Logika Matematika #5 : Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Matematika SMA · Logika Matematika · Paket 5

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Satu implikasi dapat diubah menjadi beberapa bentuk pernyataan. Namun, apakah semua bentuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama? Mari kita selidiki!

Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

1. Mengingat Kembali Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk berbentuk “jika p, maka q”.

\(p\rightarrow q\)

p disebut hipotesis atau anteseden, sedangkan q disebut kesimpulan atau konsekuen.

Contoh:

Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu genap.

• p: Bilangan habis dibagi 4.
• q: Bilangan itu genap.

Ingat: implikasi \(p\rightarrow q\) hanya bernilai salah ketika p benar dan q salah.

2. Tiga Bentuk Pernyataan

A. Konvers

Konvers diperoleh dengan menukar posisi p dan q.

\(q\rightarrow p\)

Dari “jika p maka q” menjadi “jika q maka p”.

B. Invers

Invers diperoleh dengan menegasikan p dan q tanpa menukar posisinya.

\(\neg p\rightarrow\neg q\)

Kedua bagian dinegasikan.

C. Kontraposisi

Kontraposisi diperoleh dengan menukar posisi p dan q sekaligus menegasikan keduanya.

\(\neg q\rightarrow\neg p\)

Tukar posisi, lalu negasikan kedua bagian.

3. Contoh dalam Kalimat

Diketahui pernyataan:

Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu genap.

Misalkan:

• p: Bilangan habis dibagi 4.
• q: Bilangan itu genap.

Implikasi

Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu genap.

\(p\rightarrow q\)

Konvers

Jika suatu bilangan genap, maka bilangan itu habis dibagi 4.

\(q\rightarrow p\)

Tidak selalu benar Contoh: 6 genap, tetapi tidak habis dibagi 4.

Invers

Jika suatu bilangan tidak habis dibagi 4, maka bilangan itu tidak genap.

\(\neg p\rightarrow\neg q\)

Tidak selalu benar Contoh: 6 tidak habis dibagi 4, tetapi tetap genap.

Kontraposisi

Jika suatu bilangan tidak genap, maka bilangan itu tidak habis dibagi 4.

\(\neg q\rightarrow\neg p\)

Benar Bilangan ganjil tidak mungkin habis dibagi 4.

4. Hubungan Nilai Kebenaran

Inilah hubungan penting yang harus diingat:

\(p\rightarrow q\equiv\neg q\rightarrow\neg p\)

Implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.

\(q\rightarrow p\equiv\neg p\rightarrow\neg q\)

Konvers selalu ekuivalen dengan inversnya.

Kesimpulan utama:

• Implikasi dan kontraposisi memiliki nilai kebenaran yang sama.
• Konvers dan invers memiliki nilai kebenaran yang sama.
• Implikasi tidak selalu ekuivalen dengan konversnya.

5. Tabel Kebenaran Lengkap

Tabel berikut memperlihatkan nilai kebenaran keempat bentuk pernyataan.

p	q	\(p\rightarrow q\)	\(q\rightarrow p\)	\(\neg p\rightarrow\neg q\)	\(\neg q\rightarrow\neg p\)
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

B = benar, S = salah. Perhatikan kolom implikasi dan kontraposisi: nilainya selalu sama. Kolom konvers dan invers juga selalu sama.

6. Simulasi Interaktif

Pilih nilai kebenaran p dan q. Simulasi akan menghitung nilai implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi.

Nilai p Benar (B) Salah (S)

Nilai q Benar (B) Salah (S)

Pilih nilai p dan q, lalu klik tombol.

7. Cara Cepat Mengingat

Konvers

Tukar

\(p\rightarrow q\;\longrightarrow\;q\rightarrow p\)

Invers

Negasikan

\(p\rightarrow q\;\longrightarrow\;\neg p\rightarrow\neg q\)

Kontraposisi

Tukar dan negasikan

\(p\rightarrow q\;\longrightarrow\;\neg q\rightarrow\neg p\)

Uji pemahaman singkat

Dari pernyataan “Jika hari hujan, maka jalan basah”, tentukan konvers, invers, dan kontraposisinya.

Lihat jawaban

• Konvers: Jika jalan basah, maka hari hujan.
• Invers: Jika hari tidak hujan, maka jalan tidak basah.
• Kontraposisi: Jika jalan tidak basah, maka hari tidak hujan.

Catatan: contoh ini untuk latihan bentuk logika. Dalam kenyataan, jalan bisa basah karena disiram meskipun tidak hujan.

8. Latihan Interaktif

Pilih jawaban yang paling tepat. Klik Periksa Jawaban untuk melihat skor dan pembahasan.

Skor akan muncul setelah jawaban diperiksa.

9. Rangkuman

• Implikasi: \(p\rightarrow q\).
• Konvers: \(q\rightarrow p\).
• Invers: \(\neg p\rightarrow\neg q\).
• Kontraposisi: \(\neg q\rightarrow\neg p\).
• Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi.
• Konvers ekuivalen dengan invers.

Refleksi: Mengapa konvers dari suatu pernyataan yang benar belum tentu benar?

Lihat contoh jawaban

Karena hubungan dari p ke q tidak selalu berlaku sebaliknya. Jika suatu bilangan habis dibagi 4, bilangan itu genap. Namun, bilangan genap belum tentu habis dibagi 4.

Laboratorium Matematika · Logika Matematika Paket 5