Penerapan Matriks #7

MATEMATIKA SMA KELAS XI

PAKET 7 — PENERAPAN MATRIKS

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Matriks.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:

1. Mengubah sistem persamaan linear menjadi persamaan matriks.
2. Menentukan solusi sistem persamaan menggunakan invers matriks.
3. Menggunakan determinan untuk menentukan apakah solusi tunggal dapat diperoleh dengan metode invers.
4. Menyelesaikan persoalan sehari-hari menggunakan model matriks.

1. Mengubah Sistem Persamaan Menjadi Bentuk Matriks

Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel berikut.

2x + y = 7

x + y = 4

Kedua persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks:

2	1
1	1

×

x

y

=

7

4

Bentuk singkatnya adalah:

AX = B

Simbol	Makna
A	Matriks koefisien variabel
X	Matriks variabel yang dicari
B	Matriks konstanta

Hal penting: urutan koefisien harus mengikuti urutan variabel yang digunakan. Jika kolom pertama menyatakan koefisien x dan kolom kedua menyatakan koefisien y, urutan tersebut harus dipertahankan pada setiap persamaan.

2. Menyelesaikan Sistem dengan Invers Matriks

Dari persamaan matriks:

AX = B

Jika matriks A mempunyai invers, kedua ruas dapat dikalikan dengan \(A^{-1}\) dari sebelah kiri:

\(A^{-1}AX=A^{-1}B\)

\(IX=A^{-1}B\)

\(X=A^{-1}B\)

Jadi, solusi sistem persamaan dapat ditentukan dengan mengalikan invers matriks koefisien dengan matriks konstanta.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan invers matriks.

2x + y = 7

x + y = 4

Langkah 1. Susun persamaan matriks.

AX=B, dengan A=

2	1
1	1

, X=

x

y

, B=

7

4

Langkah 2. Hitung determinan A.

det(A)=2(1)-1(1)=1

Karena determinannya tidak nol, matriks A mempunyai invers.

Langkah 3. Tentukan invers A.

A⁻¹=

1	−1
−1	2

Langkah 4. Hitung X = A⁻¹B.

X =

1	−1
−1	2

7

4

X =

7−4

−7+8

=

3

1

Jadi, x = 3 dan y = 1.

Periksa: 2(3)+1=7 dan 3+1=4. Kedua persamaan terpenuhi.

3. Metode Determinan (Aturan Cramer)

Sistem persamaan dua variabel juga dapat diselesaikan dengan aturan Cramer jika determinan matriks koefisien tidak nol.

Untuk sistem:

\(ax+by=e\)

\(cx+dy=f\)

Determinan utama:

\(D=ad-bc\)

Determinan untuk x dan y:

\(D_x=ed-bf\)

\(D_y=af-ec\)

Dengan demikian:

\(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(\quad y=\dfrac{D_y}{D}\)

Contoh 2

Selesaikan:

3x + 2y = 12

x + y = 5

Determinan utama:

D=3(1)-2(1)=1

Determinan x:

D_x=12(1)-2(5)=2

Determinan y:

D_y=3(5)-12(1)=3

Karena D tidak nol:

\(x=\dfrac{2}{1}=2\)

\(y=\dfrac{3}{1}=3\)

Jawaban: x = 2 dan y = 3.

4. Bagaimana Jika Determinan Nol?

Jika determinan matriks koefisien sama dengan nol, invers matriks tidak tersedia. Namun, sistem persamaannya masih perlu diperiksa lebih lanjut.

Kondisi	Kemungkinan
D tidak nol	Tepat satu solusi
D = 0	Tidak ada solusi atau terdapat tak hingga banyak solusi

Contoh 3A — Tidak ada solusi

x + y = 2

2x + 2y = 5

Persamaan kedua seharusnya memiliki ruas kanan 4 jika merupakan kelipatan dua dari persamaan pertama. Karena ruas kanannya 5, kedua persamaan bertentangan. Tidak ada solusi.

Contoh 3B — Tak hingga banyak solusi

x + y = 2

2x + 2y = 4

Persamaan kedua merupakan dua kali persamaan pertama. Keduanya mewakili garis yang sama sehingga terdapat tak hingga banyak pasangan solusi.

Kesimpulan: determinan nol tidak otomatis berarti sistem tidak mempunyai solusi. Kita harus memeriksa hubungan antarpersamaannya.

5. Laboratorium Interaktif Sistem Persamaan

Ubah koefisien dan konstanta, kemudian klik tombol untuk menyelesaikan sistem:

\(ax+by=e\)

\(cx+dy=f\)

Koefisien a

Koefisien b

Konstanta e

Koefisien c

Koefisien d

Konstanta f

Hasil penyelesaian akan ditampilkan di sini.

6. Penerapan dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh 4 — Penjualan di koperasi sekolah

Pada suatu hari, dua buku tulis dan satu pulpen berharga Rp11.000. Sementara itu, satu buku tulis dan dua pulpen berharga Rp10.000.

Misalkan x adalah harga satu buku tulis dalam ribuan rupiah dan y adalah harga satu pulpen dalam ribuan rupiah.

2x + y = 11

x + 2y = 10

Matriks koefisien dan konstanta:

A=

2	1
1	2

, B=

11

10

Determinan A:

D=2(2)-1(1)=3

Solusi:

\(x=\dfrac{11(2)-10(1)}{3}=4\)

\(y=\dfrac{2(10)-11(1)}{3}=3\)

Jadi, harga satu buku tulis adalah Rp4.000 dan harga satu pulpen adalah Rp3.000.

Periksa: 2(4.000)+3.000=11.000 dan 4.000+2(3.000)=10.000.

7. Latihan Mandiri

Pilih jawaban yang tepat untuk setiap soal. Skor dihitung setelah semua jawaban dipilih.

1. Bentuk matriks dari 2x + y = 7 dan x + y = 4 adalah .... [2 1; 1 1][x; y] = [7; 4] [2 1; 1 1][x; y] = [4; 7] [2 1][x; y] = [7; 4] [x; y] = [2; 1]

2. Jika determinan matriks koefisien tidak nol, sistem persamaan linear dua variabel memiliki .... Tidak ada solusi Tepat satu solusi Selalu tak hingga banyak solusi Tidak dapat ditentukan

3. Solusi dari 2x + y = 7 dan x + y = 4 adalah .... x = 2, y = 3 x = 1, y = 4 x = 3, y = 1 x = 4, y = 2

4. Jika determinan matriks koefisien sama dengan nol, maka .... Sistem pasti memiliki satu solusi Sistem pasti tidak memiliki solusi Matriks pasti merupakan matriks identitas Sistem tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga banyak solusi

5. Harga dua buku dan satu pulpen Rp11.000, sedangkan satu buku dan dua pulpen Rp10.000. Harga satu buku adalah .... Rp2.000 Rp3.000 Rp4.000 Rp5.000

6. Jika AX = B dan A mempunyai invers, maka X sama dengan .... AB BA A⁻¹B AB⁻¹

Skor akan muncul di sini.

1. A — Koefisien x dan y disusun berdasarkan urutan variabel, sementara konstanta mengikuti urutan persamaan.
2. B — Determinan tidak nol menjamin matriks koefisien mempunyai invers dan sistem mempunyai satu solusi.
3. C — x = 3 dan y = 1 memenuhi kedua persamaan.
4. D — Determinan nol berarti invers tidak tersedia; sistem dapat tidak konsisten atau mempunyai tak hingga banyak solusi.
5. C — Harga buku Rp4.000 dan pulpen Rp3.000 memenuhi kedua informasi.
6. C — Kalikan kedua ruas dari sebelah kiri dengan A⁻¹ sehingga X = A⁻¹B.

8. Tantangan Berpikir

Diberikan sistem persamaan:

2x + 4y = 8

x + 2y = 4

Tanpa menyelesaikan sistem dengan eliminasi, tentukan determinan matriks koefisien. Apa yang dapat kamu simpulkan tentang banyaknya solusi?

Matriks koefisien:

A=

2	4
1	2

Determinan:

det(A)=2(2)-4(1)=0

Persamaan pertama merupakan dua kali persamaan kedua. Keduanya mewakili persamaan yang sama, sehingga terdapat tak hingga banyak solusi.

Kesimpulan Paket 7

• Sistem persamaan linear dapat ditulis sebagai AX = B.
• Jika A mempunyai invers, solusi tunggalnya adalah X = A⁻¹B.
• Aturan Cramer dapat digunakan jika determinan matriks koefisien tidak nol.
• Jika determinan nol, periksa konsistensi sistem untuk menentukan apakah solusi tidak ada atau tak hingga banyak.

Nilai karakter: Ketekunan memeriksa langkah dan kejujuran terhadap hasil perhitungan membantu kita menemukan solusi yang dapat dipertanggungjawabkan.

Berikutnya: Paket 8 — Aplikasi Matriks dalam Berbagai Permasalahan.