Operasi Matriks #4

MATEMATIKA SMA KELAS XI

PAKET 4 — OPERASI MATRIKS

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks dengan skalar.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari paket ini, kamu diharapkan mampu:

1. Menentukan syarat penjumlahan dan pengurangan matriks.
2. Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan elemen bersesuaian.
3. Mengalikan matriks dengan bilangan real atau skalar.
4. Menerapkan operasi matriks pada masalah sederhana.

1. Penjumlahan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang sama. Caranya, jumlahkan elemen-elemen yang menempati posisi bersesuaian.

Contoh 1

A =

2	3
4	1

  dan   B =

5	2
1	6

Tentukan A + B.

A+B =

2+5	3+2
4+1	1+6

A+B =

7	5
5	7

Jawaban: hasil penjumlahan berordo 2 × 2.

Ingat! Penjumlahan matriks dilakukan pada posisi yang sama. Elemen baris pertama kolom kedua dijumlahkan dengan elemen baris pertama kolom kedua dari matriks lainnya, bukan dengan elemen di posisi berbeda.

2. Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks juga mensyaratkan kedua matriks memiliki ordo yang sama. Kurangkan setiap elemen matriks pertama dengan elemen yang bersesuaian pada matriks kedua.

Contoh 2

C =

9	7
6	8

  dan   D =

4	2
1	3

Tentukan C − D.

C−D =

9−4	7−2
6−1	8−3

C−D =

5	5
5	5

Jawaban: setiap elemen diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian.

3. Perkalian Matriks dengan Skalar

Skalar adalah sebuah bilangan. Perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan tersebut.

Contoh 3

Tentukan 3A jika:

A =

2	-1
4	3

3A =

3(2)	3(-1)
3(4)	3(3)

3A =

6	-3
12	9

Jawaban: semua elemen dikalikan 3, termasuk elemen yang bernilai negatif.

4. Sifat-Sifat Operasi Matriks

Untuk matriks A, B, dan C yang memiliki ordo sesuai dengan operasi yang dilakukan, berlaku sifat-sifat berikut.

Sifat	Bentuk umum
Komutatif penjumlahan	A + B = B + A
Asosiatif penjumlahan	(A + B) + C = A + (B + C)
Identitas penjumlahan	A + O = A
Invers penjumlahan	A + (−A) = O
Distributif skalar	k(A + B) = kA + kB
Distributif skalar	(k + l)A = kA + lA

Perhatian: pengurangan matriks tidak bersifat komutatif secara umum. Biasanya A − B tidak sama dengan B − A.

5. Laboratorium Interaktif Operasi Matriks

Ubah elemen matriks A dan B, lalu pilih operasi yang ingin dilakukan. Hasilnya akan dihitung secara otomatis.

Matriks A

a₁₁

a₁₂

a₂₁

a₂₂

Matriks B

b₁₁

b₁₂

b₂₁

b₂₂

Pilih operasi A + B A − B kA (perkalian skalar)

Nilai skalar k

Hasil operasi akan muncul di sini.

6. Latihan Mandiri

Pilih jawaban yang tepat. Kerjakan semua soal, lalu tekan Periksa Jawaban.

1. Dua matriks dapat dijumlahkan jika .... Semua elemennya positif Ordonya sama Keduanya harus matriks identitas Jumlah semua elemennya sama

2. Diketahui:

A =

1	3
2	4

, B =

5	2
6	1

Elemen baris pertama kolom kedua dari A + B adalah .... 3 5 6 7

3. Jika A = [2 −3; 4 1], maka 2A adalah .... [4 −6; 8 2] [2 −6; 4 2] [4 −3; 8 1] [2 −3; 8 2]

4. Jika A = [7 5; 4 9] dan B = [2 1; 3 6], maka elemen baris kedua kolom pertama dari A − B adalah .... 1 3 4 7

5. Jika O adalah matriks nol dengan ordo yang sama dengan A, maka A + O = .... O 2A A −A

6. Jika A = [1 2; 3 4], maka elemen baris kedua kolom kedua dari 3A adalah .... 4 7 12 16

Skor akan ditampilkan di sini.

1. B — Kedua matriks harus memiliki ordo yang sama.
2. B — Elemen yang dicari adalah 3 + 2 = 5. Catatan: jawaban yang benar adalah B.
3. A — Semua elemen dikalikan 2 sehingga hasilnya [4 −6; 8 2].
4. A — Elemen tersebut adalah 4 − 3 = 1. Catatan: jawaban yang benar adalah A.
5. C — Penjumlahan dengan matriks nol tidak mengubah matriks.
6. C — Elemen baris kedua kolom kedua adalah 3 × 4 = 12.

7. Tantangan Kontekstual

Sebuah koperasi sekolah mencatat penjualan dua jenis buku selama dua hari.

Jenis buku	Senin	Selasa
Buku tulis	20	15
Buku gambar	8	10

Data penjualan hari pertama dinyatakan dengan matriks A dan hari kedua dengan matriks B:

A =

20	0
8	0

  dan   B =

0	15
0	10

Angka nol digunakan sebagai tempat kosong untuk hari yang belum dicatat dalam masing-masing matriks. Tentukan A + B dan jelaskan artinya.

A+B =

20	15
8	10

Hasilnya menunjukkan penjualan buku tulis sebanyak 20 pada Senin dan 15 pada Selasa, serta buku gambar sebanyak 8 pada Senin dan 10 pada Selasa.

Kesimpulan Paket 4

• Penjumlahan dan pengurangan matriks mensyaratkan ordo yang sama.
• Operasi penjumlahan dan pengurangan dilakukan pada elemen bersesuaian.
• Perkalian skalar dilakukan pada setiap elemen matriks.
• Matriks nol berperan sebagai identitas penjumlahan.

Nilai karakter: Ketelitian dalam menghitung dan memeriksa hasil membantu kita menghindari kesalahan.

Berikutnya: Paket 5 — Perkalian Dua Matriks.