Logika #4 : Ekuivalensi dan Hukum Logika

Matematika SMA · Logika Matematika · Paket 4

Ekuivalensi dan Hukum Logika

Dua pernyataan majemuk dapat memiliki bentuk berbeda, tetapi selalu menghasilkan nilai kebenaran yang sama. Kita akan mempelajari cara mengenali dan membuktikannya.

Konsep Tabel Kebenaran Latihan Interaktif

1. Apa Itu Ekuivalensi Logika?

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen secara logis jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran pernyataan penyusunnya.

Notasi: \(P \equiv Q\)

Simbol \(\equiv\) dibaca “ekuivalen dengan”. Ekuivalensi dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran atau hukum-hukum logika.

Ingat! Dua pernyataan yang kebetulan sama-sama benar dalam satu contoh belum tentu ekuivalen. Keduanya harus mempunyai nilai kebenaran yang sama pada semua kemungkinan.

Contoh sederhana

Perhatikan dua bentuk berikut:

\(p \rightarrow q\)

\(\neg p \lor q\)

Keduanya ekuivalen. Implikasi \(p \rightarrow q\) hanya bernilai salah ketika \(p\) benar dan \(q\) salah. Bentuk \(\neg p \lor q\) juga hanya salah pada keadaan yang sama.

2. Membuktikan Ekuivalensi dengan Tabel Kebenaran

Misalkan kita ingin membuktikan bahwa \(p \rightarrow q\) ekuivalen dengan \(\neg p \lor q\).

p	q	\(\neg p\)	\(p\rightarrow q\)	\(\neg p\lor q\)
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

B = benar, S = salah.

Kolom \(p\rightarrow q\) dan \(\neg p\lor q\) sama pada seluruh baris. Jadi, terbukti bahwa:

\(p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q\)

3. Hukum-Hukum Logika

Hukum logika membantu kita menyederhanakan pernyataan majemuk tanpa harus membuat tabel kebenaran dari awal setiap kali.

A. Hukum Identitas

\(p\land B \equiv p\)

\(p\lor S \equiv p\)

Konjungsi dengan benar tidak mengubah p. Disjungsi dengan salah juga tidak mengubah p.

B. Hukum Dominasi

\(p\lor B \equiv B\)

\(p\land S \equiv S\)

Disjungsi dengan benar selalu benar. Konjungsi dengan salah selalu salah.

C. Hukum Idempoten

\(p\land p \equiv p\)

\(p\lor p \equiv p\)

Mengulang pernyataan yang sama tidak mengubah nilai kebenarannya.

D. Hukum Negasi

\(p\lor\neg p \equiv B\)

\(p\land\neg p \equiv S\)

Pernyataan atau negasinya pasti benar; keduanya sekaligus tidak mungkin benar.

E. Hukum Negasi Ganda

\(\neg(\neg p)\equiv p\)

Negasi dari negasi suatu pernyataan kembali menjadi pernyataan semula.

F. Hukum Komutatif

\(p\land q\equiv q\land p\)

\(p\lor q\equiv q\lor p\)

Urutan pernyataan dapat ditukar pada konjungsi dan disjungsi.

G. Hukum Asosiatif

\((p\land q)\land r\equiv p\land(q\land r)\)

\((p\lor q)\lor r\equiv p\lor(q\lor r)\)

Pengelompokan dapat diubah jika operatornya sama.

H. Hukum Distributif

\(p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\)

\(p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\)

Operasi logika dapat didistribusikan seperti pola aljabar tertentu.

I. Hukum De Morgan

\(\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\)

\(\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q\)

Ketika negasi masuk ke dalam tanda kurung, operator berubah dan setiap pernyataan dinegasikan.

J. Hukum Implikasi

\(p\rightarrow q\equiv\neg p\lor q\)

Implikasi dapat ditulis ulang menjadi disjungsi.

4. Mengenal Hukum De Morgan

Hukum De Morgan sangat berguna ketika kita menegasikan pernyataan majemuk.

Bentuk pertama

\(\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\)

Artinya, negasi dari “p dan q” setara dengan “bukan p atau bukan q”.

Contoh:

• p: Rina belajar.
• q: Rina mengerjakan latihan.

Pernyataan: “Rina belajar dan mengerjakan latihan.”

Negasinya: “Rina tidak belajar atau Rina tidak mengerjakan latihan.”

Bentuk kedua

\(\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q\)

Artinya, negasi dari “p atau q” setara dengan “bukan p dan bukan q”.

Contoh: Negasi dari “Doni membaca buku atau menonton video” adalah “Doni tidak membaca buku dan tidak menonton video”.

Jangan tertukar: saat menerapkan hukum De Morgan, operator \(\land\) berubah menjadi \(\lor\), dan \(\lor\) berubah menjadi \(\land\). Setiap pernyataan di dalamnya juga harus dinegasikan.

5. Simulasi Ekuivalensi

Pilih pasangan pernyataan untuk melihat tabel kebenaran dan memeriksa apakah keduanya ekuivalen.

Pilih pasangan: \(p\rightarrow q\) dan \(\neg p\lor q\) \(\neg(p\land q)\) dan \(\neg p\lor\neg q\) \(\neg(p\lor q)\) dan \(\neg p\land\neg q\) \(p\rightarrow q\) dan \(p\land q\) \(p\land q\) dan \(q\land p\)

Pilih pasangan, lalu klik tombol untuk melihat hasilnya.

6. Contoh Penyederhanaan

Soal: Sederhanakan pernyataan berikut menggunakan hukum logika.

\((p\land B)\lor(p\land q)\)

Lihat langkah penyelesaian

Langkah 1: Gunakan hukum identitas. Karena \(p\land B\equiv p\), maka:

\((p\land B)\lor(p\land q)\equiv p\lor(p\land q)\)

Langkah 2: Gunakan hukum absorpsi:

\(p\lor(p\land q)\equiv p\)

Hasil akhir: \(p\).

Hukum Absorpsi

\(p\lor(p\land q)\equiv p\)

\(p\land(p\lor q)\equiv p\)

Hukum ini juga penting untuk menyederhanakan pernyataan majemuk yang lebih panjang.

7. Latihan Interaktif

Pilih satu jawaban pada setiap soal. Setelah selesai, klik Periksa Jawaban untuk melihat skor dan pembahasan.

Skor akan muncul setelah jawaban diperiksa.

8. Rangkuman

• Ekuivalensi logika berarti dua bentuk pernyataan memiliki nilai kebenaran sama untuk semua kemungkinan.
• Ekuivalensi dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran atau hukum logika.
• Hukum penting antara lain identitas, dominasi, negasi, komutatif, asosiatif, distributif, De Morgan, implikasi, dan absorpsi.
• Hukum De Morgan mengubah operator dan menegasikan setiap pernyataan.

Refleksi: Mengapa kita tidak cukup memeriksa satu baris saja untuk membuktikan bahwa dua pernyataan ekuivalen?

Lihat jawaban contoh

Karena ekuivalensi harus berlaku untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran. Satu baris saja belum membuktikan bahwa hasil kedua pernyataan selalu sama.

Laboratorium Matematika · Logika Matematika Paket 4