Kesamaan dan transpose matriks #3

MATEMATIKA SMA KELAS XI

PAKET 3 — KESAMAAN DAN TRANSPOSE MATRIKS

Memahami kesamaan elemen dan perubahan baris menjadi kolom.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:

1. Menjelaskan syarat dua matriks dikatakan sama.
2. Menentukan nilai variabel berdasarkan kesamaan dua matriks.
3. Menjelaskan pengertian transpose matriks.
4. Menentukan transpose matriks dari berbagai ordo.
5. Menjelaskan hubungan ordo matriks dengan ordonya setelah ditranspose.

1. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama apabila memenuhi dua syarat:

1. Memiliki ordo yang sama.
2. Setiap elemen yang bersesuaian memiliki nilai yang sama.

Perhatikan matriks berikut.

A =

2	4
6	8

  dan   B =

2	4
6	8

Matriks A dan B sama karena keduanya berordo \(2\times2\) dan seluruh elemen yang bersesuaian sama.

A = B

Sekarang perhatikan matriks C berikut.

C =

2	4
8	6

Meskipun C memiliki ordo yang sama dengan A, matriks C tidak sama dengan A karena elemen pada baris kedua kolom pertama dan kedua berbeda.

Ingat! Ordo sama saja belum cukup. Semua elemen yang menempati posisi bersesuaian juga harus sama.

2. Menentukan Variabel dari Kesamaan Matriks

Jika dua matriks sama, elemen-elemen yang bersesuaian dapat digunakan untuk membentuk persamaan matematika.

Contoh 1

Diketahui:

x+2	5
3	y-1

=

7	5
3	4

Tentukan nilai \(x\) dan \(y\).

Karena kedua matriks sama, elemen yang bersesuaian harus sama.

Elemen baris pertama kolom pertama:

\(x+2=7\)

\(x=7-2=5\)

Elemen baris kedua kolom kedua:

\(y-1=4\)

\(y=4+1=5\)

Jawaban: \(x=5\) dan \(y=5\).

Contoh 2

Diketahui:

2a	b+1
4	a+b

=

10	7
4	9

Tentukan nilai \(a\) dan \(b\).

Dari elemen baris pertama kolom pertama:

\(2a=10\Rightarrow a=5\)

Dari elemen baris pertama kolom kedua:

\(b+1=7\Rightarrow b=6\)

Periksa elemen baris kedua kolom kedua:

\(a+b=5+6=11\)

Namun, elemen yang bersesuaian pada ruas kanan adalah 9. Jadi, data pada soal ini tidak konsisten.

Kesimpulan: tidak ada pasangan \(a,b\) yang memenuhi seluruh kesamaan matriks tersebut.

3. Apa Itu Transpose Matriks?

Transpose matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

Transpose matriks A ditulis sebagai \(A^T\), dibaca “A transpose”.

Misalkan:

A =

1	2	3
4	5	6

Matriks A memiliki dua baris dan tiga kolom. Setelah ditranspose:

A^T =

1	4
2	5
3	6

Baris pertama A, yaitu 1, 2, 3, menjadi kolom pertama \(A^T\). Baris kedua A, yaitu 4, 5, 6, menjadi kolom kedua \(A^T\).

4. Cara Menentukan Transpose

1. Perhatikan baris pertama matriks asal.
2. Jadikan baris pertama tersebut sebagai kolom pertama matriks transpose.
3. Ulangi untuk setiap baris berikutnya.
4. Periksa kembali posisi setiap elemen.

Hubungan ordo: jika A berordo \(m\times n\), maka \(A^T\) berordo \(n\times m\). Banyak elemen tetap sama, hanya posisinya yang berubah.

5. Laboratorium Interaktif: Transpose Matriks

Pilih matriks berikut dan amati perubahan susunannya ketika ditranspose.

Pilih matriks A — matriks 2 × 3 B — matriks 3 × 2 C — matriks 2 × 2 D — matriks 1 × 4

Matriks Asal

Matriks Transpose

Pilih matriks, lalu tekan tombol.

6. Contoh Soal Transpose

Contoh 3

Tentukan transpose dari:

B =

2	5
7	1
4	6

Baris pertama B, yaitu 2 dan 5, menjadi kolom pertama \(B^T\). Baris kedua menjadi kolom kedua, dan baris ketiga menjadi kolom ketiga.

B^T =

2	7	4
5	1	6

B berordo \(3\times2\), sehingga \(B^T\) berordo \(2\times3\).

7. Sifat-Sifat Transpose

Sifat 1: Transpose dua kali

\((A^T)^T=A\)

Jika matriks ditranspose dua kali, matriks kembali ke susunan semula.

Sifat 2: Transpose matriks identitas

\(I^T=I\)

Matriks identitas tetap sama ketika ditranspose.

Sifat 3: Transpose penjumlahan

\((A+B)^T=A^T+B^T\)

Untuk matriks A dan B yang ordonya sama, transpose dari jumlahnya sama dengan jumlah transpose masing-masing matriks.

Sifat ketiga akan lebih mudah dipahami setelah kamu mempelajari operasi penjumlahan matriks.

8. Latihan Mandiri

Pilih jawaban yang paling tepat. Tekan tombol periksa setelah semua soal selesai dikerjakan.

1. Dua matriks dikatakan sama apabila .... Hanya memiliki jumlah elemen yang sama Ordonya sama dan elemen bersesuaian sama Semua elemennya nol Salah satu merupakan transpose yang lain

2. Jika A berordo \(2\times5\), ordo \(A^T\) adalah .... \(2\times5\) \(5\times2\) \(2\times2\) \(5\times5\)

3. Diketahui:

A =

3	8
2	5

Nilai \(a_{21}\) adalah .... 3 8 2 5

4. Diketahui:

B =

1	4	7
2	5	8

Transpose B adalah .... [1 4; 7 2; 5 8] [1 2; 4 5; 7 8] [1 2 4; 5 7 8] [2 5 8; 1 4 7]

5. Jika \(A^T\) berordo \(4\times3\), maka ordo A adalah .... \(4\times3\) \(4\times4\) \(3\times4\) \(3\times3\)

6. Diketahui:

x+1	4
3	y

=

6	4
3	9

Nilai x dan y berturut-turut adalah .... 5 dan 9 7 dan 6 6 dan 9 5 dan 8

Skor akan muncul di sini.

1. B — Ordo harus sama dan semua elemen yang bersesuaian harus sama.
2. B — Ordo transpose menukar banyak baris dan kolom.
3. C — \(a_{21}\) berada pada baris kedua, kolom pertama, yaitu 2.
4. B — Baris-baris B menjadi kolom-kolom \(B^T\).
5. C — Jika \(A^T\) berordo \(4\times3\), A berordo \(3\times4\).
6. A — \(x+1=6\), sehingga \(x=5\), dan \(y=9\).

9. Tantangan Kontekstual

Sebuah sekolah mencatat jumlah peserta kegiatan ekstrakurikuler berikut.

Kegiatan	Kelas XI A	Kelas XI B
Robotik	12	15
Musik	18	14

Data ditulis sebagai matriks:

M =

12	15
18	14

1. Tentukan \(M^T\).
2. Apa ordo M dan \(M^T\)?
3. Jelaskan arti elemen baris pertama kolom kedua pada \(M^T\).

1. Transpose matriks M adalah:

M^T =

12	18
15	14

2. M dan \(M^T\) sama-sama berordo \(2\times2\), karena M merupakan matriks persegi.

3. Elemen baris pertama kolom kedua pada \(M^T\) adalah 18, yaitu jumlah peserta musik dari kelas XI A.

Kesimpulan Paket 3

• Dua matriks sama jika ordonya sama dan setiap elemen bersesuaian sama.
• Kesamaan matriks dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel.
• Transpose menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
• Jika A berordo \(m\times n\), maka \(A^T\) berordo \(n\times m\).

Nilai karakter: Ketelitian memeriksa posisi elemen dan konsistensi data membantu kita mengambil kesimpulan yang benar.

Berikutnya: Paket 4 — Operasi Matriks: Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian dengan Skalar.