Peluang (Latihan Campuran dan HOTS) #6

MATEMATIKA SMA · PAKET 6

Latihan Campuran dan HOTS

Uji pemahaman aturan pencacahan, permutasi, kombinasi, dan peluang melalui soal yang membutuhkan pemilihan strategi.

Tantangan utama: tentukan sendiri konsep yang paling tepat sebelum mulai menghitung.

1. Peta Strategi: Konsep Apa yang Digunakan?

Aturan pencacahan

Gunakan aturan penjumlahan untuk pilihan yang saling terpisah dan aturan perkalian untuk tahapan yang dilakukan bersama-sama.

Permutasi

Gunakan ketika urutan atau posisi berbeda menghasilkan susunan yang berbeda, misalnya menentukan juara atau menyusun buku.

Kombinasi

Gunakan ketika hanya memilih anggota kelompok dan urutan tidak diperhatikan.

Peluang

Jika semua hasil sama mungkin, gunakan \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\). Hitung ruang sampel dan kejadian dengan metode yang sesuai.

Tip: jangan langsung memasukkan angka ke rumus. Tuliskan dahulu apa yang dihitung: susunan, kelompok, atau peluang.

2. Contoh Strategi Campuran

Contoh A — Kode dengan digit berbeda. Berapa banyak kode 3 digit yang dapat dibuat dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan?

\[ 5\times4\times3=60 \]

Karena posisi digit membedakan kode, urutan diperhatikan.

Contoh B — Memilih tim. Dari 8 siswa dipilih 3 siswa untuk sebuah tim.

\[ \binom83=\frac{8!}{3!5!}=56 \]

Karena hanya anggota tim yang penting, urutan tidak diperhatikan.

Contoh C — Peluang dari kelompok. Dari 5 perempuan dan 4 laki-laki dipilih 2 orang secara acak. Peluang keduanya perempuan adalah

\[ \frac{\binom52}{\binom92}=\frac{10}{36}=\frac5{18} \]

3. Latihan Campuran — 10 Soal

Kerjakan tanpa melihat pembahasan terlebih dahulu. Pilih jawaban terbaik, lalu tekan Periksa Skor. Kunci dan pembahasan setiap soal dapat dibuka setelah kamu mencoba.

1. Aturan pencacahan. Sebuah kantin menyediakan 4 jenis roti dan 3 jenis minuman. Jika seseorang memilih satu roti dan satu minuman, banyak pasangan pilihan adalah …

7 10 12 24

Kunci dan pembahasan

Aturan perkalian: \(4\times3=12\). Jawaban yang benar adalah opsi C.

2. Permutasi. Enam siswa akan berbaris untuk foto. Banyak susunan berbeda adalah …

36 720 120 30

Kunci dan pembahasan

Urutan barisan diperhatikan, sehingga banyak susunan \(6!=720\).

3. Kombinasi. Dari 9 siswa dipilih 3 orang sebagai anggota tim tanpa jabatan. Banyak tim yang mungkin adalah …

84 504 27 72

Kunci dan pembahasan

Urutan tidak diperhatikan: \(\binom93=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84\).

4. Kode tanpa pengulangan. Banyak bilangan tiga digit yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5 tanpa pengulangan adalah …

15 25 10 60

Kunci dan pembahasan

Posisi ratusan, puluhan, dan satuan memiliki \(5\), \(4\), dan \(3\) pilihan: \(5\times4\times3=60\).

5. Peluang pemilihan. Dari 5 perempuan dan 4 laki-laki dipilih 2 orang secara acak. Peluang keduanya perempuan adalah …

\(\frac{5}{9}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{5}{18}\) \(\frac{1}{2}\)

Kunci dan pembahasan

\(\frac{\binom52}{\binom92}=\frac{10}{36}=\frac5{18}\).

6. Permutasi dengan syarat. Lima orang duduk berjajar. A dan B harus berdampingan. Banyak susunan yang mungkin adalah …

48 24 60 120

Kunci dan pembahasan

Anggap A dan B satu blok. Ada 4 objek yang disusun, yaitu \(4!\) cara, dan urutan A-B dapat ditukar 2 cara. Total \(4!\times2=48\).

7. Peluang tanpa pengembalian. Kotak berisi 3 bola merah dan 2 bola biru. Dua bola diambil tanpa pengembalian. Peluang keduanya merah adalah …

\(\frac{3}{5}\) \(\frac{3}{10}\) \(\frac{9}{25}\) \(\frac{1}{5}\)

Kunci dan pembahasan

\(\frac35\times\frac24=\frac6{20}=\frac3{10}\).

8. Peluang komplemen. Sebuah koin adil dilempar 3 kali. Peluang muncul minimal satu gambar adalah …

\(\frac18\) \(\frac12\) \(\frac34\) \(\frac78\)

Kunci dan pembahasan

Peluang minimal satu gambar adalah \(1-P(\text{semua angka})=1-(\frac12)^3=\frac78\).

9. Kombinasi dengan syarat. Dari 7 siswa dipilih 3 orang. A dan B harus sama-sama terpilih. Banyak pilihan kelompok adalah …

7 10 5 21

Kunci dan pembahasan

A dan B sudah pasti terpilih. Pilih 1 orang lagi dari 5 siswa lainnya, sehingga ada \(\binom51=5\) kelompok.

10. Peluang kartu. Satu kartu diambil dari 52 kartu remi standar. Peluang mendapat kartu raja atau kartu hati adalah …

\(\frac{4}{13}\) \(\frac{17}{52}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{13}\)

Kunci dan pembahasan

Ada 4 raja dan 13 kartu hati, tetapi raja hati terhitung dua kali. Banyak hasil yang memenuhi \(4+13-1=16\), sehingga peluangnya \(\frac{16}{52}=\frac4{13}\).

Skor belum dihitung.

4. Tantangan HOTS

Dalam sebuah kelas terdapat 6 siswa perempuan dan 5 siswa laki-laki. Akan dipilih tim beranggotakan 4 orang. Tentukan banyak tim yang memuat minimal 2 siswa perempuan, kemudian tentukan peluangnya jika semua tim berpeluang sama untuk terpilih.

Lihat penyelesaian langkah demi langkah

Langkah 1 — Hitung seluruh tim

\[ n(S)=\binom{11}{4}=330 \]

Langkah 2 — Hitung tim yang memenuhi syarat

Kasusnya adalah 2 perempuan dan 2 laki-laki; 3 perempuan dan 1 laki-laki; atau 4 perempuan.

\[ n(A)=\binom62\binom52+\binom63\binom51+\binom64\binom50 \]

\[ =15(10)+20(5)+15(1)=265 \]

Langkah 3 — Hitung peluang

\[ P(A)=\frac{265}{330}=\boxed{\frac{53}{66}} \]

Jadi, ada 265 tim yang memenuhi syarat, dengan peluang \(\frac{53}{66}\).

5. Refleksi Strategi

Setelah menyelesaikan latihan, periksa apakah kamu sudah bisa menjelaskan alasan pemilihan konsep.

• Apakah urutan atau posisi memengaruhi hasil?
• Apakah soal meminta menghitung banyak cara atau peluang?
• Apakah ada syarat seperti “wajib”, “tidak boleh”, “tepat”, atau “minimal”?
• Apakah pengambilan dilakukan dengan atau tanpa pengembalian?
• Apakah ada hasil yang terhitung dua kali?

Pesan penting: matematika bukan hanya memilih rumus, tetapi juga memahami situasi dan menjelaskan mengapa strategi tersebut tepat.

Paket 6 · Latihan Campuran dan HOTS · Materi Matematika SMA