LABORATORIUM MATEMATIKA SMA
PAKET 6: APLIKASI KALKULUS
Gerak benda, nilai ekstrem, dan optimasi
1. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari paket ini, siswa diharapkan mampu:
- Menjelaskan hubungan posisi, kecepatan, dan percepatan.
- Menggunakan turunan untuk menentukan kecepatan sesaat.
- Menentukan titik kritis dan nilai maksimum atau minimum.
- Menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan masalah optimasi sederhana.
- Menghubungkan integral dengan perubahan total suatu besaran.
2. Istilah-Istilah Penting
2.1 Posisi (Position)
Posisi menyatakan letak benda terhadap titik acuan. Dalam gerak satu dimensi, posisi dapat dinyatakan sebagai fungsi waktu, misalnya \(s(t)\).
2.2 Kecepatan Sesaat (Instantaneous Velocity)
Kecepatan sesaat adalah laju perubahan posisi terhadap waktu pada suatu saat.
\[v(t)=s'(t)=\frac{ds}{dt}\]
Kecepatan memiliki tanda positif atau negatif yang menunjukkan arah gerak pada garis yang digunakan.
2.3 Kelajuan (Speed)
Kelajuan menyatakan seberapa cepat benda bergerak tanpa memperhitungkan arah. Dalam gerak satu dimensi, kelajuan sesaat adalah nilai mutlak kecepatan, yaitu \(|v(t)|\).
2.4 Percepatan (Acceleration)
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu.
\[a(t)=v'(t)=s''(t)\]
Percepatan positif tidak selalu berarti benda bertambah cepat. Jika kecepatan negatif, percepatan positif dapat membuat kelajuan benda berkurang.
2.5 Titik Kritis (Critical Point)
Titik kritis adalah titik di dalam domain fungsi tempat turunannya nol atau turunannya tidak ada. Titik kritis perlu diperiksa ketika mencari nilai maksimum atau minimum.
2.6 Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai maksimum adalah nilai fungsi tertinggi pada domain atau interval yang ditinjau. Nilai minimum adalah nilai terendahnya.
2.7 Optimasi (Optimization)
Optimasi adalah proses mencari nilai terbaik, misalnya luas terbesar atau biaya terkecil, dengan memperhatikan syarat dan batasan yang diberikan.
3. Aplikasi Turunan: Gerak Benda
Misalkan posisi sebuah benda pada waktu \(t\) dinyatakan oleh:
\[s(t)=t^2+2t\]
dengan \(s\) dalam meter dan \(t\) dalam sekon.
Langkah 1: Menentukan kecepatan
Kecepatan adalah turunan pertama posisi.
\[v(t)=s'(t)=2t+2\]
Langkah 2: Menentukan percepatan
Percepatan adalah turunan kecepatan.
\[a(t)=v'(t)=2\text{ m/s}^2\]
Langkah 3: Menghitung pada waktu tertentu
Pada \(t=3\) sekon:
\[s(3)=3^2+2(3)=15\text{ m}\]
\[v(3)=2(3)+2=8\text{ m/s}\]
\[a(3)=2\text{ m/s}^2\]
4. Laboratorium A: Posisi, Kecepatan, dan Percepatan
Geser waktu untuk mengamati gerak benda dengan model posisi \(s(t)=t^2+2t\).
Waktu \(t\) (sekon)
| Besaran | Nilai |
|---|---|
| Posisi \(s(t)\) | 15 m |
| Kecepatan \(v(t)\) | 8 m/s |
| Percepatan \(a(t)\) | 2 m/s² |
Posisi dan kecepatan meningkat seiring waktu.
Grafik menunjukkan posisi sebagai fungsi waktu. Kemiringan garis singgung pada grafik posisi menyatakan kecepatan sesaat.
5. Aplikasi Turunan: Maksimum dan Minimum
Turunan juga membantu menentukan kapan suatu fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum.
Misalkan fungsi yang menyatakan tinggi suatu model adalah:
\[f(x)=-x^2+6x+1\]
Langkah 1: Menentukan turunan
\[f'(x)=-2x+6\]
Langkah 2: Mencari titik kritis
Untuk mencari kandidat titik ekstrem, kita tetapkan turunan sama dengan nol.
\[\begin{aligned}-2x+6&=0\\2x&=6\\x&=3\end{aligned}\]
Langkah 3: Menentukan nilai fungsi
\[f(3)=-(3)^2+6(3)+1=10\]
Karena grafiknya parabola yang membuka ke bawah, nilai 10 merupakan nilai maksimum fungsi pada domain bilangan real.
6. Laboratorium B: Eksplorasi Nilai Maksimum
Gunakan fungsi \(f(x)=-x^2+6x+1\). Geser nilai \(x\) untuk melihat perubahan nilai fungsi dan turunannya.
Nilai \(x\)
Nilai fungsi \(f(x)\)
Turunan \(f'(x)\)
Titik ini merupakan titik maksimum fungsi.
Ketika \(x\) mendekati 3 dari kiri, nilai fungsi meningkat. Setelah melewati 3, nilai fungsi menurun. Pada \(x=3\), turunannya nol dan fungsi mencapai nilai maksimum 10.
7. Aplikasi Integral: Perubahan Posisi
Jika kecepatan diketahui, perubahan posisi dapat dihitung menggunakan integral tentu.
\[\Delta s=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt\]
Simbol \(\Delta s\) berarti perubahan posisi, yaitu posisi akhir dikurangi posisi awal.
Misalnya, kecepatan benda adalah \(v(t)=2t+2\). Perubahan posisi dari \(t=1\) sampai \(t=3\) adalah:
\[\begin{aligned}\Delta s&=\int_1^3(2t+2)\,dt\\&=[t^2+2t]_1^3\\&=(9+6)-(1+2)\\&=12\text{ m}\end{aligned}\]
Jadi, perubahan posisi benda adalah 12 meter. Karena kecepatan positif sepanjang interval tersebut, jarak tempuhnya juga 12 meter.
8. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Kecepatan Sesaat
Posisi benda dinyatakan dengan \(s(t)=3t^2+2t\). Tentukan kecepatan pada \(t=2\).
\[v(t)=s'(t)=6t+2\]
\[v(2)=6(2)+2=14\text{ m/s}\]
Jawaban: 14 m/s.
Contoh 2: Percepatan
Jika \(s(t)=t^3\), tentukan percepatan pada \(t=2\).
Turunan pertama:
\[v(t)=3t^2\]
Turunan kedua:
\[a(t)=6t\]
\[a(2)=12\text{ m/s}^2\]
Jawaban: 12 m/s².
Contoh 3: Nilai Maksimum
Tentukan nilai maksimum fungsi \(f(x)=-x^2+4x+5\).
Turunannya:
\[f'(x)=-2x+4\]
Setarakan dengan nol:
\[-2x+4=0\Rightarrow x=2\]
Nilai fungsi pada \(x=2\):
\[f(2)=-4+8+5=9\]
Karena parabola membuka ke bawah, nilai maksimumnya adalah 9.
9. Latihan Pilihan Ganda
Pilih satu jawaban pada setiap soal, kemudian klik Periksa Jawaban untuk melihat hasil dan pembahasannya.
1. Jika \(s(t)=t^2+2t\), kecepatan pada \(t=3\) adalah ...
2. Jika \(s(t)=t^2+2t\), percepatannya adalah ...
3. Titik kritis fungsi \(f(x)=-x^2+6x+1\) adalah ...
4. Nilai maksimum \(f(x)=-x^2+6x+1\) adalah ...
5. Jika \(v(t)=2t+2\), perubahan posisi dari \(t=1\) sampai \(t=3\) adalah ...
10. Kesimpulan dan Refleksi
- Turunan posisi menghasilkan kecepatan.
- Turunan kecepatan menghasilkan percepatan.
- Titik kritis membantu mencari kandidat maksimum atau minimum.
- Integral kecepatan menghasilkan perubahan posisi.
- Masalah optimasi memerlukan fungsi tujuan dan batasan yang jelas.
Paket berikutnya: Paket 7 — Teknik Integrasi, meliputi substitusi dan integrasi parsial dengan contoh bertahap.