Aturan Pencacahan dan Peluang

Aturan Pencacahan dan Peluang - Kelas Matematika

MATEMATIKA SMA · STATISTIKA DAN PELUANG

Aturan Pencacahan dan Peluang

Menghitung banyak kemungkinan, memilih atau menyusun objek, dan menentukan peluang suatu kejadian.

1. Aturan pencacahan

Aturan pencacahan digunakan untuk menghitung banyak cara atau kemungkinan tanpa menuliskan semua kemungkinan satu per satu.

A. Aturan penjumlahan

Jika memilih salah satu dari beberapa kelompok pilihan yang tidak tumpang tindih, jumlahkan banyak pilihannya.

Contoh: tersedia 4 jus atau 3 jenis susu. Memilih satu minuman dapat dilakukan dengan \(4+3=7\) cara.

B. Aturan perkalian

Jika kegiatan terdiri atas beberapa tahap, kalikan banyak pilihan pada setiap tahap.

Contoh: 3 baju dan 2 celana menghasilkan \(3\times2=6\) pasangan pakaian.

Contoh soal

Sebuah paket terdiri atas satu makanan dari 3 pilihan, satu minuman dari 4 pilihan, dan satu buah dari 2 pilihan. Banyak paket berbeda:

\[3\times4\times2=24\]

Jadi, ada 24 paket berbeda.

Petunjuk: “atau” sering mengarah pada penjumlahan, sedangkan pilihan yang dilakukan bertahap sering mengarah pada perkalian. Periksa konteks soalnya.

2. Faktorial

Faktorial bilangan bulat positif \(n\), ditulis \(n!\), adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai \(n\).

\[n!=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1\]

Contoh:

\[4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\]

Secara khusus, \(0!=1\).

Mengapa \(0!=1\)?

Nilai ini ditetapkan agar rumus-rumus faktorial konsisten. Secara intuitif, ada satu cara menyusun nol objek: tidak melakukan apa-apa.

3. Permutasi: urutan diperhatikan

Permutasi digunakan ketika memilih atau menyusun objek dan urutannya berpengaruh.

\[P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\]

Rumus ini menghitung banyak susunan \(r\) objek yang dipilih dari \(n\) objek berbeda tanpa pengulangan.

Contoh

Dari 5 siswa akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Karena jabatannya berbeda, urutan diperhatikan.

\[P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=5\cdot4\cdot3=60\]

Ada 60 susunan pengurus.

Jika semua \(n\) objek berbeda disusun, banyak caranya adalah \(n!\).

4. Kombinasi: urutan tidak diperhatikan

Kombinasi digunakan ketika memilih objek dan urutan pemilihannya tidak penting.

\[C(n,r)=\binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]

Contoh

Dari 5 siswa dipilih 3 orang untuk menjadi tim lomba. Tidak ada jabatan khusus, sehingga urutan tidak diperhatikan.

\[C(5,3)=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10\]

Ada 10 tim berbeda.

Permutasi

Urutan penting. Contoh: juara 1, 2, dan 3.

Kombinasi

Urutan tidak penting. Contoh: memilih anggota tim.

Trik: tanyakan apakah menukar posisi dua orang menghasilkan hasil yang berbeda. Jika ya, kemungkinan permutasi; jika tidak, kemungkinan kombinasi.

5. Konsep dasar peluang

Untuk ruang sampel berhingga dengan semua hasil sama mungkin, peluang kejadian \(A\) adalah:

\[P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\]

\(n(A)\) adalah banyak hasil yang mendukung kejadian \(A\), sedangkan \(n(S)\) adalah banyak seluruh hasil dalam ruang sampel.

\[0\le P(A)\le1\]

\(P(A)=0\): kejadian mustahil.
\(P(A)=1\): kejadian pasti.

Contoh: melempar dadu

Sebuah dadu seimbang dilempar. Kejadian \(A\) adalah muncul bilangan genap, yaitu \(\{2,4,6\}\). Ada 3 hasil yang mendukung dari 6 hasil yang mungkin.

\[P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%\]

Peluang muncul bilangan genap adalah \(\frac12\) atau 50%.

6. Peluang komplemen dan kejadian majemuk

A. Peluang komplemen

Komplemen \(A\), ditulis \(A^c\), berarti kejadian \(A\) tidak terjadi.

\[P(A^c)=1-P(A)\]

Jika \(P(A)=0,3\), maka \(P(A^c)=1-0,3=0,7\).

B. Peluang gabungan

Untuk dua kejadian \(A\) dan \(B\):

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Irisan dikurangi agar hasil yang termasuk dalam kedua kejadian tidak dihitung dua kali.

C. Kejadian saling lepas

Jika dua kejadian tidak dapat terjadi bersamaan, \(P(A\cap B)=0\), sehingga:

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

D. Kejadian independen

Jika terjadinya \(A\) tidak memengaruhi peluang \(B\):

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\]

Contoh: peluang gambar pada koin dan angka 6 pada dadu:

\[\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\]

E. Peluang bersyarat

Peluang \(A\) jika diketahui \(B\) terjadi:

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0\]

7. Memilih konsep yang tepat

Situasi soal	Konsep
Menghitung pilihan dari beberapa tahap	Aturan perkalian
Memilih satu dari kelompok pilihan berbeda	Aturan penjumlahan
Memilih dan menyusun jabatan atau posisi	Permutasi
Memilih kelompok tanpa peran khusus	Kombinasi
Menghitung hasil yang mendukung kejadian	Peluang klasik
Menghitung peluang kejadian tidak terjadi	Komplemen
Dua kejadian terjadi bersama	Periksa independensi atau gunakan peluang irisan

9. Refleksi belajar

Kapan menggunakan aturan penjumlahan dan kapan menggunakan aturan perkalian?
Apa perbedaan permutasi dan kombinasi?
Bagaimana menentukan ruang sampel dan kejadian?
Mengapa independensi perlu diperiksa sebelum mengalikan peluang?

Materi Kelas-Matematika.com · Tentukan konsep yang tepat, hitung dengan teliti, dan periksa kembali hasilnya.

Cari Blog Ini

Navigasi Materi