Trigonometri #10 (Hubungan Antar Fungsi)

TRIGONOMETRI SMA — PAKET 10

Perbandingan Grafik Sinus, Cosinus, dan Tangen

Tiga fungsi trigonometri, tiga bentuk grafik. Apa persamaan, perbedaan, dan hubungan di antara ketiganya?

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa mampu:

1. Membandingkan bentuk grafik sinus, cosinus, dan tangen.
2. Menentukan periode, titik nol, dan nilai ekstrem yang sesuai.
3. Mengenali asimtot tegak pada grafik tangen.
4. Menganalisis pengaruh koefisien terhadap grafik.
5. Menggunakan grafik untuk menyelesaikan persoalan numerasi.

A. Mengenali Tiga Grafik

\[ y=\sin x \] \[ y=\cos x \] \[ y=\tan x \]

Ketiga fungsi tersebut memiliki bentuk grafik yang berbeda. Sinus dan cosinus membentuk gelombang periodik yang terbatas antara −1 dan 1. Grafik tangen memiliki cabang-cabang yang tidak terbatas dan asimtot tegak.

Sinus Cosinus Tangen Asimtot

Untuk membandingkan bentuk grafik dengan jelas, grafik tangen pada gambar menggunakan rentang nilai vertikal terbatas. Garis putus-putus menunjukkan asimtot, bukan bagian dari grafik.

B. Tabel Perbandingan

Karakteristik	Sinus	Cosinus	Tangen
Fungsi dasar	sin x	cos x	tan x
Periode	360°	360°	180°
Nilai maksimum	1	1	Tidak ada
Nilai minimum	−1	−1	Tidak ada
Nilai saat x = 0°	0	1	0
Titik nol	0° + 180°k	90° + 180°k	180°k
Asimtot tegak	Tidak ada	Tidak ada	90° + 180°k
Daerah hasil	−1 sampai 1	−1 sampai 1	Semua bilangan real

dengan \(k\) bilangan bulat. Untuk sinus dan cosinus, titik nol dinyatakan dalam derajat.

C. Memahami Perbedaan Bentuk Grafik

1. Grafik sinus

Dimulai dari 0, mencapai maksimum 1 pada 90°, kembali ke 0 pada 180°, mencapai minimum −1 pada 270°, lalu kembali ke 0 pada 360°.

\[y=\sin x\]

2. Grafik cosinus

Dimulai dari maksimum 1, turun hingga −1 pada 180°, kemudian kembali ke 1 pada 360°. Bentuknya dapat dipandang sebagai grafik sinus yang bergeser 90° ke kiri.

\[\cos x=\sin(x+90^\circ)\]

3. Grafik tangen

Dimulai dari titik (0°, 0), meningkat menuju asimtot pada 90°, lalu muncul kembali pada sisi lain asimtot. Pola tersebut berulang setiap 180°.

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]

Karena pembaginya adalah cosinus, tangen tidak terdefinisi ketika cosinus bernilai nol.

D. Hubungan Antar Fungsi

Sinus, cosinus, dan tangen tidak berdiri sendiri. Ketiganya berhubungan melalui identitas trigonometri.

\[ \sin^2x+\cos^2x=1 \] \[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \quad (\cos x\ne0) \]

Identitas pertama menjelaskan hubungan nilai sinus dan cosinus pada sudut yang sama. Identitas kedua menjelaskan mengapa grafik tangen memiliki asimtot saat cosinus sama dengan nol.

E. Laboratorium Perbandingan Interaktif

Pilih grafik yang ingin ditampilkan. Geser parameter untuk menyelidiki perubahan bentuk ketiga grafik.

Amplitudo A: 1

Pengali sudut B: 1

Pergeseran fase C: 0°

Pergeseran vertikal D: 0

Tampilkan grafik Sinus Cosinus Tangen

Grafik tangen dibatasi pada rentang tampilan agar perbandingan mudah diamati. Asimtot ditandai dengan garis putus-putus.

F. Eksplorasi Terbimbing

Eksplorasi 1 — Sinus dan cosinus

Tampilkan sinus dan cosinus saja. Pertahankan A = 1, B = 1, C = 0°, dan D = 0.

1. Bagaimana perbedaan nilai awal kedua grafik?
2. Berapa derajat pergeseran horizontal yang menghubungkan keduanya?

Sinus dimulai dari 0, sedangkan cosinus dimulai dari 1. Hubungannya adalah \(\cos x=\sin(x+90^\circ)\), sehingga cosinus setara dengan sinus yang bergeser 90° ke kiri.

Eksplorasi 2 — Periode

Ubah B menjadi 2. Amati ketiga grafik.

1. Berapa periode sinus dan cosinus?
2. Berapa periode tangen?

Periode sinus dan cosinus adalah \(360^\circ/2=180^\circ\). Periode tangen adalah \(180^\circ/2=90^\circ\). Tangen tetap memiliki periode setengah dari periode sinus atau cosinus untuk nilai B yang sama dan tidak nol.

Eksplorasi 3 — Pergeseran vertikal

Ubah D menjadi 1. Apa yang terjadi pada grafik?

Ketiga grafik bergeser ke atas satu satuan. Asimtot tangen tetap pada posisi horizontal yang sama, karena D tidak mengubah nilai sudut yang membuat fungsi tangen tidak terdefinisi.

G. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 — Membandingkan periode

Diberikan \(f(x)=\sin(2x)\), \(g(x)=\cos(2x)\), dan \(h(x)=\tan(2x)\). Tentukan periode masing-masing.

Untuk sinus dan cosinus: \[T=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\] Untuk tangen: \[T=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ\] Jadi, periode f dan g adalah 180°, sedangkan periode h adalah 90°.

Contoh 2 — Menentukan nilai fungsi

Tentukan nilai \(\sin 30^\circ\), \(\cos 60^\circ\), dan \(\tan 45^\circ\).

\[\sin 30^\circ=\frac12\] \[\cos 60^\circ=\frac12\] \[\tan 45^\circ=1\] Dua nilai pertama sama, tetapi diperoleh dari fungsi dan sudut yang berbeda.

Contoh 3 — Membaca model periodik

Sebuah gerak naik turun dimodelkan oleh \(h(t)=3\sin(30t)+5\), dengan t dalam jam. Tentukan amplitudo, garis tengah, dan periode model.

Amplitudo = 3 satuan. Garis tengah adalah \(h=5\). Periode: \[T=\frac{360^\circ}{30}=12\] Jadi, periode model adalah 12 jam. Nilai maksimum 8 dan minimum 2 satuan. Ini merupakan model ilustratif, bukan data pengukuran nyata.

H. Latihan Mandiri

Soal 1

Manakah fungsi yang memiliki periode 90°?

Fungsi \(y=\tan(2x)\), karena periodenya \(180^\circ/2=90^\circ\).

Soal 2

Jelaskan mengapa grafik tangen memiliki asimtot, sedangkan grafik sinus tidak.

Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus. Ketika cosinus bernilai nol, tangen tidak terdefinisi dan dapat membesar tanpa batas di dekat sudut tersebut. Sinus terdefinisi untuk semua sudut real dan nilainya selalu berada antara −1 dan 1.

Soal 3 — Penalaran

Jika periode fungsi sinus adalah 120°, berapakah nilai mutlak koefisien B? Berapakah periode fungsi tangen dengan nilai B yang sama?

Untuk sinus: \[|B|=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3\] Periode tangen: \[T=\frac{180^\circ}{3}=60^\circ\] Jadi, \(|B|=3\) dan periode tangen adalah 60°.

I. Evaluasi Interaktif

Pilih jawaban yang benar. Setiap jawaban benar bernilai 20 poin.

1. Periode dasar grafik cosinus adalah ... A. 90° B. 180° C. 270° D. 360°

2. Grafik yang memiliki asimtot tegak adalah ... A. Sinus B. Cosinus C. Tangen D. Semua grafik

3. Nilai \(\cos 0^\circ\) adalah ... A. −1 B. 0 C. 1 D. Tidak terdefinisi

4. Periode \(y=\tan(3x)\) adalah ... A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

5. Hubungan yang benar adalah ... A. \(\tan x=\sin x+\cos x\) B. \(\sin^2x+\cos^2x=1\) C. \(\sin x=\cos x\) untuk semua x D. Periode dasar tangen 360°

Skor akan muncul setelah jawaban diperiksa.

J. Refleksi Pembelajaran

1. Apa persamaan dan perbedaan grafik sinus, cosinus, dan tangen?
2. Mengapa periode tangen berbeda dari periode sinus dan cosinus?
3. Bagaimana identitas trigonometri menghubungkan ketiga fungsi?
4. Fenomena periodik apa yang dapat dimodelkan menggunakan sinus atau cosinus?

Nilai karakter: ketelitian, rasa ingin tahu, ketekunan, dan kejujuran dalam menganalisis hasil.

“Ujilah segala sesuatu dan peganglah yang baik.” — 1 Tesalonika 5:21