Perkalian Dua Matriks #5

MATEMATIKA SMA KELAS XI

PAKET 5 — PERKALIAN DUA MATRIKS

Memahami syarat perkalian, aturan baris dikalikan kolom, dan sifat-sifatnya.

Tujuan Pembelajaran

Setelah belajar, kamu diharapkan mampu:

1. Menentukan apakah dua matriks dapat dikalikan.
2. Menentukan ordo hasil perkalian matriks.
3. Menghitung hasil perkalian menggunakan aturan baris dikalikan kolom.
4. Menjelaskan bahwa perkalian matriks tidak selalu komutatif.
5. Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan perkalian matriks.

1. Apa Itu Perkalian Dua Matriks?

Berbeda dengan penjumlahan matriks yang dilakukan pada elemen bersesuaian, perkalian dua matriks dilakukan dengan mengalikan elemen-elemen pada satu baris matriks pertama dengan elemen-elemen pada satu kolom matriks kedua, kemudian menjumlahkan hasil perkaliannya.

Aturan utama: baris dikalikan kolom.

Jika A berordo \(m\times n\) dan B berordo \(n\times p\), maka AB dapat dihitung dan hasilnya berordo \(m\times p\).

2. Syarat Perkalian Matriks

Perkalian AB dapat dilakukan jika banyak kolom A sama dengan banyak baris B.

Matriks A	Matriks B	Dapat dikalikan?	Ordo AB
2 × 3	3 × 2	Ya	2 × 2
3 × 2	2 × 4	Ya	3 × 4
2 × 3	2 × 2	Tidak	Tidak terdefinisi
2 × 2	2 × 1	Ya	2 × 1

Trik mengingat ordo hasil

\( (m\times n)(n\times p)=m\times p \)

Angka di tengah harus sama. Ordo hasil menggunakan angka di bagian luar.

3. Contoh Perkalian Matriks Ordo 2 × 2

Diketahui:

A =

1	2
3	4

  dan   B =

5	6
7	8

Tentukan AB.

Langkah 1: Elemen baris pertama kolom pertama.

\(1(5)+2(7)=5+14=19\)

Langkah 2: Elemen baris pertama kolom kedua.

\(1(6)+2(8)=6+16=22\)

Langkah 3: Elemen baris kedua kolom pertama.

\(3(5)+4(7)=15+28=43\)

Langkah 4: Elemen baris kedua kolom kedua.

\(3(6)+4(8)=18+32=50\)

Susun keempat hasil tersebut sesuai posisinya.

AB =

19	22
43	50

4. Contoh Perkalian Matriks Ordo 2 × 3 dan 3 × 2

Diketahui:

P =

1	2	3
4	5	6

Q =

1	2
0	1
2	0

Tentukan PQ.

Ordo P adalah 2 × 3 dan ordo Q adalah 3 × 2. Karena banyak kolom P sama dengan banyak baris Q, perkalian dapat dilakukan. Hasilnya berordo 2 × 2.

Elemen baris pertama kolom pertama:

\(1(1)+2(0)+3(2)=7\)

Elemen baris pertama kolom kedua:

\(1(2)+2(1)+3(0)=4\)

Elemen baris kedua kolom pertama:

\(4(1)+5(0)+6(2)=16\)

Elemen baris kedua kolom kedua:

\(4(2)+5(1)+6(0)=13\)

PQ =

7	4
16	13

5. Mengapa AB Belum Tentu Sama dengan BA?

Pada perkalian bilangan biasa, \(2\times3=3\times2\). Akan tetapi, pada perkalian matriks, urutan perkalian dapat memengaruhi hasil.

Gunakan matriks:

A =

1	2
0	1

  dan   B =

2	0
1	3

AB =

4	6
1	3

BA =

2	4
1	5

Karena AB tidak sama dengan BA, perkalian matriks secara umum tidak komutatif.

Perhatian: AB dan BA bahkan tidak selalu sama-sama terdefinisi. Periksa syarat ordo sebelum menghitung.

6. Laboratorium Interaktif Perkalian Matriks

Pilih pasangan matriks. Amati ordo keduanya, lalu hitung hasil perkaliannya.

Pilih pasangan matriks A (2 × 2) dan B (2 × 2) P (2 × 3) dan Q (3 × 2) R (2 × 3) dan S (2 × 2) — tidak dapat dikalikan U (2 × 3) dan V (3 × 1)

Matriks pertama

Matriks kedua

Pilih pasangan matriks, lalu tekan tombol.

7. Latihan Mandiri

1. Matriks A berordo 2 × 3 dan B berordo 3 × 4. Ordo AB adalah .... 2 × 4 3 × 3 4 × 2 Tidak dapat dikalikan

2. Jika A berordo 2 × 3 dan B berordo 2 × 2, maka AB .... Berordo 2 × 2 Berordo 3 × 2 Tidak terdefinisi Berordo 2 × 3

3. Diketahui A = [1 2; 3 4] dan B = [2 0; 1 5]. Elemen baris pertama kolom pertama AB adalah .... 2 4 5 7

4. Jika A berordo 3 × 2 dan B berordo 2 × 5, maka ordo AB adalah .... 2 × 2 3 × 5 5 × 3 3 × 2

5. Pernyataan yang benar tentang perkalian matriks adalah .... Selalu AB = BA Ordo hasil selalu sama dengan ordo matriks pertama Banyak kolom matriks pertama harus sama dengan banyak baris matriks kedua Semua matriks dapat dikalikan

6. Diketahui A = [2 1; 0 3] dan B = [4; 5]. Hasil AB adalah .... [13; 15] [8 5; 0 15] [9; 15] Tidak terdefinisi

Skor akan muncul di sini.

1. A — Kolom A sama dengan baris B, dan hasilnya berordo 2 × 4.
2. C — A memiliki 3 kolom, sedangkan B memiliki 2 baris. AB tidak terdefinisi.
3. B — Elemen yang dicari adalah 1(2) + 2(1) = 4.
4. B — Hasil berordo 3 × 5.
5. C — Banyak kolom matriks pertama harus sama dengan banyak baris matriks kedua.
6. A — Baris pertama: 2(4) + 1(5) = 13. Baris kedua: 0(4) + 3(5) = 15.

8. Tantangan Kontekstual

Sebuah toko menjual dua jenis paket alat tulis. Banyak barang pada masing-masing paket adalah sebagai berikut.

Paket	Buku	Pulpen
Paket A	3	2
Paket B	5	1

Harga satu buku Rp4.000 dan satu pulpen Rp2.000. Susun matriks jumlah barang dan matriks harga, kemudian tentukan biaya untuk satu paket A dan satu paket B.

Matriks jumlah barang:

A =

3	2
5	1

Matriks harga:

B =

4000

2000

Hasil perkalian:

AB =

16000

22000

Paket A berharga Rp16.000, sedangkan Paket B berharga Rp22.000.

Kesimpulan Paket 5

• Perkalian AB dapat dilakukan jika banyak kolom A sama dengan banyak baris B.
• Hasil perkalian berordo sebanyak baris A × banyak kolom B.
• Setiap elemen hasil diperoleh dengan aturan baris dikalikan kolom.
• Perkalian matriks secara umum tidak komutatif: AB belum tentu sama dengan BA.

Nilai karakter: Ketelitian, kesabaran, dan keteraturan langkah membantu kita menyelesaikan masalah dengan tepat.

Berikutnya: Paket 6 — Determinan dan Invers Matriks.