Peluang Majemuk Lanjutan #5

MATEMATIKA SMA · PAKET 5

Peluang Majemuk Lanjutan

Mempelajari kejadian saling bebas, kejadian tidak saling bebas, peluang bersyarat, serta pengambilan dengan dan tanpa pengembalian.

Pertanyaan kunci: apakah kejadian pertama mengubah peluang kejadian berikutnya?

1. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian \(A\) dan \(B\) disebut saling bebas jika terjadinya \(A\) tidak mengubah peluang terjadinya \(B\), dan sebaliknya.

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \]

Contoh: Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersamaan. Peluang muncul sisi gambar pada koin dan angka 6 pada dadu adalah

\[ P(\text{gambar dan 6})=\frac12\times\frac16=\frac1{12} \]

Hasil koin tidak memengaruhi hasil dadu.

Kejadian pada dua alat berbeda sering kali saling bebas, tetapi tetap periksa apakah ada hubungan yang memengaruhi peluangnya.

2. Kejadian Tidak Saling Bebas

Pada kejadian tidak saling bebas, hasil kejadian pertama dapat mengubah peluang kejadian berikutnya. Situasi yang umum adalah pengambilan objek tanpa pengembalian.

Contoh: Dalam kantong terdapat 3 bola merah dan 2 bola biru. Dua bola diambil berurutan tanpa pengembalian. Peluang keduanya merah adalah

\[ P(M_1\cap M_2)=\frac35\times\frac24=\frac{6}{20}=\frac3{10} \]

Setelah bola merah pertama diambil, tersisa 2 bola merah dari 4 bola.

Dengan pengembalian

Jika bola pertama dikembalikan dan isi kantong diacak kembali, peluang merah pada pengambilan kedua tetap \(\frac35\).

\[ P(M_1\cap M_2)=\frac35\times\frac35=\frac9{25} \]

3. Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah peluang kejadian \(A\) jika diketahui bahwa kejadian \(B\) telah terjadi.

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0 \]

Contoh: Sebuah kartu diambil dari 52 kartu remi. Diketahui kartu tersebut berwarna merah. Berapa peluang kartu itu adalah hati?

Ada 26 kartu merah dan 13 kartu hati. Karena sudah diketahui kartu merah, ruang sampel yang relevan hanya 26 kartu merah.

\[ P(\text{hati}\mid\text{merah})=\frac{13}{26}=\frac12 \]

Kata “diketahui”, “jika”, atau “dengan syarat” sering menandakan bahwa ruang sampel perlu dipersempit.

4. Menghubungkan Peluang Bersyarat dan Peluang Gabungan

Rumus peluang gabungan dapat ditulis sebagai

\[ P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A) \]

Contoh: Dalam kelas terdapat 12 siswa perempuan dan 8 siswa laki-laki. Dua siswa dipilih berurutan tanpa pengembalian. Peluang siswa pertama perempuan dan siswa kedua laki-laki adalah

\[ P(P_1\cap L_2)=\frac{12}{20}\times\frac{8}{19}=\frac{24}{95} \]

Setelah siswa perempuan terpilih pertama, masih ada 8 siswa laki-laki dari total 19 siswa.

5. Peluang “Paling Sedikit Satu” dengan Komplemen

Untuk menghitung peluang muncul paling sedikit satu kejadian, sering kali lebih mudah menghitung peluang tidak ada kejadian tersebut.

\[ P(\text{minimal satu})=1-P(\text{tidak ada}) \]

Contoh: Sebuah koin adil dilempar 3 kali. Peluang muncul minimal satu gambar adalah

\[ P(\text{minimal satu gambar})=1-P(\text{semua angka}) \]

\[ =1-\left(\frac12\right)^3=\frac78 \]

Cara komplemen sangat membantu jika jumlah percobaan banyak dan kejadian “minimal satu” sulit dihitung langsung.

6. Kalkulator Pengambilan Bola

Hitung peluang dua bola dengan warna tertentu terambil berurutan dari kantong. Pilih apakah bola pertama dikembalikan atau tidak.

Jumlah bola merah

Jumlah bola biru

Cara pengambilanTanpa pengembalianDengan pengembalian

Hasil akan muncul di sini.

Kalkulator menghitung peluang kedua pengambilan menghasilkan bola merah, dengan asumsi setiap bola memiliki peluang terambil yang sama.

7. Latihan Pilihan Ganda

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu tekan Periksa Skor.

1. Sebuah koin adil dan sebuah dadu dilempar. Peluang muncul angka pada koin dan angka 4 pada dadu adalah …

\(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\)

Kunci dan pembahasan

\(\frac12\times\frac16=\frac1{12}\), karena hasil koin dan dadu saling bebas.

2. Dalam kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil tanpa pengembalian. Peluang keduanya merah adalah …

\(\frac{4}{7}\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{2}{7}\) \(\frac{4}{49}\)

Kunci dan pembahasan

\(\frac47\times\frac36=\frac{12}{42}=\frac27\). Jawaban yang benar adalah opsi C.

3. Dari 52 kartu remi diketahui kartu yang diambil berwarna merah. Peluang kartu itu adalah hati ialah …

\(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{13}\) \(\frac{13}{52}\)

Kunci dan pembahasan

Di antara 26 kartu merah, ada 13 kartu hati. Peluang bersyaratnya \(\frac{13}{26}=\frac12\).

4. Sebuah koin adil dilempar 4 kali. Peluang muncul minimal satu gambar adalah …

\(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{7}{8}\) \(\frac{15}{16}\)

Kunci dan pembahasan

Komplemen dari minimal satu gambar adalah tidak ada gambar, yaitu semua angka. Peluangnya \(1-(\frac12)^4=\frac{15}{16}\).

5. Dalam kantong terdapat 3 bola merah dan 2 bola biru. Dua bola diambil dengan pengembalian. Peluang keduanya merah adalah …

\(\frac{9}{25}\) \(\frac{3}{10}\) \(\frac{3}{5}\) \(\frac{6}{25}\)

Kunci dan pembahasan

Dengan pengembalian, peluang merah tetap \(\frac35\) pada setiap pengambilan. Jadi \(\frac35\times\frac35=\frac9{25}\).

6. Diketahui \(P(A)=0{,}4\), \(P(B\mid A)=0{,}5\). Nilai \(P(A\cap B)\) adalah …

0,9 0,5 0,2 0,1

Kunci dan pembahasan

\(P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2\).

Skor belum dihitung.

8. Tantangan HOTS

Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Dua bola diambil secara berurutan tanpa pengembalian. Tentukan peluang bahwa kedua bola berwarna sama.

Lihat penyelesaian

Kedua bola sama warna jika keduanya merah atau keduanya biru. Kedua kasus saling terpisah, sehingga peluangnya dijumlahkan.

\[ P(MM)=\frac59\times\frac48=\frac{20}{72}=\frac5{18} \]

\[ P(BB)=\frac49\times\frac38=\frac{12}{72}=\frac16 \]

\[ P(\text{sama warna})=\frac5{18}+\frac16=\frac5{18}+\frac3{18}=\boxed{\frac49} \]

9. Ringkasan

• Saling bebas: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
• Tidak saling bebas: \(P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)\).
• Peluang bersyarat: \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
• Tanpa pengembalian: peluang pengambilan berikutnya dapat berubah.
• Dengan pengembalian: komposisi objek kembali seperti semula.
• Minimal satu: pertimbangkan komplemen \(1-P(\text{tidak ada})\).

Refleksi: sebelum mengalikan peluang, tanyakan: “Apakah kejadian pertama mengubah peluang kejadian kedua?” Jawaban ini membantu memilih rumus yang tepat.

Paket 5 · Peluang Majemuk Lanjutan · Materi Matematika SMA