LABORATORIUM MATEMATIKA SMA
PAKET 10: APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Memodelkan perubahan dalam situasi sehari-hari
1. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari paket ini, siswa diharapkan mampu:
- Menjelaskan hubungan antara persamaan diferensial dan model perubahan.
- Menggunakan model pertumbuhan dan peluruhan eksponensial.
- Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan laju perubahan.
- Menentukan konstanta model dari kondisi awal.
- Menafsirkan hasil model sesuai konteks dan satuannya.
2. Istilah-Istilah Penting
2.1 Model Matematika
Model matematika adalah representasi suatu situasi nyata menggunakan simbol, persamaan, fungsi, atau grafik. Model membantu kita menganalisis situasi dengan asumsi tertentu.
2.2 Laju Perubahan
Laju perubahan menyatakan seberapa cepat suatu besaran berubah terhadap besaran lain, misalnya perubahan suhu setiap menit atau perubahan populasi setiap tahun.
2.3 Laju Perubahan Sebanding
Jika laju perubahan suatu besaran sebanding dengan nilai besaran itu sendiri, modelnya dapat ditulis \(\frac{dP}{dt}=kP\). Konstanta \(k\) menentukan apakah model meningkat atau menurun.
2.4 Pertumbuhan Eksponensial
Pertumbuhan eksponensial terjadi ketika laju pertambahan sebanding dengan nilai besaran saat itu dan konstanta \(k\) positif. Modelnya \(P(t)=P_0e^{kt}\).
2.5 Peluruhan Eksponensial
Peluruhan eksponensial terjadi ketika laju perubahan sebanding dengan besaran yang tersisa, tetapi nilainya menurun. Dalam model ini, \(k\) negatif.
2.6 Nilai Awal
Nilai awal adalah nilai besaran pada waktu \(t=0\), ditulis \(P_0\). Nilai ini menentukan titik awal grafik solusi.
2.7 Parameter
Parameter adalah nilai tetap dalam suatu model yang memengaruhi perilaku solusi, misalnya konstanta laju \(k\).
2.8 Asumsi Model
Asumsi model adalah penyederhanaan yang digunakan agar masalah dapat dianalisis. Hasil model hanya dapat diandalkan sejauh asumsi tersebut sesuai dengan situasi yang dikaji.
3. Model Pertumbuhan Eksponensial
Misalkan suatu populasi ideal bertambah dengan laju yang sebanding dengan jumlah populasi saat itu.
\[\frac{dP}{dt}=kP,\qquad k>0\]
Solusi model tersebut adalah:
\[P(t)=P_0e^{kt}\]
Keterangan:
- \(P(t)\): jumlah populasi pada waktu \(t\).
- \(P_0\): jumlah populasi pada awal pengamatan.
- \(k\): konstanta pertumbuhan.
- \(e\): bilangan Euler, kira-kira 2,71828.
Contoh
Suatu populasi awal berjumlah 200 dan mengikuti model \(P(t)=200e^{0.1t}\), dengan \(t\) diukur dalam tahun. Perkirakan jumlahnya setelah 5 tahun.
\[\begin{aligned}P(5)&=200e^{0.1(5)}\\&=200e^{0.5}\\&\approx329.74\end{aligned}\]
Interpretasi: menurut model, jumlahnya sekitar 330 satuan setelah 5 tahun. Untuk populasi nyata, hasil ini merupakan perkiraan berdasarkan asumsi pertumbuhan yang konstan.
4. Model Peluruhan Eksponensial
Peluruhan dapat digunakan untuk memodelkan besaran yang berkurang seiring waktu, misalnya zat yang meluruh atau obat yang berkurang dalam tubuh pada model sederhana.
\[\frac{dP}{dt}=kP,\qquad k<0\]
Solusinya tetap berbentuk:
\[P(t)=P_0e^{kt}\]
Contoh
Sebuah zat memiliki jumlah awal 80 gram dan mengikuti model \(M(t)=80e^{-0.3t}\). Berapa jumlah zat setelah 4 satuan waktu?
\[\begin{aligned}M(4)&=80e^{-0.3(4)}\\&=80e^{-1.2}\\&\approx24.10\end{aligned}\]
Jawaban: sekitar 24,10 gram menurut model.
5. Waktu Paruh (Half-Life)
Waktu paruh adalah waktu yang diperlukan agar jumlah suatu besaran yang meluruh menjadi setengah dari jumlah awalnya.
Jika modelnya \(M(t)=M_0e^{-kt}\), dengan \(k>0\), waktu paruh \(T\) memenuhi:
\[\frac{M_0}{2}=M_0e^{-kT}\]
Setelah membagi kedua sisi dengan \(M_0\), diperoleh:
\[\frac12=e^{-kT}\]
Dengan mengambil logaritma natural:
\[\ln\left(\frac12\right)=-kT\]
Jadi:
\[\boxed{T=\frac{\ln 2}{k}}\]
Contoh
Jika suatu zat memiliki konstanta peluruhan \(k=0.2\) per jam, waktu paruhnya adalah:
\[T=\frac{\ln 2}{0.2}\approx3.47\text{ jam}\]
Artinya, menurut model, jumlah zat menjadi setengah setelah sekitar 3,47 jam.
6. Laboratorium Interaktif: Mengubah Konstanta Laju
Gunakan model \(P(t)=100e^{kt}\). Geser konstanta \(k\) dan waktu \(t\). Perhatikan bagaimana nilai dan grafik berubah.
Konstanta laju \(k\)
Waktu \(t\)
| Besaran | Nilai |
|---|---|
| Nilai awal \(P_0\) | 100 |
| Nilai model \(P(t)\) | 271,83 |
| Perilaku | Pertumbuhan |
Nilai k positif menunjukkan pertumbuhan.
7. Menentukan Konstanta dari Data
Dalam beberapa masalah, kita mengetahui nilai awal dan nilai pada waktu tertentu. Informasi itu dapat digunakan untuk mencari konstanta \(k\).
Misalnya:
\[P(t)=P_0e^{kt}\]
Jika \(P_0\) dan \(P(t)\) diketahui, bagi kedua sisi dengan \(P_0\):
\[\frac{P(t)}{P_0}=e^{kt}\]
Ambil logaritma natural:
\[\ln\left(\frac{P(t)}{P_0}\right)=kt\]
Sehingga:
\[\boxed{k=\frac{1}{t}\ln\left(\frac{P(t)}{P_0}\right)}\]
Contoh
Suatu besaran meningkat dari 100 menjadi 150 dalam 4 tahun mengikuti model eksponensial. Tentukan nilai \(k\).
\[k=\frac14\ln\left(\frac{150}{100}\right)\]
\[k=\frac14\ln(1.5)\approx0.1014\]
Jawaban: konstanta pertumbuhan sekitar \(0.1014\) per tahun.
8. Membandingkan Pertumbuhan dan Peluruhan
| Aspek | Pertumbuhan | Peluruhan |
|---|---|---|
| Model | \(P=P_0e^{kt}\) | \(P=P_0e^{kt}\) |
| Konstanta | \(k>0\) | \(k<0\) |
| Perubahan nilai | Meningkat | Menurun |
| Contoh model | Populasi ideal yang tumbuh | Zat yang meluruh |
9. Latihan Pilihan Ganda
Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu klik Periksa Jawaban untuk melihat pembahasan.
1. Jika \(P(t)=200e^{0.1t}\), nilai \(P(5)\) kira-kira ...
2. Model \(M(t)=80e^{-0.3t}\) menggambarkan ...
3. Jika \(k=0.2\) per jam, waktu paruh model \(M=M_0e^{-kt}\) adalah ...
4. Rumus untuk mencari \(k\) jika nilai awal dan nilai pada waktu \(t\) diketahui adalah ...
5. Dalam model \(P(t)=P_0e^{kt}\), simbol \(P_0\) menyatakan ...
10. Kesimpulan dan Refleksi
- Persamaan diferensial dapat digunakan untuk menyusun model perubahan.
- Model \(P(t)=P_0e^{kt}\) menggambarkan pertumbuhan jika \(k>0\) dan peluruhan jika \(k<0\).
- Waktu paruh pada model peluruhan adalah \(T=\frac{\ln2}{k}\) ketika \(k\) menyatakan besar konstanta peluruhan positif.
- Data nilai awal dan nilai pada waktu tertentu dapat digunakan untuk menentukan konstanta laju.
- Hasil model perlu ditafsirkan dengan memperhatikan asumsi dan satuannya.
Paket berikutnya: Paket 11 — Integral Tak Wajar dan Pengantar Konvergensi, dengan penekanan pada batas tak hingga dan integral yang memiliki titik singular.