Permutasi Lanjutan #2

MATEMATIKA SMA · PAKET 2

Permutasi Lanjutan

Menyusun objek dengan memperhatikan urutan, termasuk unsur yang sama, susunan melingkar, dan syarat posisi tertentu.

PengingatUnsur samaPermutasi siklisSyarat posisiEksplorasiLatihan

1. Pengingat: apa itu permutasi?

Permutasi adalah penyusunan objek ketika urutan atau posisi membedakan hasil. Jika semua \(n\) objek berbeda disusun, banyak susunannya adalah:

\[n!\]

Jika hanya \(r\) objek dipilih dari \(n\) objek berbeda lalu disusun, banyak susunannya:

\[P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\]

Contoh singkat

Dari 6 siswa dipilih juara 1, 2, dan 3. Karena posisi juara berbeda:

\[P(6,3)=6\times5\times4=120\]

Pertanyaan kunci: jika dua objek ditukar posisinya, apakah hasilnya berubah? Jika ya, urutan diperhatikan.

2. Permutasi dengan unsur yang sama

Jika beberapa objek identik, pertukaran objek yang sama tidak menghasilkan susunan baru. Karena itu, jumlah permutasi perlu dibagi dengan faktorial banyak pengulangan setiap unsur.

\[\frac{n!}{a!\,b!\,c!\cdots}\]

Rumus ini digunakan jika total ada \(n\) objek, dengan kelompok unsur identik masing-masing sebanyak \(a,b,c,\ldots\) dan \(a+b+c+\cdots=n\).

Contoh 1 — Kata “MAMA”

Kata MAMA memiliki 4 huruf, dengan M muncul 2 kali dan A muncul 2 kali.

\[\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{24}{4}=6\]

Ada 6 susunan huruf berbeda.

Contoh 2 — Kata “MATEMATIKA”

Kata MATEMATIKA memiliki 10 huruf: A muncul 3 kali, M muncul 2 kali, T muncul 2 kali, sedangkan E, I, dan K masing-masing 1 kali.

\[\frac{10!}{3!\,2!\,2!}=\frac{3.628.800}{24}=151.200\]

Ada 151.200 susunan huruf berbeda.

Jangan lupa: hanya pengulangan unsur yang benar-benar identik yang masuk penyebut. Huruf berbeda tetap dihitung sebagai unsur berbeda.

3. Permutasi siklis atau melingkar

Permutasi siklis digunakan ketika objek disusun melingkar, misalnya duduk mengelilingi meja bundar. Susunan yang hanya berbeda karena seluruh lingkaran diputar dianggap sama.

\[(n-1)!\]

Jadi, banyak susunan \(n\) orang berbeda mengelilingi meja bundar adalah \((n-1)!\).

Contoh

Enam orang duduk mengelilingi meja bundar. Banyak susunan berbeda:

\[(6-1)!=5!=120\]

Ada 120 susunan melingkar.

Rumus ini menganggap susunan yang hanya berbeda karena rotasi sebagai sama. Jika posisi berhadapan atau arah tertentu diberi label tetap, model pencacahannya dapat berbeda.

4. Permutasi dengan syarat posisi

A. Dua orang harus berdampingan

Jika dua orang harus selalu berdampingan, anggap keduanya sebagai satu blok. Susun blok tersebut bersama orang lain, lalu kalikan dengan banyak urutan di dalam blok.

Contoh: 5 orang berbaris, A dan B harus berdampingan. Anggap AB sebagai satu blok; ada 4 unit yang disusun, yaitu \(4!\) cara, dan urutan dalam blok \(2!\) cara.

\[4!\times2!=24\times2=48\]

B. Dua orang tidak boleh berdampingan

Gunakan metode komplemen: semua susunan dikurangi susunan ketika keduanya berdampingan.

Contoh: 5 orang berbaris, A dan B tidak boleh berdampingan.

\[5!-4!\times2!=120-48=72\]

Ada 72 susunan.

C. Posisi pertama atau terakhir dibatasi

Tentukan pilihan untuk posisi yang dibatasi terlebih dahulu, lalu susun objek yang tersisa.

Contoh: 4 digit berbeda dipilih dari 1, 2, 3, 4, 5 dan digit pertama harus 5. Tiga posisi sisanya diisi dari 4 digit lain:

\[1\times4\times3\times2=24\]

5. Eksplorasi interaktif: permutasi dengan unsur sama

Atur jumlah seluruh objek dan banyak pengulangan dua kelompok unsur. Kalkulator menghitung \(\frac{n!}{a!\,b!}\), dengan sisa objek dianggap berbeda satu sama lain.

Jumlah seluruh objek (n)Jumlah unsur identik A (a)Jumlah unsur identik B (b)

Hasil

Masukkan nilai, lalu tekan tombol.

Syarat: \(a+b\le n\). Objek yang tersisa dianggap berbeda.

6. Latihan interaktif

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu periksa skor. Kunci pembahasan dapat dibuka satu per satu.

1. Banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pada kata MAMA adalah …

12 6 24 4

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. \(\frac{4!}{2!\,2!}=6\).

2. Banyak cara 7 orang duduk mengelilingi meja bundar adalah …

\(7!=5040\) \(6!/2=360\) \(6!=720\) \(7!/2=2520\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. Permutasi siklis: \((7-1)!=6!=720\).

3. Enam orang berbaris. A dan B harus berdampingan. Banyak susunan adalah …

\(5!\times2!=240\) \(6!=720\) \(5!=120\) \(4!\times2=48\)

Kunci dan pembahasan

Jawaban A. Anggap A dan B satu blok, sehingga ada 5 unit: \(5!\) cara. Urutan AB atau BA: \(2!\) cara. Total \(5!\times2=240\).

4. Lima orang berbaris. A dan B tidak boleh berdampingan. Banyak susunan adalah …

48 120 24 72

Kunci dan pembahasan

Jawaban D. Semua susunan \(5!=120\). Yang berdampingan \(4!\times2=48\). Jadi \(120-48=72\).

5. Banyak susunan berbeda dari huruf-huruf kata BOLA adalah …

12 24 16 4

Kunci dan pembahasan

Jawaban B. Empat huruf berbeda dapat disusun dalam \(4!=24\) cara.

6. Kata MATEMATIKA terdiri atas 10 huruf, dengan A tiga kali, M dua kali, dan T dua kali. Banyak susunan berbeda adalah …

3.628.800 302.400 151.200 60.480

Kunci dan pembahasan

Jawaban C. \(\frac{10!}{3!\,2!\,2!}=151.200\).

7. Tantangan HOTS

Enam orang berbeda duduk melingkar. A dan B harus berdampingan. Berapa susunan melingkar yang mungkin?

Lihat petunjuk

Anggap A dan B sebagai satu blok. Bersama empat orang lainnya, ada lima unit yang disusun melingkar. Jangan lupa urutan A-B di dalam blok.

Lihat pembahasan

Lima unit melingkar dapat disusun dalam \((5-1)!=4!=24\) cara. Di dalam blok, A dan B dapat bertukar posisi dalam \(2!\) cara.

\[4!\times2!=24\times2=48\]

Jadi, ada 48 susunan melingkar.

8. Ringkasan

• Semua objek berbeda: \(n!\).
• Memilih dan menyusun \(r\) dari \(n\) objek: \(\frac{n!}{(n-r)!}\).
• Unsur identik: bagi dengan faktorial banyak pengulangan setiap unsur.
• Susunan melingkar: \((n-1)!\), jika rotasi dianggap sama.
• Syarat berdampingan: gunakan metode blok.
• Syarat tidak berdampingan: dapat gunakan metode komplemen.

Kelas-Matematika.com · Perhatikan apakah urutan, pengulangan, dan posisi mengubah hasil.