LABORATORIUM MATEMATIKA SMA
PAKET 8: APLIKASI INTEGRAL LANJUTAN
Luas di antara dua kurva dan metode kulit tabung
1. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari paket ini, siswa diharapkan mampu:
- Menentukan titik perpotongan dua kurva.
- Menghitung luas daerah yang dibatasi dua grafik fungsi.
- Menjelaskan metode kulit tabung untuk menghitung volume.
- Menentukan jari-jari dan tinggi kulit tabung.
- Memilih bentuk integral yang sesuai dengan daerah dan sumbu putar.
2. Istilah-Istilah Penting
2.1 Titik Perpotongan (Intersection)
Titik perpotongan adalah titik tempat dua grafik bertemu. Nilai koordinatnya diperoleh dengan menyamakan kedua fungsi.
Jika \(y=f(x)\) dan \(y=g(x)\), maka titik perpotongannya memenuhi:
\[f(x)=g(x)\]
2.2 Kurva Atas dan Kurva Bawah
Kurva atas adalah grafik dengan nilai \(y\) lebih besar pada interval yang ditinjau. Kurva bawah adalah grafik dengan nilai \(y\) lebih kecil.
Jika kurva atas adalah \(f(x)\) dan kurva bawah adalah \(g(x)\), luas daerah dihitung dengan:
\[L=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx\]
2.3 Irisan Vertikal dan Horizontal
Irisan vertikal adalah potongan tipis yang tegak lurus terhadap sumbu \(x\). Irisan horizontal adalah potongan tipis yang tegak lurus terhadap sumbu \(y\).
Pilihan irisan memengaruhi cara kita menyusun integral.
2.4 Kulit Tabung (Cylindrical Shell)
Kulit tabung adalah lapisan silinder tipis yang memiliki jari-jari dan tinggi. Ketika sebuah daerah diputar mengelilingi sumbu tertentu, kulit-kulit tipis ini dapat digunakan untuk membentuk pendekatan volume benda putar.
2.5 Jari-jari Kulit
Jari-jari kulit adalah jarak dari sumbu putar ke kulit tabung. Jika diputar mengelilingi sumbu \(y\), kulit yang berasal dari posisi \(x\) memiliki jari-jari \(|x|\).
2.6 Tinggi Kulit
Tinggi kulit adalah selisih antara nilai fungsi atas dan fungsi bawah untuk irisan vertikal, atau selisih batas kanan dan kiri untuk irisan horizontal.
2.7 Metode Kulit Tabung (Shell Method)
Metode kulit tabung menghitung volume dengan menjumlahkan volume lapisan silinder tipis.
Untuk kulit dengan jari-jari \(r\), tinggi \(h\), dan ketebalan kecil \(\Delta x\), volumenya dapat didekati dengan:
\[\Delta V\approx 2\pi rh\,\Delta x\]
Faktor \(2\pi r\) adalah keliling lingkaran, sedangkan \(h\) adalah tinggi kulit.
3. Luas Daerah di Antara Dua Kurva
Misalkan dua kurva adalah:
\[y=2x\]
dan
\[y=x^2\]
Kita akan menghitung luas daerah di antara keduanya dari \(x=0\) sampai \(x=2\).
Langkah 1: Menentukan titik perpotongan
Samakan kedua fungsi:
\[2x=x^2\]
\[x^2-2x=0\]
\[x(x-2)=0\]
Jadi:
\[x=0\quad\text{atau}\quad x=2\]
Langkah 2: Menentukan kurva atas dan bawah
Pada interval \(0\le x\le2\), berlaku \(2x\ge x^2\).
Jadi, kurva atas adalah \(y=2x\) dan kurva bawah adalah \(y=x^2\).
Langkah 3: Menyusun integral
Luas diperoleh dari kurva atas dikurangi kurva bawah:
\[L=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\]
Langkah 4: Menghitung integral
\[\begin{aligned}L&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=\left(4-\frac83\right)-0\\&=\frac43\end{aligned}\]
4. Laboratorium A: Mengamati Luas Dua Kurva
Geser batas atas untuk melihat daerah yang dihitung di antara \(y=2x\) dan \(y=x^2\).
Batas bawah: \(a=0\)
Batas atas \(b\)
Luas daerah pada interval yang dipilih
Kurva atas dikurangi kurva bawah.
Untuk batas atas \(b\) pada interval \(0\le b\le2\), luasnya adalah:
\[\begin{aligned}L(b)&=\int_0^b(2x-x^2)\,dx\\&=b^2-\frac{b^3}{3}\end{aligned}\]
Nilai luas maksimum pada interval ini terjadi ketika \(b=2\), yaitu \(\frac43\) satuan luas.
5. Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung berguna untuk menghitung volume benda putar. Kita akan memutar daerah yang dibatasi oleh \(y=x\), sumbu \(x\), \(x=0\), dan \(x=2\) mengelilingi sumbu \(y\).
Langkah 1: Menentukan jari-jari
Karena sumbu putarnya adalah sumbu \(y\), jarak dari sumbu \(y\) ke posisi \(x\) adalah:
\[r=x\]
Langkah 2: Menentukan tinggi kulit
Daerah dibatasi kurva \(y=x\) di bagian atas dan \(y=0\) di bagian bawah.
\[h=x-0=x\]
Langkah 3: Menyusun rumus volume
Volume kulit tabung tipis adalah keliling dikalikan tinggi dan ketebalan.
\[dV=2\pi rh\,dx\]
Substitusikan \(r=x\) dan \(h=x\):
\[V=2\pi\int_0^2x(x)\,dx\]
\[V=2\pi\int_0^2x^2\,dx\]
Langkah 4: Menghitung volume
\[\begin{aligned}V&=2\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=2\pi\left(\frac83\right)\\&=\frac{16\pi}{3}\end{aligned}\]
6. Laboratorium B: Mengamati Kulit Tabung
Ilustrasi berikut menunjukkan penampang konseptual kulit tabung pada posisi \(x\). Geser posisi untuk mengamati perubahan jari-jari dan tinggi kulit.
Posisi kulit \(x\)
| Besaran | Nilai |
|---|---|
| Jari-jari \(r=x\) | 1 |
| Tinggi \(h=x\) | 1 |
| Keliling \(2\pi r\) | 6,28 |
Kulit memiliki jari-jari dan tinggi yang sama pada posisi ini.
Ilustrasi ini menunjukkan ukuran kulit pada posisi tertentu, bukan model 3D yang dapat diputar menggunakan mouse. Rumus volume keseluruhan tetap diperoleh dengan mengintegralkan seluruh kulit dari \(x=0\) sampai \(x=2\).
7. Membandingkan Metode Cakram dan Kulit Tabung
| Aspek | Metode cakram | Metode kulit tabung |
|---|---|---|
| Ide utama | Menjumlahkan penampang lingkaran | Menjumlahkan lapisan silinder tipis |
| Rumus umum | \(V=\pi\int r^2\,dx\) | \(V=2\pi\int rh\,dx\) |
| Bentuk irisan | Cakram atau cincin | Kulit silinder |
| Pilihan sumbu | Irisan tegak lurus sumbu putar | Irisan sejajar sumbu putar |
8. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Luas di Antara Dua Kurva
Tentukan luas daerah di antara \(y=3x\) dan \(y=x^2\) dari \(x=0\) sampai \(x=3\).
Pada interval ini, \(3x\ge x^2\).
\[\begin{aligned}L&=\int_0^3(3x-x^2)\,dx\\&=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3\\&=\frac{27}{2}-9\\&=\frac92\end{aligned}\]
Jawaban: \(\frac92\) satuan luas.
Contoh 2: Volume Metode Kulit Tabung
Daerah di bawah \(y=x\), dari \(x=0\) sampai \(x=3\), diputar mengelilingi sumbu \(y\). Tentukan volumenya.
Jari-jari \(r=x\), tinggi \(h=x\).
\[\begin{aligned}V&=2\pi\int_0^3x^2\,dx\\&=2\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3\\&=2\pi(9)\\&=18\pi\end{aligned}\]
Jawaban: \(18\pi\) satuan volume, atau sekitar 56,55 satuan volume.
9. Latihan Pilihan Ganda
Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu klik Periksa Jawaban untuk melihat pembahasannya.
1. Luas daerah di antara \(y=2x\) dan \(y=x^2\) dari \(x=0\) sampai \(x=2\) adalah ...
2. Titik perpotongan grafik \(y=2x\) dan \(y=x^2\) memiliki nilai \(x\) ...
3. Rumus volume menggunakan metode kulit tabung adalah ...
4. Volume daerah di bawah \(y=x\) dari 0 sampai 2 yang diputar terhadap sumbu \(y\) adalah ...
5. Jika \(f(x)\) merupakan kurva atas dan \(g(x)\) kurva bawah, rumus luas daerahnya adalah ...
10. Kesimpulan dan Refleksi
- Luas antara dua kurva dihitung dengan mengurangkan fungsi bawah dari fungsi atas.
- Titik perpotongan dapat membantu menentukan batas integrasi.
- Metode kulit tabung menggunakan keliling, tinggi, dan ketebalan kulit.
- Pemilihan metode cakram atau kulit tabung bergantung pada bentuk daerah dan sumbu putar.
Paket berikutnya: Paket 9 — Persamaan Diferensial Dasar, yaitu persamaan yang melibatkan suatu fungsi dan turunannya.