MATEMATIKA SMA · PAKET 1
Aturan Pencacahan Lanjutan
Diagram pohon, tabel kemungkinan, pengisian tempat, pembentukan bilangan, dan pencacahan dengan syarat tertentu.
1. Mengapa perlu aturan pencacahan?
Aturan pencacahan membantu kita menghitung banyak kemungkinan secara sistematis. Kita tidak perlu menuliskan semua hasil satu per satu jika pola pilihannya dapat dikenali.
Aturan penjumlahan
Digunakan saat memilih satu pilihan dari kelompok-kelompok yang terpisah.
Contoh: 4 pilihan jus atau 3 pilihan susu, sehingga ada \(4+3=7\) pilihan minuman.
Aturan perkalian
Digunakan untuk kegiatan yang terdiri atas beberapa tahap berurutan.
Contoh: 3 pilihan baju dan 2 pilihan celana, sehingga ada \(3\times2=6\) pasangan.
2. Diagram pohon dan tabel kemungkinan
Diagram pohon memperlihatkan pilihan pada setiap tahap. Setiap jalur dari awal sampai akhir mewakili satu hasil yang mungkin.
Contoh: pilihan minuman dan ukuran
Sebuah kedai menyediakan 2 minuman (teh dan jus) dan 3 ukuran (kecil, sedang, besar). Diagram ringkasnya:
Setiap minuman dapat dipasangkan dengan ketiga ukuran. Jadi, jumlah hasil akhirnya \(2\times3=6\).
Tabel kemungkinan
| Minuman | Kecil | Sedang | Besar |
|---|---|---|---|
| Teh | Teh-kecil | Teh-sedang | Teh-besar |
| Jus | Jus-kecil | Jus-sedang | Jus-besar |
3. Pengisian tempat dan pembentukan bilangan
Setiap posisi digit dapat dianggap sebagai satu tempat yang diisi dengan pilihan tertentu. Banyak kemungkinan diperoleh dengan mengalikan banyak pilihan pada setiap tempat, dengan memperhatikan aturan soal.
Contoh A — Bilangan tiga angka tanpa pengulangan
Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibentuk dari digit 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?
Ratusan
Puluhan
Satuan
Contoh B — Bilangan tiga angka genap tanpa pengulangan
Gunakan digit 1, 2, 3, 4, 5. Berapa banyak bilangan tiga angka genap tanpa pengulangan?
Digit satuan harus 2 atau 4, jadi ada 2 pilihan. Setelah satuan dipilih, ratusan memiliki 4 pilihan tersisa dan puluhan 3 pilihan.
Contoh C — Jika digit 0 ikut tersedia
Berapa banyak bilangan tiga angka tanpa pengulangan yang dapat dibentuk dari 0, 1, 2, 3?
Ratusan tidak boleh 0, sehingga ada 3 pilihan (1, 2, atau 3). Setelah itu, puluhan memiliki 3 pilihan tersisa dan satuan 2 pilihan.
4. Pencacahan dengan syarat tertentu
A. Ada objek yang harus dipilih
Sebuah kode terdiri dari satu huruf yang dipilih dari A, B, C, D, diikuti satu angka dari 1, 2, 3. Jika huruf A wajib digunakan, banyak kode adalah:
B. Dua objek tidak boleh berdampingan
Untuk masalah susunan, kadang lebih mudah menghitung semua susunan lalu mengurangi susunan yang melanggar syarat. Cara ini disebut metode komplemen pencacahan.
Contoh sederhana: dari semua kode yang mungkin, hitung kode yang dilarang, lalu kurangkan dari total jika kedua kelompoknya jelas.
C. Memilih dengan pengulangan atau tanpa pengulangan
Dengan pengulangan
Jika setiap posisi memiliki \(n\) pilihan dan pilihan boleh berulang, untuk \(r\) posisi ada \(n^r\) hasil.
Tanpa pengulangan
Jumlah pilihan berkurang setelah satu objek digunakan, misalnya \(n(n-1)(n-2)\) untuk tiga posisi.
5. Eksplorasi interaktif: menghitung kode
Atur jumlah simbol yang tersedia dan banyak posisi kode. Bandingkan banyak kode jika pengulangan diperbolehkan dan jika tidak diperbolehkan.
Hasil perhitungan
Untuk tanpa pengulangan, hasil hanya tersedia jika jumlah simbol sekurang-kurangnya sama dengan jumlah posisi.
6. Latihan interaktif
Pilih jawaban yang tepat. Kunci dan pembahasan dapat dibuka setelah mencoba.
7. Tantangan HOTS
Sebuah kode terdiri atas 3 digit berbeda yang dipilih dari 0, 1, 2, 3, 4. Digit pertama tidak boleh 0. Berapa banyak kode yang dapat dibuat?
Lihat petunjuk
Hitung pilihan untuk digit pertama terlebih dahulu, lalu digit kedua dan ketiga. Digit yang sudah dipakai tidak boleh digunakan lagi.
Lihat pembahasan
Digit pertama memiliki 4 pilihan (1, 2, 3, 4). Setelah itu, digit kedua memiliki 4 pilihan tersisa (termasuk 0 jika belum dipakai), lalu digit ketiga memiliki 3 pilihan.
Jadi, ada 48 kode.
8. Ringkasan
- Aturan penjumlahan: gabungkan pilihan alternatif yang tidak tumpang tindih.
- Aturan perkalian: kalikan pilihan pada setiap tahap.
- Diagram pohon dan tabel membantu mengorganisasi kemungkinan.
- Untuk bilangan, perhatikan apakah digit pertama boleh nol.
- Periksa apakah pengulangan diperbolehkan dan apakah ada syarat tambahan.
Kelas-Matematika.com · Berpikir sistematis membuat pencacahan lebih mudah.