Kombinasi Lanjutan #3

MATEMATIKA SMA · PAKET 3

Kombinasi Lanjutan

Memilih anggota tim, membentuk kelompok, memilih beberapa objek, dan menyelesaikan masalah dengan syarat tertentu.

Ide utama: dalam kombinasi, urutan pilihan tidak diperhatikan.

1. Mengingat Kembali Konsep Kombinasi

Kombinasi digunakan ketika kita memilih \(r\) objek dari \(n\) objek berbeda dan urutan pemilihan tidak menghasilkan susunan baru.

\[ \binom{n}{r}=C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Contoh. Dari 5 siswa akan dipilih 2 siswa sebagai wakil kelas. Banyak pasangan yang mungkin:

\[ \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10 \]

Pasangan Ani–Budi sama dengan Budi–Ani, sehingga tidak dihitung dua kali.

Bedakan dengan permutasi: memilih ketua dan wakil ketua biasanya memperhatikan jabatan, sehingga urutan/peran berbeda. Memilih dua anggota tim tanpa jabatan menggunakan kombinasi.

2. Kombinasi dengan Syarat Tertentu

A. Beberapa orang harus terpilih

Jika orang tertentu wajib masuk kelompok, masukkan orang tersebut terlebih dahulu, lalu pilih anggota sisanya dari orang yang masih tersedia.

Contoh: Dari 8 siswa dipilih tim beranggotakan 3 orang. Jika Rani wajib terpilih, pilih 2 anggota lagi dari 7 siswa lainnya.

\[ \binom{7}{2}=21 \]

B. Beberapa orang tidak boleh terpilih

Jika orang tertentu dilarang masuk, keluarkan mereka dari kumpulan calon sebelum menghitung kombinasi.

Contoh: Dari 9 siswa dipilih 3 orang. Jika Dodi tidak boleh terpilih, pilihan berasal dari 8 siswa lainnya:

\[ \binom{8}{3}=56 \]

C. Dua orang harus terpilih bersama

Jika A dan B harus sama-sama masuk, anggap keduanya sudah terpilih. Pilih anggota yang tersisa dari calon lainnya.

Contoh: Dari 7 siswa dipilih tim 4 orang. A dan B wajib masuk. Dua anggota lainnya dipilih dari 5 siswa:

\[ \binom{5}{2}=10 \]

D. Dua orang tidak boleh terpilih bersama

Gunakan cara komplemen: semua kelompok dikurangi kelompok yang memuat keduanya.

Contoh: Dari 7 siswa dipilih tim 3 orang. A dan B tidak boleh terpilih bersama.

\[ \binom{7}{3}-\binom{5}{1}=35-5=30 \]

Kelompok yang memuat A dan B harus memilih 1 anggota lagi dari 5 siswa lainnya.

3. Memilih Kelompok dari Dua Kategori

Sering kali soal meminta jumlah anggota tertentu dari setiap kategori, misalnya memilih siswa laki-laki dan perempuan untuk sebuah tim.

Contoh: Terdapat 6 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan. Berapa tim berisi 2 laki-laki dan 2 perempuan?

\[ \binom{6}{2}\times\binom{5}{2}=15\times10=150 \]

Pilihan dari kategori pertama dipasangkan dengan pilihan dari kategori kedua, sehingga kedua banyak pilihan dikalikan.

Jika syaratnya “tepat 2 perempuan”, pilih tepat 2 perempuan dan sejumlah anggota lainnya dari kategori laki-laki. Jika syaratnya “minimal 2 perempuan”, jumlahkan beberapa kasus yang memenuhi syarat.

Contoh: minimal 2 perempuan

Dari 6 laki-laki dan 5 perempuan dipilih 4 orang, dengan minimal 2 perempuan. Kasusnya: 2 perempuan + 2 laki-laki, atau 3 perempuan + 1 laki-laki, atau 4 perempuan.

\[ \binom{5}{2}\binom{6}{2}+\binom{5}{3}\binom{6}{1}+\binom{5}{4}\binom{6}{0} \]

\[ =150+60+5=215 \]

4. Eksplorasi Kalkulator Kombinasi

Masukkan banyak objek \(n\) dan banyak objek yang dipilih \(r\). Coba ubah nilai \(r\) untuk melihat bagaimana banyak kelompok berubah.

Banyak objek (n)

Banyak yang dipilih (r)

Hasil akan muncul di sini.

Kalkulator ini membatasi n sampai 170 agar perhitungan faktorial tetap praktis pada browser.

5. Strategi Menyelesaikan Soal

1. Tentukan apakah urutan atau jabatan diperhatikan.
2. Tentukan total calon dan banyak anggota kelompok yang dipilih.
3. Tandai syarat: wajib, dilarang, harus bersama, tidak boleh bersama, tepat, atau minimal.
4. Untuk pilihan dari kategori berbeda, kalikan banyak cara pada tiap kategori.
5. Untuk syarat “minimal”, uraikan menjadi beberapa kasus yang saling terpisah, lalu jumlahkan.
6. Periksa apakah ada kasus yang terhitung dua kali atau justru terlewat.

6. Latihan Pilihan Ganda

Pilih satu jawaban pada setiap soal, lalu tekan Periksa Skor.

1. Dari 10 siswa dipilih 3 orang untuk sebuah tim. Banyak tim yang mungkin adalah …

30 120 720 1.000

Kunci dan pembahasan

\(\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\).

2. Dari 8 siswa dipilih 3 orang. Jika Rina wajib masuk tim, banyak pilihan tim adalah …

8 28 21 56

Kunci dan pembahasan

Rina sudah pasti masuk, jadi pilih 2 dari 7 siswa lain: \(\binom{7}{2}=21\). Jadi, jawaban yang benar adalah opsi C.

3. Ada 5 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan. Banyak tim yang terdiri dari 2 laki-laki dan 2 perempuan adalah …

60 40 20 90

Kunci dan pembahasan

\(\binom{5}{2}\binom{4}{2}=10\times6=60\).

4. Dari 7 orang dipilih 3 orang. A dan B tidak boleh terpilih bersama. Banyak pilihan adalah …

20 25 28 30

Kunci dan pembahasan

Semua kelompok: \(\binom{7}{3}=35\). Kelompok yang memuat A dan B: pilih 1 dari 5 orang lain, ada 5. Jadi \(35-5=30\).

5. Dari 6 laki-laki dan 5 perempuan dipilih 4 orang. Banyak tim dengan minimal 2 perempuan adalah …

150 215 180 330

Kunci dan pembahasan

\(\binom{5}{2}\binom{6}{2}+\binom{5}{3}\binom{6}{1}+\binom{5}{4}\binom{6}{0}=150+60+5=215\).

6. Dari 9 buku berbeda dipilih 4 buku. Banyak cara memilihnya adalah …

36 84 126 3024

Kunci dan pembahasan

\(\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!5!}=126\).

Skor belum dihitung.

7. Tantangan HOTS

Sebuah panitia beranggotakan 4 orang akan dipilih dari 5 guru matematika dan 6 guru IPA. Berapa banyak panitia yang dapat dibentuk jika panitia harus memuat minimal 2 guru matematika?

Lihat penyelesaian

Kasus yang mungkin: 2 guru matematika dan 2 guru IPA; 3 guru matematika dan 1 guru IPA; atau 4 guru matematika.

\[ \binom{5}{2}\binom{6}{2}+\binom{5}{3}\binom{6}{1}+\binom{5}{4}\binom{6}{0} \]

\[ =10(15)+10(6)+5(1)=150+60+5=\boxed{215} \]

Jadi, ada 215 panitia yang mungkin.

8. Ringkasan

• Kombinasi: urutan tidak diperhatikan.
• Wajib terpilih: tetapkan orang tersebut, lalu pilih sisanya.
• Tidak boleh bersama: sering lebih mudah memakai komplemen.
• Dua kategori: kalikan pilihan pada masing-masing kategori.
• Minimal: uraikan menjadi kasus-kasus yang memenuhi syarat, kemudian jumlahkan.

Refleksi: sebelum menghitung, tanyakan pada diri sendiri: “Apakah urutan pilihan menghasilkan kelompok yang berbeda?” Jika tidak, kemungkinan besar kombinasi adalah alat yang tepat.

Paket 3 · Kombinasi Lanjutan · Materi Matematika SMA