Persamaan Diferensial dan Model Perubahan
Persamaan diferensial membantu menggambarkan bagaimana suatu besaran berubah. Dalam paket ini, kita mengenal hubungan antara suatu besaran dan laju perubahannya, menyelesaikan model sederhana, lalu menafsirkan hasilnya melalui grafik interaktif.
1. Tujuan pembelajaran
- Menjelaskan arti persamaan diferensial dan laju perubahan.
- Membedakan fungsi yang menyatakan besaran dengan turunannya yang menyatakan laju perubahan.
- Menyelesaikan model sederhana \(\frac{dy}{dt}=k\).
- Menyelesaikan model pertumbuhan atau peluruhan \(\frac{dy}{dt}=ky\).
- Menafsirkan konstanta dan kondisi awal dalam konteks masalah.
2. Apa itu persamaan diferensial?
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan suatu fungsi dan satu atau lebih turunannya. Turunan menunjukkan laju perubahan fungsi terhadap variabelnya.
Persamaan ini menyatakan bahwa laju perubahan \(y\) terhadap waktu \(t\) adalah konstanta \(k\). Jika \(k\) positif, \(y\) bertambah secara tetap. Jika \(k\) negatif, \(y\) berkurang secara tetap.
Untuk mencari fungsi \(y(t)\), kita mengintegralkan kedua sisi terhadap \(t\):
Konstanta \(C\) ditentukan menggunakan kondisi awal, yaitu nilai fungsi pada waktu tertentu.
Contoh 1 — perubahan konstan
Diketahui \(\frac{dy}{dt}=3\) dan \(y(0)=5\).
Integrasikan: \(y=3t+C\). Karena \(y(0)=5\), maka \(5=3(0)+C\), sehingga \(C=5\).
3. Model pertumbuhan dan peluruhan
Dalam beberapa situasi, laju perubahan sebanding dengan besaran yang sedang diamati. Modelnya adalah
Di sini, \(k\) adalah konstanta laju relatif. Solusi model ini berbentuk eksponensial:
Jika kondisi awal \(y(0)=y_0\), maka \(C=y_0\), sehingga
| Nilai k | Perilaku model | Contoh umum |
|---|---|---|
| \(k>0\) | Besaran tumbuh secara eksponensial. | Model pertumbuhan populasi ideal. |
| \(k<0\) | Besaran meluruh secara eksponensial. | Model penurunan zat dalam sistem ideal. |
| \(k=0\) | Besaran tetap sama dengan nilai awal. | Tidak ada perubahan dalam model. |
4. Contoh soal — peluruhan eksponensial
Sebuah model memiliki nilai awal \(y_0=80\) dan konstanta \(k=-0,2\) per jam.
Pertanyaan: Tentukan model \(y(t)\) dan nilai model setelah 5 jam.
Langkah 1. Gunakan bentuk solusi \(y(t)=y_0e^{kt}\).
Langkah 2. Substitusikan \(t=5\).
5. Laboratorium interaktif — ubah konstanta laju
Geser konstanta \(k\) untuk melihat bagaimana grafik \(y(t)=y_0e^{kt}\) berubah. Nilai awal \(y_0\) dapat diubah juga. Perhatikan perbedaan pertumbuhan, nilai tetap, dan peluruhan.
Karena k positif, model bertumbuh.
6. Ringkasan istilah
| Istilah | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| Persamaan diferensial | Persamaan yang melibatkan fungsi dan turunannya. | \(\frac{dy}{dt}=ky\) |
| Turunan | Menyatakan laju perubahan sesaat. | \(\frac{dy}{dt}\) |
| Kondisi awal | Nilai fungsi yang diketahui pada waktu tertentu. | \(y(0)=80\) |
| Konstanta laju | Parameter yang menentukan arah dan kecepatan perubahan model. | \(k=-0,2\) |
7. Latihan pilihan ganda
Pilih satu jawaban pada setiap soal, kemudian tekan Periksa jawaban.
1. Apa yang dinyatakan oleh \(\frac{dy}{dt}\)?
2. Solusi umum dari \(\frac{dy}{dt}=4\) adalah ...
3. Solusi model \(\frac{dy}{dt}=ky\) dengan kondisi awal \(y(0)=y_0\) adalah ...
4. Jika \(k<0\) dan \(y_0>0\), perilaku model \(y=y_0e^{kt}\) untuk \(t\ge0\) adalah ...
5. Jika \(y(0)=5\) dan \(\frac{dy}{dt}=3\), fungsi yang memenuhi kondisi awal adalah ...
8. Refleksi
- Apa perbedaan antara \(y(t)\) dan \(\frac{dy}{dt}\)?
- Mengapa kondisi awal diperlukan untuk menentukan solusi khusus?
- Bagaimana tanda \(k\) memengaruhi bentuk grafik eksponensial?