Rangkuman , Latihan Campuran, Evaluasi Matriks

Matematika SMA • Kelas XI

Paket 9: Rangkuman dan Evaluasi Matriks

Review konsep, latihan campuran, dan evaluasi interaktif.

🎯 Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari paket ini, siswa diharapkan mampu:

• Menentukan ordo dan elemen matriks.
• Melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks.
• Menghitung determinan dan invers matriks berordo \(2 \times 2\).
• Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks.
• Menerapkan konsep matriks untuk menyelesaikan masalah kontekstual.

1. Peta Ringkas Materi Matriks

A. Ordo dan elemen

Ordo menyatakan banyak baris × banyak kolom. Elemen \(a_{ij}\) terletak pada baris ke-\(i\), kolom ke-\(j\).

\(A=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\\4&6\end{bmatrix}\)
Ordo \(3\times2\), dan \(a_{12}=5\).

B. Kesamaan matriks

Dua matriks sama jika ordonya sama dan semua elemen yang bersesuaian sama.

\(A=B \Rightarrow a_{ij}=b_{ij}\)

C. Penjumlahan dan pengurangan

Hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama.

\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}5&1\\2&3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6&3\\5&7\end{bmatrix}\)

D. Perkalian skalar

Setiap elemen matriks dikalikan dengan bilangan skalar.

\(2\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2&6\\4&8\end{bmatrix}\)

E. Perkalian dua matriks

Kolom matriks pertama harus sama banyak dengan baris matriks kedua.

\((m\times n)(n\times p)=m\times p\)

Elemen hasil diperoleh dari perkalian baris dengan kolom.

F. Determinan dan invers

Untuk matriks berordo \(2\times2\):

\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)
\(\det(A)=ad-bc\)

\(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\)

Invers ada jika determinan tidak sama dengan nol.

G. Sistem persamaan linear

Sistem persamaan dapat ditulis dalam bentuk:

\(AX=B\)

Jika \(A\) memiliki invers, maka \(X=A^{-1}B\).

H. Penerapan matriks

Matriks dapat menyajikan data penjualan, jumlah barang, anggaran, dan informasi terstruktur lainnya.

Pilih operasi sesuai makna data pada soal.

Ingat! Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. Artinya, \(AB\) belum tentu sama dengan \(BA\).

2. Contoh Latihan dengan Pembahasan

Contoh 1 — Penjumlahan matriks

Diketahui:

\(A=\begin{bmatrix}2&1\\3&4\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}5&2\\1&-1\end{bmatrix}\)

Tentukan \(A+B\).

\(A+B=\begin{bmatrix}2+5&1+2\\3+1&4+(-1)\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}7&3\\4&3\end{bmatrix}\)

Contoh 2 — Perkalian matriks

\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}2&0\\1&4\end{bmatrix}\)

\(AB=\begin{bmatrix} 1(2)+2(1)&1(0)+2(4)\\ 3(2)+1(1)&3(0)+1(4) \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}4&8\\7&4\end{bmatrix}\)

Contoh 3 — Determinan dan invers

\(A=\begin{bmatrix}3&1\\2&2\end{bmatrix}\)

\(\det(A)=3(2)-1(2)=4\)

Karena determinannya tidak nol, invers ada:

\(A^{-1}=\frac14\begin{bmatrix}2&-1\\-2&3\end{bmatrix}\)

3. Evaluasi Interaktif

Jawablah 12 soal berikut. Pilih satu jawaban pada setiap nomor, lalu tekan tombol Periksa Jawaban. Setiap soal bernilai 1 poin.

1. Matriks \(A=\begin{bmatrix}2&4&6\\1&3&5\end{bmatrix}\) memiliki ordo ....

A. \(2\times2\) B. \(2\times3\) C. \(3\times2\) D. \(3\times3\)

2. Diketahui \(A=\begin{bmatrix}3&7\\2&5\end{bmatrix}\). Nilai \(a_{21}\) adalah ....

A. 3 B. 7 C. 2 D. 5

3. Jika \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}2&1\\0&5\end{bmatrix}\), maka \(A+B=\) ....

A. \(\begin{bmatrix}3&3\\3&9\end{bmatrix}\) B. \(\begin{bmatrix}2&2\\3&20\end{bmatrix}\) C. \(\begin{bmatrix}3&1\\3&9\end{bmatrix}\) D. \(\begin{bmatrix}1&3\\3&-1\end{bmatrix}\)

4. Hasil dari \(3\begin{bmatrix}2&-1\\0&4\end{bmatrix}\) adalah ....

A. \(\begin{bmatrix}5&2\\3&7\end{bmatrix}\) B. \(\begin{bmatrix}6&-3\\0&12\end{bmatrix}\) C. \(\begin{bmatrix}6&-1\\0&4\end{bmatrix}\) D. \(\begin{bmatrix}2&-3\\0&12\end{bmatrix}\)

5. Matriks \(A\) berordo \(2\times3\) dan matriks \(B\) berordo \(3\times4\). Ordo \(AB\) adalah ....

A. \(3\times3\) B. \(3\times4\) C. \(2\times4\) D. \(4\times2\)

6. Jika \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) dan \(B=\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}\), elemen baris pertama kolom pertama dari \(AB\) adalah ....

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

7. Determinan matriks \(A=\begin{bmatrix}4&2\\3&5\end{bmatrix}\) adalah ....

A. 14 B. 20 C. 26 D. 8

8. Matriks berikut memiliki invers jika ....

\(A=\begin{bmatrix}k&2\\3&6\end{bmatrix}\)

A. \(k=1\) B. \(k=0\) C. \(k\ne1\) D. \(k=2\)

9. Invers matriks \(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&4\end{bmatrix}\) adalah ....

A. \(\begin{bmatrix}2&0\\0&4\end{bmatrix}\) B. \(\begin{bmatrix}4&0\\0&2\end{bmatrix}\) C. \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\0&\frac14\end{bmatrix}\) D. \(\begin{bmatrix}0&\frac12\\\frac14&0\end{bmatrix}\)

10. Sistem \(x+y=7\) dan \(x-y=1\) memiliki solusi ....

A. \(x=3,\ y=4\) B. \(x=4,\ y=3\) C. \(x=5,\ y=2\) D. \(x=7,\ y=1\)

11. Sebuah toko menjual paket alat tulis. Banyak paket yang terjual pada dua hari berturut-turut disajikan oleh matriks \(A=\begin{bmatrix}4&3\\5&2\end{bmatrix}\). Jika harga masing-masing jenis paket adalah \(B=\begin{bmatrix}10000\\15000\end{bmatrix}\), bentuk perkalian yang menghasilkan pendapatan setiap hari adalah ....

A. \(AB\) B. \(BA\) C. \(A+B\) D. \(A-B\)

12. Jika \(\det(A)=0\), pernyataan yang benar adalah ....

A. Matriks pasti memiliki invers B. Matriks tidak memiliki invers C. Matriks pasti merupakan matriks identitas D. Semua elemen matriks harus nol

4. Refleksi Belajar

Setelah menyelesaikan evaluasi, renungkan pertanyaan berikut.

1. Konsep matriks apa yang paling mudah saya pahami?
2. Konsep apa yang masih perlu saya latih?
3. Bagaimana matriks dapat membantu menyajikan dan menyelesaikan masalah sehari-hari?

Tantangan mini: Carilah satu contoh data di lingkungan sekolah yang dapat disusun menjadi matriks. Jelaskan arti baris, kolom, dan operasi yang dapat digunakan untuk menganalisis data tersebut.

5. Kunci Jawaban dan Pembahasan

Kunci jawaban akan ditampilkan setelah tombol berikut diklik.

1. B — \(2\times3\). Matriks memiliki 2 baris dan 3 kolom.
2. C — 2. \(a_{21}\) berarti baris kedua, kolom pertama.
3. A. Jumlahkan elemen yang bersesuaian: \(\begin{bmatrix}3&3\\3&9\end{bmatrix}\).
4. B. Kalikan semua elemen dengan 3.
5. C — \(2\times4\). Ordo hasil mengikuti banyak baris A dan banyak kolom B.
6. C — 4. Elemen pertama \(AB\) adalah \(1(2)+2(1)=4\).
7. A — 14. Determinan \(=4(5)-2(3)=20-6=14\).
8. C — \(k\ne1\). Determinan \(=6k-6=6(k-1)\), sehingga tidak nol jika \(k\ne1\).
9. C. Invers matriks diagonal diperoleh dengan mengambil kebalikan setiap elemen diagonal yang tidak nol.
10. B. Menjumlahkan persamaan menghasilkan \(2x=8\), jadi \(x=4\), kemudian \(y=3\).
11. A — \(AB\). Ordo \(A\) adalah \(2\times2\) dan \(B\) adalah \(2\times1\); hasilnya \(2\times1\), berupa pendapatan masing-masing hari.
12. B. Matriks dengan determinan nol tidak memiliki invers.

Selamat!

Anda telah menyelesaikan rangkaian materi matriks. Teruslah berlatih dan gunakan matematika untuk memahami berbagai persoalan di sekitar Anda.