Determinan dan Invers Matriks #6

MATEMATIKA SMA KELAS XI

PAKET 6 — DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

Menghitung determinan, menentukan invers, dan memahami penerapannya.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:

1. Menghitung determinan matriks persegi ordo 2 × 2.
2. Menghitung determinan matriks persegi ordo 3 × 3.
3. Menjelaskan syarat suatu matriks mempunyai invers.
4. Menentukan invers matriks ordo 2 × 2.
5. Menggunakan determinan dan invers untuk menyelesaikan persoalan sederhana.

1. Pengertian Determinan

Determinan adalah suatu nilai bilangan yang dapat dihitung dari matriks persegi. Determinan hanya didefinisikan untuk matriks persegi.

Determinan matriks A dapat ditulis sebagai det(A) atau |A|. Simbol garis tegak pada penulisan determinan berbeda fungsinya dari tanda kurung siku yang mengapit matriks.

Ingat! Matriks adalah susunan bilangan, sedangkan determinannya adalah sebuah bilangan yang diperoleh melalui perhitungan dari matriks persegi tersebut.

2. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Jika:

A =

a	b
c	d

Maka determinan A adalah:

det(A) = |A| = ad − bc

Contoh 1

Tentukan determinan matriks berikut.

A =

3	2
5	4

Gunakan rumus \(ad-bc\).

det(A) = 3(4) − 2(5)

det(A) = 12 − 10 = 2

Jawaban: det(A) = 2.

Trik mengingat: kalikan diagonal dari kiri atas ke kanan bawah, lalu kurangi dengan hasil perkalian diagonal dari kanan atas ke kiri bawah.

3. Determinan Matriks Ordo 3 × 3

Untuk matriks ordo 3 × 3, kita dapat menggunakan aturan Sarrus.

Misalkan:

A =

a	b	c
d	e	f
g	h	i

Rumus determinannya:

det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh

Contoh 2

Tentukan determinan matriks berikut.

B =

1	2	3
0	4	5
1	0	6

Dengan aturan Sarrus:

Jumlah hasil kali diagonal turun:

1(4)(6) + 2(5)(1) + 3(0)(0) = 34

Jumlah hasil kali diagonal naik:

3(4)(1) + 2(0)(6) + 1(5)(0) = 12

Jadi:

det(B) = 34 − 12 = 22

Jawaban: det(B) = 22.

4. Hubungan Determinan dengan Invers

Invers matriks A ditulis sebagai \(A^{-1}\). Invers merupakan matriks yang memenuhi:

\(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)

dengan I adalah matriks identitas.

Syarat penting: suatu matriks persegi mempunyai invers jika dan hanya jika determinannya tidak sama dengan nol.

det(A) ≠ 0

Jika det(A) = 0, matriks tersebut tidak mempunyai invers.

5. Rumus Invers Matriks Ordo 2 × 2

Jika:

A =

a	b
c	d

dan \(ad-bc\neq0\), maka:

A⁻¹ =

d	−b
−c	a

÷ (ad − bc)

Rumus tersebut dapat juga ditulis:

A⁻¹ = 1/(ad − bc)

d	−b
−c	a

Contoh 3

Tentukan invers dari:

A =

2	1
5	3

Langkah 1: Hitung determinan.

det(A) = 2(3) − 1(5) = 1

Karena determinan tidak nol, A mempunyai invers.

Langkah 2: Tukar elemen diagonal utama dan ubah tanda dua elemen lainnya.

A⁻¹ =

3	−1
−5	2

Karena determinannya 1, matriks tersebut tidak perlu dikalikan dengan pecahan lain. Jawaban:

A⁻¹ =

3	−1
−5	2

6. Jika Determinan Sama dengan Nol

Contoh 4

C =

2	4
1	2

det(C) = 2(2) − 4(1) = 0

Karena determinannya nol, matriks C tidak mempunyai invers.

7. Laboratorium Interaktif Determinan dan Invers

Ubah elemen-elemen matriks di bawah ini. Kalkulator akan menghitung determinan dan inversnya jika invers tersedia.

Elemen a

Elemen b

Elemen c

Elemen d

A =

2	1
5	3

Hasil perhitungan akan muncul di sini.

8. Latihan Mandiri

1. Determinan matriks A = [3 2; 1 4] adalah .... 8 10 12 14

2. Suatu matriks persegi mempunyai invers jika .... Determinannya nol Semua elemennya positif Determinannya tidak nol Semua elemen diagonalnya satu

3. Determinan matriks B = [2 4; 1 2] adalah .... 0 2 4 8

4. Jika A = [1 2; 3 5], maka invers A adalah .... [5 −2; −3 1] [1 −2; −3 5] [5 2; 3 1] [1 2; 3 5]

5. Determinan matriks [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0] adalah .... −1 0 1 5

6. Jika determinan matriks A sama dengan nol, maka .... A pasti matriks identitas A tidak mempunyai invers A pasti matriks nol A pasti berordo 2 × 2

Skor akan muncul di sini.

1. B — det(A) = 3(4) − 2(1) = 10.
2. C — Matriks persegi mempunyai invers jika determinannya tidak nol.
3. A — det(B) = 2(2) − 4(1) = 0, sehingga B tidak mempunyai invers.
4. A — Determinannya 1. Dengan menukar elemen diagonal utama dan mengubah tanda elemen lainnya, diperoleh [5 −2; −3 1].
5. C — Dengan ekspansi baris pertama, determinannya adalah 1(−24) − 2(−20) + 3(−5) = 1.
6. B — Determinan nol berarti matriks persegi tersebut tidak mempunyai invers.

9. Tantangan Kontekstual

Sebuah sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks:

2x + y = 7

x + y = 4

Tuliskan matriks koefisiennya, hitung determinannya, lalu tentukan apakah matriks tersebut mempunyai invers.

Matriks koefisien:

A =

2	1
1	1

Determinan:

det(A) = 2(1) − 1(1) = 1

Karena determinan tidak nol, A mempunyai invers.

Dengan menyelesaikan sistem persamaannya, diperoleh \(x=3\) dan \(y=1\).

Kesimpulan Paket 6

• Determinan hanya didefinisikan untuk matriks persegi.
• Untuk ordo 2 × 2, determinan dihitung menggunakan \(ad-bc\).
• Determinan matriks ordo 3 × 3 dapat dihitung menggunakan aturan Sarrus.
• Matriks persegi mempunyai invers jika dan hanya jika determinannya tidak nol.
• Invers matriks ordo 2 × 2 diperoleh dengan menukar elemen diagonal utama, mengubah tanda elemen lainnya, lalu membaginya dengan determinan.

Nilai karakter: Ketelitian dalam memeriksa syarat dan langkah perhitungan menolong kita mengambil keputusan berdasarkan alasan yang benar.

Berikutnya: Paket 7 — Penerapan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear.