Pernyataan Majemuk
Memahami cara menggabungkan pernyataan menggunakan konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
Tujuan pembelajaran: Siswa mampu membentuk pernyataan majemuk, menentukan nilai kebenarannya, serta membaca simbol logika dengan tepat.
1. Pengertian Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan atau lebih menggunakan penghubung logika.
Misalkan:
p: Bilangan 8 adalah bilangan genap.
q: Bilangan 8 lebih besar dari 5.
Kedua pernyataan tersebut bernilai benar. Kita dapat menggabungkannya menjadi:
“Bilangan 8 adalah bilangan genap dan lebih besar dari 5.”
Pernyataan gabungan ini disebut pernyataan majemuk. Nilai kebenarannya ditentukan oleh jenis penghubung logika yang digunakan.
2. Konjungsi (DAN)
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata dan. Konjungsi dari p dan q ditulis:
Konjungsi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan penyusunnya benar.
Tabel kebenaran konjungsi
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
B = benar, S = salah.
Contoh 1
Misalkan p: “4 adalah bilangan genap” dan q: “4 lebih besar dari 2”. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Lihat pembahasan
p bernilai benar karena 4 adalah bilangan genap.
q bernilai benar karena 4 lebih besar dari 2.
Karena kedua pernyataan benar, maka p ∧ q bernilai benar.
Contoh 2
Misalkan p benar dan q salah. Tentukan nilai kebenaran p ∧ q.
Lihat pembahasan
Konjungsi hanya benar jika kedua komponennya benar. Karena q salah, maka p ∧ q bernilai salah.
3. Disjungsi (ATAU)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata atau. Disjungsi p dan q ditulis:
Dalam logika matematika dasar, kata “atau” biasanya berarti atau inklusif: hasilnya benar jika setidaknya satu pernyataan benar, termasuk jika keduanya benar.
Tabel kebenaran disjungsi
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh 3
Misalkan p: “10 adalah bilangan ganjil” dan q: “10 adalah bilangan genap”. Tentukan nilai p ∨ q.
Lihat pembahasan
p salah, sedangkan q benar. Karena sekurang-kurangnya satu pernyataan benar, maka p ∨ q bernilai benar.
Contoh 4
Jika p salah dan q salah, bagaimana nilai p ∨ q?
Lihat pembahasan
Disjungsi bernilai salah hanya ketika kedua pernyataan penyusunnya salah. Jadi, p ∨ q bernilai salah.
4. Implikasi (JIKA ... MAKA ...)
Implikasi menghubungkan dua pernyataan dengan bentuk “jika p, maka q”. Ditulis:
p disebut anteseden atau hipotesis, sedangkan q disebut konsekuen atau kesimpulan.
Implikasi hanya bernilai salah ketika p benar tetapi q salah. Pada tiga kombinasi lainnya, implikasi bernilai benar.
Tabel kebenaran implikasi
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Contoh 5
Misalkan p: “Suatu bilangan habis dibagi 4” dan q: “Bilangan tersebut genap”. Pernyataan implikasinya adalah “Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan tersebut genap.”
Lihat pembahasan
Untuk bilangan bulat, setiap bilangan yang habis dibagi 4 pasti genap. Implikasi tersebut bernilai benar.
Perhatikan bahwa contoh ini membahas kebenaran hubungan matematis, bukan sekadar bentuk kalimatnya.
Contoh 6
Jika p benar dan q salah, tentukan nilai p → q.
Lihat pembahasan
Ini satu-satunya kondisi yang membuat implikasi salah. Jadi, p → q bernilai salah.
5. Biimplikasi (JIKA DAN HANYA JIKA)
Biimplikasi menghubungkan dua pernyataan dengan frasa jika dan hanya jika. Simbolnya adalah:
Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama, yaitu sama-sama benar atau sama-sama salah.
Tabel kebenaran biimplikasi
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Contoh 7
Misalkan p: “6 habis dibagi 2” dan q: “6 merupakan bilangan genap”. Tentukan nilai p ↔ q.
Lihat pembahasan
p benar dan q benar. Karena nilai keduanya sama, maka p ↔ q bernilai benar.
Contoh 8
Jika p salah dan q salah, tentukan nilai p ↔ q.
Lihat pembahasan
Kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama. Jadi, p ↔ q bernilai benar.
6. Perbandingan Empat Penghubung Logika
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | S | B | B | S |
| S | S | S | S | B | B |
B = benar dan S = salah. Tabel ini merangkum nilai kebenaran untuk semua kemungkinan nilai p dan q.
Simulasi tabel kebenaran
Pilih nilai p dan q untuk melihat hasil keempat operasi logika.
7. Latihan Pemahaman
Pilih jawaban yang benar. Pembahasan akan muncul setelah kamu memeriksa jawaban.
1. Jika p benar dan q salah, nilai p ∧ q adalah ...
2. Jika p salah dan q benar, nilai p ∨ q adalah ...
3. Kondisi yang membuat p → q salah adalah ...
4. Jika p salah dan q salah, nilai p ↔ q adalah ...
5. Jika p salah dan q salah, nilai p ∨ q adalah ...
6. Diketahui p: “8 bilangan genap” dan q: “8 lebih besar dari 5”. Nilai p ∧ q adalah ...
8. Evaluasi Mandiri
Jawablah pertanyaan berikut secara tertulis untuk memperdalam pemahaman.
- Jelaskan perbedaan konjungsi dan disjungsi.
- Mengapa implikasi p → q salah ketika p benar dan q salah?
- Jelaskan kapan biimplikasi p ↔ q bernilai benar.
- Buatlah satu contoh pernyataan majemuk dalam kehidupan sehari-hari untuk masing-masing penghubung logika.
Lihat pedoman jawaban
1. Konjungsi menggunakan “dan” dan hanya benar jika kedua pernyataan benar. Disjungsi menggunakan “atau” dan benar jika setidaknya satu pernyataan benar.
2. Kondisi tersebut merupakan satu-satunya kombinasi yang membuat implikasi salah menurut definisi tabel kebenaran.
3. Biimplikasi benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
4. Jawaban dapat bervariasi, asalkan bentuk penghubung dan makna pernyataannya tepat.
9. Rangkuman
Konjungsi (p ∧ q): benar jika kedua pernyataan benar.
Disjungsi (p ∨ q): benar jika setidaknya satu pernyataan benar.
Implikasi (p → q): salah hanya ketika p benar dan q salah.
Biimplikasi (p ↔ q): benar jika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Selamat belajar dan terus berlatih!
Matematika SMA · Logika Matematika · Paket 2: Pernyataan Majemuk