LABORATORIUM MATEMATIKA SMA
PAKET 3: TURUNAN FUNGSI
Memahami laju perubahan dan kemiringan kurva
1. Apa Itu Turunan?
Turunan (derivative) adalah ukuran laju perubahan sesaat suatu fungsi terhadap variabelnya.
Misalnya, posisi mobil berubah seiring waktu. Turunan fungsi posisi terhadap waktu menyatakan kecepatan sesaat mobil.
Jika posisi dinyatakan dengan \(s(t)\), maka kecepatan sesaat dapat ditulis:
\[v(t)=s'(t)\]
Simbol \(s'(t)\) dibaca "s aksen dari t" dan menyatakan turunan fungsi posisi terhadap waktu.
2. Istilah-Istilah Penting
2.1 Laju Perubahan Rata-Rata (Average Rate of Change)
Laju perubahan rata-rata membandingkan perubahan keluaran dengan perubahan masukan selama suatu interval.
Untuk fungsi \(y=f(x)\), rumusnya:
\[m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
Nilai \(m\) menyatakan perubahan rata-rata fungsi pada interval dari \(x_1\) sampai \(x_2\).
2.2 Garis Secan (Secant Line)
Garis secan adalah garis yang melalui dua titik pada suatu kurva.
Gradien garis secan menunjukkan laju perubahan rata-rata fungsi antara kedua titik tersebut.
2.3 Gradien (Slope)
Gradien adalah ukuran kemiringan garis.
- Gradien positif: garis naik dari kiri ke kanan.
- Gradien negatif: garis turun dari kiri ke kanan.
- Gradien nol: garis mendatar.
Untuk dua titik pada garis, gradiennya:
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
2.4 Garis Singgung (Tangent Line)
Garis singgung pada suatu titik menunjukkan arah kemiringan kurva di titik tersebut, ketika kemiringan itu terdefinisi.
Gradien garis singgung berkaitan dengan turunan fungsi pada titik yang ditinjau.
2.5 Turunan (Derivative)
Turunan adalah nilai yang menyatakan laju perubahan sesaat fungsi.
Notasi yang sering digunakan:
\[f'(x),\quad y',\quad \frac{dy}{dx}\]
Ketiganya dapat menyatakan turunan fungsi \(y=f(x)\) terhadap \(x\).
2.6 Limit (Limit)
Limit adalah nilai yang didekati fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu.
Limit digunakan untuk membangun definisi turunan melalui proses mendekati perubahan masukan sebesar nol.
3. Dari Gradien Garis Secan Menuju Turunan
Perhatikan fungsi:
\[f(x)=x^2\]
Kita akan mencari laju perubahan rata-rata dari \(x\) ke \(x+h\).
Di sini, \(h\) menyatakan perubahan nilai masukan. Jadi, titik kedua memiliki masukan \(x+h\).
Laju perubahan rata-ratanya:
\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Karena \(f(x)=x^2\), maka:
\[\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\]
Gunakan identitas kuadrat:
\[(x+h)^2=x^2+2xh+h^2\]
Sehingga:
\[\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\]
Sederhanakan pembilang:
\[\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h,\quad h\ne0\]
Sekarang, kita membuat \(h\) mendekati nol menggunakan limit.
\[\lim\limits_{h\to0}(2x+h)=2x\]
Jadi, turunan fungsi \(f(x)=x^2\) adalah:
\[\boxed{f'(x)=2x}\]
4. Definisi Turunan
Secara umum, turunan fungsi \(f(x)\) didefinisikan dengan:
\[f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Arti simbol dalam rumus:
- \(f'(x)\): turunan fungsi di \(x\).
- \(h\): perubahan pada nilai masukan.
- \(f(x+h)-f(x)\): perubahan nilai fungsi.
- Pecahan tersebut: gradien garis secan.
- \(\lim\limits_{h\to0}\): proses membuat perubahan masukan mendekati nol.
Ketika limit ini ada, nilainya menyatakan gradien garis singgung kurva pada titik tersebut.
5. Laboratorium Interaktif: Kemiringan Kurva
Kita gunakan fungsi \(f(x)=x^2\). Geser posisi \(x\) untuk melihat bagaimana gradien garis singgung berubah.
Fungsi
\[f(x)=x^2\]
Posisi titik \(x\)
Nilai fungsi
Gradien garis singgung
Di titik ini, gradien garis singgung adalah 2.
Amati bahwa ketika \(x\) berubah, gradien garis singgung juga berubah. Untuk fungsi \(f(x)=x^2\), rumus turunannya adalah \(f'(x)=2x\).
6. Aturan Dasar Turunan
Setelah memahami definisi turunan, kita dapat menggunakan aturan yang lebih praktis.
6.1 Turunan Konstanta
Konstanta adalah bilangan tetap yang tidak berubah terhadap \(x\).
Jika \(f(x)=c\), dengan \(c\) suatu konstanta, maka:
\[f'(x)=0\]
Contoh:
\[\frac{d}{dx}(7)=0\]
6.2 Turunan Fungsi Pangkat
Untuk \(f(x)=x^n\), dengan \(n\) bilangan real dan pada domain yang sesuai, aturan pangkat menyatakan:
\[\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\]
Artinya, pangkat dikalikan ke depan, kemudian pangkat dikurangi satu.
Contoh:
\[\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2\]
\[\frac{d}{dx}(x^5)=5x^4\]
6.3 Turunan Kelipatan Konstanta
Jika \(f(x)=a\,g(x)\), dengan \(a\) konstanta, maka:
\[f'(x)=a\,g'(x)\]
Contoh:
\[\frac{d}{dx}(4x^3)=12x^2\]
6.4 Turunan Penjumlahan dan Pengurangan
Turunan jumlah atau selisih dua fungsi dapat dihitung dengan menjumlahkan atau mengurangkan turunannya.
Contoh:
\[\frac{d}{dx}(x^3+2x^2-5x+7)\]
\[=3x^2+4x-5\]
7. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Menentukan Turunan
Diketahui:
\[f(x)=3x^2+4x-5\]
Tentukan \(f'(x)\).
Turunkan setiap suku:
\[\frac{d}{dx}(3x^2)=6x\]
\[\frac{d}{dx}(4x)=4\]
\[\frac{d}{dx}(-5)=0\]
Jadi:
\[\boxed{f'(x)=6x+4}\]
Contoh 2: Gradien pada Titik Tertentu
Diketahui \(f(x)=x^2+1\). Tentukan gradien garis singgung ketika \(x=2\).
Pertama, tentukan turunannya:
\[f'(x)=2x\]
Masukkan \(x=2\):
\[f'(2)=2(2)=4\]
Contoh 3: Kecepatan Sesaat
Posisi benda dinyatakan oleh \(s(t)=t^2+3t\), dengan \(s\) dalam meter dan \(t\) dalam detik. Tentukan kecepatan sesaat pada \(t=2\).
Kecepatan merupakan turunan posisi terhadap waktu:
\[v(t)=s'(t)=2t+3\]
Pada \(t=2\):
\[v(2)=2(2)+3=7\text{ m/s}\]
Jadi, kecepatan sesaat benda pada detik ke-2 adalah 7 m/s.
8. Latihan Pilihan Ganda
Pilih satu jawaban pada setiap soal. Klik Periksa Jawaban untuk melihat hasil dan pembahasannya.
1. Jika \(f(x)=x^2\), nilai \(f'(3)\) adalah ...
2. Turunan fungsi \(f(x)=8\) adalah ...
3. Turunan \(f(x)=3x^3+2x\) adalah ...
4. Gradien garis singgung \(y=x^2\) pada \(x=2\) adalah ...
5. Jika \(s(t)=t^2+3t\), kecepatan pada \(t=2\) adalah ...
9. Kesimpulan dan Refleksi
- Turunan menyatakan laju perubahan sesaat.
- Gradien garis secan menyatakan laju perubahan rata-rata.
- Gradien garis singgung berkaitan dengan turunan di suatu titik.
- Definisi turunan menggunakan limit.
- Aturan pangkat mempermudah perhitungan turunan fungsi aljabar.
Paket berikutnya: Paket 4 — Integral Tak Tentu dan Integral Tentu, termasuk makna antiturunan dan luas daerah di bawah kurva.