LABORATORIUM MATEMATIKA SMA
PAKET 7: TEKNIK INTEGRASI
Substitusi dan integrasi parsial
1. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Menjelaskan pengertian teknik integrasi.
- Menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan integral.
- Menggunakan metode integrasi parsial untuk mengintegralkan hasil kali dua fungsi.
- Memilih teknik integrasi yang sesuai dengan bentuk soal.
- Memeriksa hasil integral menggunakan konsep turunan.
2. Istilah-Istilah Penting
2.1 Teknik Integrasi (Integration Technique)
Teknik integrasi adalah metode atau prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan integral yang tidak langsung dapat dihitung menggunakan aturan dasar.
2.2 Substitusi (Substitution)
Substitusi adalah penggantian suatu bentuk fungsi dengan variabel baru agar integral lebih sederhana.
Misalnya, jika terdapat bentuk \(x^2+1\), kita dapat menetapkan \(u=x^2+1\), sehingga bentuk tersebut dapat ditulis lebih ringkas menggunakan \(u\).
2.3 Diferensial (Differential)
Diferensial \(du\) menyatakan perubahan infinitesimal pada variabel \(u\). Dalam teknik substitusi, diferensial diperoleh dengan menurunkan hubungan antara \(u\) dan \(x\).
Jika \(u=x^2+1\), maka:
\[du=2x\,dx\]
2.4 Integrasi Parsial (Integration by Parts)
Integrasi parsial adalah teknik untuk mengintegralkan hasil kali dua fungsi. Teknik ini diturunkan dari aturan turunan perkalian dua fungsi.
2.5 Fungsi \(u\) dan \(dv\)
Pada integrasi parsial, \(u\) dipilih sebagai fungsi yang akan diturunkan, sedangkan \(dv\) adalah bagian fungsi yang akan diintegralkan untuk memperoleh \(v\).
2.6 Konstanta Integrasi
Konstanta \(C\) ditambahkan pada hasil integral tak tentu karena semua antiturunan suatu fungsi dapat berbeda sebesar konstanta.
3. Teknik Pertama: Integrasi Substitusi
Substitusi sangat berguna ketika integran memiliki fungsi di dalam fungsi lain dan turunannya juga muncul pada integran.
Bentuk umum yang sering digunakan adalah:
\[\int f(g(x))g'(x)\,dx\]
Dengan substitusi \(u=g(x)\) dan \(du=g'(x)\,dx\), integral tersebut menjadi:
\[\int f(u)\,du\]
Langkah-langkah substitusi
4. Contoh Substitusi Bertahap
Contoh 1
Tentukan:
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx\]
Langkah 1: Memilih substitusi.
Karena terdapat bentuk \(x^2+1\), kita pilih:
\[u=x^2+1\]
Langkah 2: Menentukan diferensial.
\[du=2x\,dx\]
Langkah 3: Mengubah integral.
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\int u^3\,du\]
Langkah 4: Mengintegralkan.
\[\int u^3\,du=\frac{u^4}{4}+C\]
Langkah 5: Mengembalikan variabel.
\[\boxed{\frac{(x^2+1)^4}{4}+C}\]
Contoh 2
Tentukan:
\[\int 3x^2(x^3+2)^4\,dx\]
Pilih:
\[u=x^3+2\]
Turunkan:
\[du=3x^2\,dx\]
Integral menjadi:
\[\int u^4\,du=\frac{u^5}{5}+C\]
Jadi:
\[\boxed{\frac{(x^3+2)^5}{5}+C}\]
5. Substitusi pada Integral Tentu
Pada integral tentu, jika kita mengganti variabel \(x\) dengan \(u\), batas integrasi juga harus diubah menjadi batas dalam variabel \(u\).
Contoh:
\[\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx\]
Pilih \(u=x^2+1\), sehingga \(du=2x\,dx\).
Ubah batasnya:
- Jika \(x=0\), maka \(u=0^2+1=1\).
- Jika \(x=1\), maka \(u=1^2+1=2\).
Integral menjadi:
\[\int_1^2 u^3\,du\]
\[\begin{aligned}&=\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2\\&=\frac{16}{4}-\frac14\\&=\frac{15}{4}\end{aligned}\]
Jawaban: \(\frac{15}{4}\).
6. Teknik Kedua: Integrasi Parsial
Integrasi parsial diturunkan dari aturan turunan perkalian:
\[\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}\]
Setelah diubah ke bentuk integral, diperoleh rumus:
\[\boxed{\int u\,dv=uv-\int v\,du}\]
Keterangan:
- \(u\): fungsi yang dipilih untuk diturunkan.
- \(dv\): bagian fungsi yang dipilih untuk diintegralkan.
- \(du\): diferensial dari \(u\).
- \(v\): hasil integral dari \(dv\).
Bagaimana memilih \(u\) dan \(dv\)?
Pilih \(u\) sebagai bagian yang menjadi lebih sederhana ketika diturunkan. Bagian yang tersisa biasanya dipilih sebagai \(dv\), jika mudah diintegralkan.
Sebagai panduan, fungsi logaritma dan fungsi aljabar sering dipilih sebagai \(u\) ketika dipasangkan dengan fungsi eksponensial atau trigonometri yang mudah diintegralkan. Namun, pilihan terbaik tetap bergantung pada soal.
7. Contoh Integrasi Parsial Bertahap
Contoh 1
Tentukan:
\[\int xe^x\,dx\]
Langkah 1: Memilih \(u\) dan \(dv\).
\[u=x,\qquad dv=e^x\,dx\]
Langkah 2: Menentukan \(du\) dan \(v\).
\[du=dx,\qquad v=e^x\]
Langkah 3: Menggunakan rumus parsial.
\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]
\[\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx\]
Langkah 4: Menyelesaikan integral yang tersisa.
\[\boxed{\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C}\]
Bentuk tersebut juga dapat ditulis:
\[\boxed{e^x(x-1)+C}\]
Contoh 2
Tentukan:
\[\int x\cos x\,dx\]
Pilih:
\[u=x,\qquad dv=\cos x\,dx\]
Maka:
\[du=dx,\qquad v=\sin x\]
Gunakan rumus parsial:
\[\begin{aligned}\int x\cos x\,dx&=x\sin x-\int\sin x\,dx\\&=x\sin x+\cos x+C\end{aligned}\]
Jawaban: \(x\sin x+\cos x+C\).
8. Tabel Ringkasan Teknik Integrasi
| Aspek | Substitusi | Parsial |
|---|---|---|
| Ide utama | Mengganti variabel | Menggunakan aturan turunan perkalian |
| Rumus | \(\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\) | \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) |
| Cocok untuk | Fungsi komposisi dengan faktor turunannya | Hasil kali dua fungsi yang sesuai |
| Contoh | \(\int 2x(x^2+1)^3dx\) | \(\int xe^x dx\) |
9. Memeriksa Jawaban dengan Turunan
Hasil integral tak tentu dapat diperiksa dengan menurunkannya. Jika hasilnya sama dengan integran semula, maka antiturunannya benar.
Misalnya:
\[F(x)=\frac{(x^2+1)^4}{4}\]
Dengan aturan rantai:
\[F'(x)=\frac14\cdot4(x^2+1)^3\cdot2x\]
\[F'(x)=2x(x^2+1)^3\]
Hasil ini sama dengan integran semula.
10. Latihan Pilihan Ganda
Pilih satu jawaban untuk setiap soal, kemudian klik Periksa Jawaban untuk melihat pembahasan.
1. Hasil dari \(\int 2x(x^2+1)^3\,dx\) adalah ...
2. Hasil dari \(\int3x^2(x^3+2)^4\,dx\) adalah ...
3. Hasil dari \(\int xe^x\,dx\) adalah ...
4. Rumus integrasi parsial yang benar adalah ...
5. Nilai \(\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx\) adalah ...
11. Kesimpulan dan Refleksi
- Substitusi menyederhanakan integral dengan menggunakan variabel baru.
- Integrasi parsial menggunakan rumus \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).
- Pemilihan teknik bergantung pada bentuk integran.
- Untuk integral tentu dengan substitusi, batas integrasi perlu disesuaikan jika variabel baru tetap digunakan.
- Turunan dapat digunakan untuk memeriksa hasil integral tak tentu.
Paket berikutnya: Paket 8 — Aplikasi Integral Lanjutan, termasuk luas daerah di antara dua kurva dan pengantar metode kulit tabung untuk menghitung volume benda putar.