Peluang dan Kombinatorika #4

MATEMATIKA SMA · PAKET 4

Peluang dengan Kombinatorika

Menghitung peluang dengan menentukan banyak hasil yang mungkin dan banyak hasil yang memenuhi syarat.

Gagasan utama: hitung ruang sampel dan kejadian dengan cara yang tepat, kemudian bandingkan.

1. Peluang sebagai Perbandingan Banyak Cara

Jika semua hasil yang mungkin memiliki peluang sama, maka peluang kejadian \(A\) adalah

\[ P(A)=\frac{n(A)}{n(S)} \]

\(n(A)\) adalah banyak hasil yang mendukung kejadian \(A\), sedangkan \(n(S)\) adalah banyak hasil dalam ruang sampel.

Contoh: Dari 5 siswa dipilih 2 siswa secara acak. Berapa peluang Ani terpilih?

Semua pasangan yang mungkin berjumlah \(\binom{5}{2}=10\). Jika Ani harus terpilih, satu anggota lainnya dipilih dari 4 siswa yang tersisa, sehingga ada \(\binom{4}{1}=4\) pasangan.

\[ P(\text{Ani terpilih})=\frac{\binom{4}{1}}{\binom{5}{2}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]

Gunakan rumus ini jika hasil-hasil dalam ruang sampel sama mungkin. Jika hasilnya tidak sama mungkin, peluang tidak cukup dihitung hanya dengan membagi banyak hasil.

2. Memilih Kelompok dengan Syarat

A. Semua anggota berasal dari kategori yang sama

Contoh: Sebuah kelompok berisi 3 orang dipilih dari 4 perempuan dan 5 laki-laki. Berapa peluang semua anggota kelompok adalah perempuan?

Banyak kelompok seluruhnya \(\binom{9}{3}=84\), sedangkan kelompok perempuan seluruhnya \(\binom{4}{3}=4\).

\[ P(\text{semua perempuan})=\frac{\binom{4}{3}}{\binom{9}{3}}=\frac{4}{84}=\frac{1}{21} \]

B. Tepat sejumlah anggota tertentu

Contoh: Dari 6 laki-laki dan 4 perempuan dipilih 3 orang. Berapa peluang tepat 2 perempuan terpilih?

Pilih 2 dari 4 perempuan dan 1 dari 6 laki-laki. Total kelompok dipilih dari 10 orang.

\[ P(\text{tepat 2 perempuan})= \frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} =\frac{36}{120}=\frac{3}{10} \]

C. Minimal sejumlah anggota tertentu

Contoh: Dari 5 laki-laki dan 4 perempuan dipilih 3 orang. Berapa peluang minimal 2 perempuan terpilih?

Kasus yang memenuhi syarat: 2 perempuan dan 1 laki-laki, atau 3 perempuan.

\[ P=\frac{\binom{4}{2}\binom{5}{1}+\binom{4}{3}\binom{5}{0}}{\binom{9}{3}} =\frac{30+4}{84}=\frac{17}{42} \]

3. Peluang dari Pengambilan Kartu

Misalkan satu kartu diambil secara acak dari satu set kartu remi standar yang berisi 52 kartu, tanpa joker.

Contoh A: mengambil kartu hati. Ada 13 kartu hati dari 52 kartu.

\[ P(\text{kartu hati})=\frac{13}{52}=\frac14 \]

Contoh B: mengambil satu raja. Ada 4 raja.

\[ P(\text{raja})=\frac{4}{52}=\frac1{13} \]

Contoh C: mengambil raja atau kartu hati. Ada 4 raja dan 13 kartu hati, tetapi raja hati masuk kedua kelompok sehingga dihitung dua kali. Kurangi satu:

\[ P(\text{raja atau hati})=\frac{4+13-1}{52}=\frac{16}{52}=\frac4{13} \]

Untuk kejadian “A atau B”, jika kedua kejadian bisa terjadi bersamaan, gunakan prinsip inklusi-eksklusi: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).

4. Peluang Susunan dan Pemilihan

Kombinatorika juga berguna untuk peluang pada susunan acak. Perhatikan apakah hasil yang mungkin berupa kelompok atau urutan.

Contoh: Lima buku berbeda disusun berjajar secara acak. Berapa peluang dua buku tertentu, A dan B, berdampingan?

Semua susunan ada \(5!\). Jika A dan B dianggap satu blok, terdapat 4 objek yang disusun dan A-B dapat bertukar posisi.

\[ P(\text{A dan B berdampingan})=\frac{4!\times2!}{5!}=\frac{48}{120}=\frac25 \]

Jangan menggunakan kombinasi untuk menghitung susunan jika urutan memengaruhi hasil. Dalam contoh buku, hasil berupa susunan, sehingga digunakan permutasi.

5. Kalkulator Peluang Kombinatorika

Kalkulator ini menghitung peluang dengan bentuk \(\frac{\text{banyak kejadian}}{\text{banyak seluruh hasil}}\). Masukkan dua bilangan bulat nonnegatif.

Banyak hasil yang mendukung kejadian

Banyak seluruh hasil

Hasil akan muncul di sini.

Pastikan banyak kejadian tidak melebihi banyak seluruh hasil dan setiap hasil dalam ruang sampel sama mungkin.

6. Latihan Pilihan Ganda

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu tekan Periksa Skor.

1. Dari 6 siswa dipilih 2 siswa secara acak. Peluang seorang siswa tertentu terpilih adalah …

\(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{1}{2}\)

Kunci dan pembahasan

Peluang siswa tertentu terpilih adalah \(\frac{\binom{5}{1}}{\binom{6}{2}}=\frac{5}{15}=\frac13\).

2. Dari 5 laki-laki dan 3 perempuan dipilih 2 orang. Peluang keduanya perempuan adalah …

\(\frac{3}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{3}{28}\) \(\frac{1}{4}\)

Kunci dan pembahasan

\(\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}\).

3. Satu kartu diambil dari 52 kartu remi standar. Peluang terambil kartu raja adalah …

\(\frac{1}{13}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{26}\) \(\frac{4}{13}\)

Kunci dan pembahasan

Ada 4 raja dari 52 kartu, sehingga \(P=\frac4{52}=\frac1{13}\).

4. Dari 4 laki-laki dan 4 perempuan dipilih 3 orang. Peluang tepat 2 perempuan adalah …

\(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{3}{8}\) \(\frac{3}{7}\)

Kunci dan pembahasan

\(\frac{\binom42\binom41}{\binom83}=\frac{6\cdot4}{56}=\frac{24}{56}=\frac37\).

5. Lima buku berbeda disusun berjajar secara acak. Peluang dua buku tertentu berdampingan adalah …

\(\frac{1}{5}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{3}{5}\)

Kunci dan pembahasan

\(\frac{4!\cdot2!}{5!}=\frac25\).

6. Dalam satu set kartu remi standar, peluang mengambil raja atau kartu hati adalah …

\(\frac{17}{52}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{4}{13}\) \(\frac{1}{13}\)

Kunci dan pembahasan

Ada \(4+13-1=16\) kartu yang merupakan raja atau hati. Peluangnya \(\frac{16}{52}=\frac4{13}\).

Skor belum dihitung.

7. Tantangan HOTS

Dari 7 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan dipilih 4 orang secara acak. Tentukan peluang bahwa kelompok terpilih terdiri atas minimal 3 perempuan.

Lihat penyelesaian

Total kelompok yang mungkin:

\[\binom{12}{4}=495\]

Kasus yang memenuhi: 3 perempuan dan 1 laki-laki, atau 4 perempuan.

\[ n(A)=\binom{5}{3}\binom{7}{1}+\binom{5}{4}\binom{7}{0} =10(7)+5(1)=75 \]

\[ P(A)=\frac{75}{495}=\boxed{\frac{5}{33}} \]

Jadi, peluangnya adalah \(\frac{5}{33}\).

8. Ringkasan

• Jika semua hasil sama mungkin, \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\).
• Gunakan kombinasi untuk menghitung kelompok ketika urutan tidak diperhatikan.
• Gunakan permutasi untuk susunan ketika urutan diperhatikan.
• Untuk syarat “tepat” atau “minimal”, hitung kasus yang memenuhi, lalu jumlahkan bila kasus-kasusnya terpisah.
• Untuk kejadian “A atau B” yang dapat beririsan, kurangi bagian irisan agar tidak dihitung dua kali.

Refleksi: sebelum menghitung peluang, pastikan kamu sudah menentukan ruang sampel dengan benar. Kesalahan menghitung ruang sampel akan membuat hasil peluang ikut salah.

Paket 4 · Peluang dengan Kombinatorika · Materi Matematika SMA