Kalkulus #15 : Sistem Persamaan Diferensial: Dua Besaran yang Berinteraksi

Laboratorium Matematika SMAPaket 15

Sistem Persamaan Diferensial: Dua Besaran yang Berinteraksi

Bagaimana jika dua besaran berubah sekaligus dan saling memengaruhi? Paket ini memperkenalkan sistem persamaan diferensial melalui model dua besaran yang saling bertukar, dengan simulasi numerik sederhana agar perubahan keduanya dapat diamati dari waktu ke waktu.

1. Tujuan pembelajaran

• Memahami arti sistem persamaan diferensial.
• Membedakan satu persamaan diferensial dengan sistem yang memiliki dua fungsi tak diketahui.
• Membaca model pertukaran dua besaran.
• Menggunakan simulasi numerik untuk mengamati perubahan dan mengenali besaran yang tetap.
• Menafsirkan hasil simulasi dengan memperhatikan asumsi model.

2. Dari satu persamaan menjadi sebuah sistem

Dalam paket sebelumnya, kita mempelajari model satu fungsi, misalnya \(\frac{dy}{dt}=ky\). Pada sistem persamaan diferensial, terdapat dua atau lebih fungsi yang berubah dan persamaannya saling terhubung.

\[\begin{aligned}\frac{dx}{dt}&=-kx+ky\\[4pt]\frac{dy}{dt}&=kx-ky\end{aligned}\]

Model sederhana ini menggambarkan perpindahan besaran dari \(x\) ke \(y\) dan dari \(y\) ke \(x\). Nilai \(k\) adalah konstanta pertukaran dengan \(k\ge0\).

• \(x(t)\): jumlah atau besaran pada kelompok pertama.
• \(y(t)\): jumlah atau besaran pada kelompok kedua.
• \(kx\): laju perpindahan dari kelompok \(x\) menuju kelompok \(y\).
• \(ky\): laju perpindahan dari kelompok \(y\) menuju kelompok \(x\).

Asumsi model: pertukaran berlangsung dua arah dengan laju yang sebanding dengan besaran pada masing-masing kelompok. Model ini bersifat ideal dan tidak memasukkan sumber, kehilangan, atau batas kapasitas.

3. Besaran total tetap

Tambahkan kedua persamaan:

\[\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=(-kx+ky)+(kx-ky)=0\]

Karena turunan dari jumlah \(x+y\) adalah nol, jumlah tersebut tetap:

\[x(t)+y(t)=x(0)+y(0)\]

Dalam model ini, jumlah total tidak berubah. Yang berubah adalah pembagian jumlah antara kelompok \(x\) dan kelompok \(y\).

Contoh

Misalkan mula-mula \(x(0)=80\) dan \(y(0)=20\). Totalnya adalah 100. Pada waktu berikutnya, nilai \(x\) mungkin berkurang dan nilai \(y\) bertambah, tetapi jumlah keduanya tetap 100 selama asumsi model dipenuhi.

4. Perilaku jangka panjang

Untuk \(k>0\), model cenderung menuju keadaan seimbang, yaitu \(x=y\). Karena jumlah total tetap, nilai seimbangnya adalah setengah dari total awal.

\[x_{\text{seimbang}}=y_{\text{seimbang}}=\frac{x(0)+y(0)}{2}\]

Jika total awal 100, maka keadaan seimbangnya adalah \(x=50\) dan \(y=50\). Semakin besar nilai \(k\), semakin cepat pertukaran berlangsung dalam model.

Jika \(k=0\), tidak ada perpindahan sama sekali. Nilai \(x\) dan \(y\) tetap pada kondisi awalnya, sehingga sistem tidak bergerak menuju keseimbangan kecuali sejak awal sudah seimbang.

5. Laboratorium interaktif — simulasi pertukaran

Ubah jumlah awal \(x_0\), jumlah awal \(y_0\), dan konstanta pertukaran \(k\). Grafik menggunakan pendekatan numerik sederhana untuk memperlihatkan bagaimana kedua nilai berubah. Garis putus-putus menunjukkan nilai seimbang yang diprediksi model.

Nilai awal x₀: 80

Nilai awal y₀: 20

Konstanta k: 0,2

Jumlah total: 100

Nilai seimbang: x = 50, y = 50

Jika k positif, kedua besaran mendekati nilai seimbang.

6. Cara membaca model

Keadaan	Perilaku	Penjelasan
\(x>y\)	\(dx/dt<0\) dan \(dy/dt>0\)	Besaran berpindah secara bersih dari \(x\) ke \(y\).
\(x<y\)	\(dx/dt>0\) dan \(dy/dt<0\)	Besaran berpindah secara bersih dari \(y\) ke \(x\).
\(x=y\)	Kedua turunan bernilai nol	Keadaan seimbang; tidak ada perpindahan bersih.
\(k=0\)	Kedua turunan bernilai nol	Tidak terjadi pertukaran dalam model.

7. Latihan pilihan ganda

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu tekan Periksa jawaban.

1. Apa yang membedakan sistem persamaan diferensial dari satu persamaan diferensial?

Sistem selalu tidak mempunyai solusi. Sistem melibatkan beberapa fungsi dan persamaan yang saling terkait. Sistem tidak menggunakan turunan.

2. Dalam model \(\frac{dx}{dt}=-kx+ky\), jika \(x>y\) dan \(k>0\), maka ...

\(dx/dt<0\) \(dx/dt>0\) \(dx/dt=0\)

3. Jika \(x(0)=80\) dan \(y(0)=20\), jumlah totalnya adalah ...

60 100 160

4. Untuk \(k>0\), keadaan seimbang dalam model ini terjadi ketika ...

\(x=0\) dan \(y=0\) saja \(x=2y\) \(x=y\)

5. Jika \(k=0\), apa yang terjadi pada model pertukaran ini?

Pertukaran menjadi sangat cepat. Tidak ada perubahan pada x dan y. Jumlah total menjadi dua kali lipat.

8. Refleksi

1. Mengapa dua persamaan pada sistem ini saling terkait?
2. Mengapa jumlah \(x+y\) tetap meskipun masing-masing besaran berubah?
3. Bagaimana nilai \(k\) memengaruhi kecepatan menuju keadaan seimbang?

Kesimpulan: sistem persamaan diferensial dapat menggambarkan beberapa besaran yang saling memengaruhi. Pada model pertukaran ini, total tetap dan kedua besaran cenderung menuju nilai yang sama ketika konstanta pertukaran positif.