periode grafik berubah ketika koefisien sudut berubah?

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa mampu:

1. Mengenali bentuk grafik fungsi tangen.
2. Menentukan periode dan titik nol fungsi tangen.
3. Menentukan persamaan asimtot tegak.
4. Menganalisis pengaruh parameter terhadap grafik.
5. Menggunakan grafik untuk memecahkan masalah matematika.

A. Mengenal Grafik Fungsi Tangen

Fungsi tangen didefinisikan sebagai:

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]

Fungsi ini terdefinisi ketika \(\cos x\ne0\). Oleh karena itu, fungsi tangen tidak terdefinisi pada sudut 90°, 270°, dan sudut-sudut lain yang setara dengan sudut tersebut.

\[ y=\tan x \]

Perhatikan! Garis putus-putus pada 90° dan 270° adalah asimtot tegak. Grafik tangen mendekati garis tersebut, tetapi tidak menyentuh atau menyeberanginya.

B. Ciri-Ciri Grafik Tangen

Ciri	Keterangan
Titik nol	0°, 180°, 360°, dan kelipatannya
Periode dasar	180°
Asimtot tegak	90°, 270°, dan sudut sejenis
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Daerah hasil	Semua bilangan real
Domain	Semua bilangan real kecuali \(x=90^\circ+180^\circ k\)

dengan \(k\) bilangan bulat.

C. Periode Fungsi Tangen

Bentuk umum fungsi tangen adalah:

\[ y=A\tan(Bx+C)+D \]

Untuk sudut dalam derajat dan \(B\ne0\), periode fungsi tangen adalah:

\[ \boxed{T=\frac{180^\circ}{|B|}} \]

• \(A\) mengatur peregangan atau penyusutan vertikal.
• \(B\) menentukan periode dan memengaruhi posisi asimtot.
• \(C\) mengatur pergeseran fase bersama \(B\).
• \(D\) menggeser grafik secara vertikal.

Berbeda dari sinus dan cosinus, fungsi tangen tidak memiliki nilai maksimum dan minimum karena cabang grafiknya dapat meningkat atau menurun tanpa batas.

D. Menentukan Titik Nol dan Asimtot

Untuk fungsi dasar \(y=\tan x\):

Titik nol \[ \tan x=0 \] \[ x=180^\circ k \]

Asimtot tegak \[ \cos x=0 \] \[ x=90^\circ+180^\circ k \]

Untuk fungsi \(y=A\tan(Bx+C)+D\), dengan \(A\ne0\) dan \(B\ne0\), asimtot tegaknya memenuhi:

\[ Bx+C=90^\circ+180^\circ k \] \[ \boxed{x=\frac{90^\circ-C+180^\circ k}{B}} \]

Jika ingin menentukan titik potong sumbu-x, tetapkan \(y=0\):

\[ A\tan(Bx+C)+D=0 \] \[ \tan(Bx+C)=-\frac{D}{A} \]

Untuk fungsi dasar, titik potong sumbu-x berada pada \(x=180^\circ k\).

E. Laboratorium Grafik Tangen Interaktif

Geser parameter dan amati perubahan grafik. Garis putus-putus menandai asimtot tegak. Grafik tidak akan digambar melintasi asimtot.

Koefisien A: 1

Koefisien B: 1

Pergeseran fase C: 0°

Pergeseran vertikal D: 0

Rentang grafik: 0°–360°. Sumbu vertikal menampilkan sebagian rentang nilai y agar bentuk grafik dan asimtot mudah diamati.

F. Eksplorasi Terbimbing

Eksplorasi 1 — Periode

Atur A = 1, B = 2, C = 0°, dan D = 0.

1. Berapa periode grafik?
2. Berapa banyak periode yang termuat dalam interval 0°–360°?

\[ T=\frac{180^\circ}{|2|}=90^\circ \] Jumlah periode dalam 360° adalah \(360^\circ/90^\circ=4\). Jadi, terdapat empat periode.

Eksplorasi 2 — Posisi asimtot

Atur A = 1, B = 1, C = 30°, dan D = 0.

1. Di manakah asimtot tegak pertama dalam interval 0°–360°?
2. Di manakah titik nol pertama yang tidak negatif?

Asimtot memenuhi \(x+30^\circ=90^\circ+180^\circ k\), sehingga asimtotnya berada pada 60° dan 240° dalam interval tersebut. Titik nol memenuhi \(x+30^\circ=180^\circ k\), sehingga titik nolnya adalah 150° dan 330°.

Eksplorasi 3 — Pergeseran vertikal

Atur A = 1, B = 1, C = 0°, dan D = 1.

1. Apakah posisi asimtot berubah?
2. Di manakah titik potong sumbu-x?

Asimtot tetap di 90° dan 270°, karena D tidak mengubah bagian dalam fungsi tangen. Titik potong sumbu-x memenuhi \(\tan x=-1\), sehingga dalam interval 0°–360° titiknya adalah 135° dan 315°.

G. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan periode fungsi \(y=3\tan(2x)\).

Diketahui \(B=2\). \[ T=\frac{180^\circ}{|B|} \] \[ T=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ \] Jadi, periodenya adalah 90°.

Contoh 2

Tentukan persamaan asimtot tegak fungsi \(y=\tan(2x)\) pada interval 0°–360°.

Asimtot memenuhi: \[ 2x=90^\circ+180^\circ k \] \[ x=45^\circ+90^\circ k \] Asimtot dalam interval 0°–360° adalah: \[ x=45^\circ,\ 135^\circ,\ 225^\circ,\ 315^\circ \]

Contoh 3 — Menentukan titik nol

Tentukan titik potong sumbu-x fungsi \(y=2\tan x+2\) pada interval 0°–360°.

Titik potong sumbu-x memenuhi \(y=0\). \[ 2\tan x+2=0 \] \[ \tan x=-1 \] Sudut acuannya 45°. Tangen bernilai negatif di kuadran II dan IV. \[ x=135^\circ,\ 315^\circ \] Jadi, titik potong sumbu-x adalah (135°, 0) dan (315°, 0).

H. Latihan Mandiri

Soal 1

Tentukan periode fungsi \(y=5\tan(3x)\).

\[ T=\frac{180^\circ}{3}=60^\circ \] Jawaban: 60°.

Soal 2

Tentukan asimtot tegak fungsi \(y=\tan x\) pada interval −180° sampai 180°.

Asimtot memenuhi \(x=90^\circ+180^\circ k\). Pada interval tersebut, asimtotnya adalah \(x=-90^\circ\) dan \(x=90^\circ\).

Soal 3 — Penalaran

Bandingkan periode \(f(x)=\tan x\) dan \(g(x)=\tan(4x)\). Berapa kali periode g lebih pendek daripada periode f?

Periode f adalah 180°. Periode g adalah: \[ T_g=\frac{180^\circ}{4}=45^\circ \] Periode g empat kali lebih pendek daripada periode f.

I. Evaluasi Interaktif

Pilih jawaban yang benar. Setiap jawaban benar bernilai 20 poin.

1. Periode fungsi \(y=\tan(3x)\) adalah ... A. 30° B. 60° C. 90° D. 180°

2. Asimtot tegak fungsi \(y=\tan x\) pada interval 0°–360° berada pada ... A. 0° dan 180° B. 45° dan 225° C. 90° dan 270° D. 180° dan 360°

3. Titik nol fungsi \(y=\tan x\) pada interval 0°–360° adalah ... A. 90° dan 270° B. 45° dan 225° C. 0°, 180°, dan 360° D. 60° dan 300°

4. Fungsi tangen tidak terdefinisi ketika ... A. sin x = 0 B. cos x = 0 C. tan x = 0 D. x = 0°

5. Periode \(y=2\tan(2x)\) adalah ... A. 45° B. 60° C. 90° D. 180°

Skor akan muncul setelah jawaban diperiksa.

J. Refleksi Pembelajaran

1. Apa perbedaan grafik tangen dengan sinus dan cosinus?
2. Mengapa grafik tangen memiliki asimtot tegak?
3. Bagaimana koefisien B memengaruhi periode?
4. Mengapa fungsi tangen tidak memiliki nilai maksimum dan minimum?

Nilai karakter: ketelitian, rasa ingin tahu, ketekunan, dan kejujuran dalam menyelidiki pola.

“Ujilah segala sesuatu dan peganglah yang baik.” — 1 Tesalonika 5:21