Logika Matematika #3

MATEMATIKA SMA · PAKET 3

Tabel Kebenaran

Pelajari cara menyusun kombinasi nilai benar dan salah, menentukan banyak baris tabel, dan menguji nilai kebenaran pernyataan majemuk.

Tujuan pembelajaran: Siswa mampu membuat tabel kebenaran untuk satu, dua, dan tiga variabel serta menentukan hasil operasi logika dengan tepat.

1. Pengertian Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran adalah tabel yang menunjukkan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran pernyataan penyusunnya.

Dalam logika matematika, kita menggunakan dua nilai:

B = Benar

S = Salah

Misalnya, jika p dan q merupakan dua pernyataan, masing-masing dapat bernilai benar atau salah. Kombinasi seluruh nilai tersebut disusun dalam tabel kebenaran.

Manfaat: Tabel kebenaran membantu kita memeriksa hasil operasi logika secara sistematis, tanpa harus menebak nilai kebenarannya.

2. Menentukan Banyak Baris Tabel

Jika suatu tabel kebenaran memiliki n variabel pernyataan yang berbeda, banyak kombinasi nilai kebenarannya adalah:

Banyak baris = 2ⁿ

Banyak variabel	Perhitungan	Banyak kombinasi
1	21	2
2	22	4
3	23	8
4	24	16

Contoh 1

Berapa banyak baris yang diperlukan untuk membuat tabel kebenaran dengan variabel p, q, dan r?

Lihat pembahasan

Terdapat tiga variabel, sehingga n = 3.

Banyak baris = 2³ = 8.

Jadi, tabel tersebut memiliki 8 kombinasi nilai kebenaran, tidak termasuk baris judul.

3. Tabel Kebenaran Satu Variabel

Untuk satu variabel p, terdapat dua kemungkinan nilai kebenaran: benar dan salah.

p	¬p
B	S
S	B

Negasi atau ingkaran, yang ditulis ¬p, membalik nilai kebenaran p.

Contoh 2

Jika p bernilai salah, tentukan nilai ¬p.

Lihat pembahasan

Negasi membalik nilai kebenaran. Karena p salah, maka ¬p bernilai benar.

4. Tabel Kebenaran Dua Variabel

Untuk dua variabel p dan q, terdapat empat kombinasi nilai kebenaran.

p	q
B	B
B	S
S	B
S	S

Urutan ini merupakan salah satu susunan standar yang memudahkan kita menghitung nilai operasi logika berikutnya.

A. Konjungsi: p ∧ q

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Konjungsi hanya benar ketika p dan q sama-sama benar.

B. Disjungsi: p ∨ q

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Disjungsi benar jika sekurang-kurangnya satu pernyataan benar.

C. Implikasi: p → q

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Implikasi hanya salah ketika p benar dan q salah.

D. Biimplikasi: p ↔ q

p	q	p ↔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Biimplikasi benar ketika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama.

5. Menyusun Tabel Kebenaran Pernyataan Majemuk

Untuk menyusun tabel kebenaran, ikuti langkah-langkah berikut.

1. Tentukan semua variabel yang muncul dalam pernyataan.
2. Hitung jumlah kombinasi menggunakan rumus 2ⁿ.
3. Tulis seluruh kombinasi nilai benar dan salah secara sistematis.
4. Hitung nilai operasi di dalam tanda kurung terlebih dahulu.
5. Gunakan hasil setiap operasi untuk menentukan kolom berikutnya hingga memperoleh nilai akhir.

Contoh 3: Menentukan tabel kebenaran ¬p ∨ q

Perhatikan bahwa kita harus menghitung ¬p terlebih dahulu, kemudian menggabungkannya dengan q menggunakan disjungsi.

p	q	¬p	¬p ∨ q
B	B	S	B
B	S	S	S
S	B	B	B
S	S	B	B

Lihat cara menghitung setiap baris

Baris 1: p benar, sehingga ¬p salah. Salah ∨ benar menghasilkan benar.

Baris 2: p benar, sehingga ¬p salah. Salah ∨ salah menghasilkan salah.

Baris 3: p salah, sehingga ¬p benar. Benar ∨ benar menghasilkan benar.

Baris 4: p salah, sehingga ¬p benar. Benar ∨ salah menghasilkan benar.

6. Tabel Kebenaran Tiga Variabel

Jika terdapat tiga variabel p, q, dan r, maka diperlukan delapan kombinasi nilai kebenaran.

p	q	r
B	B	B
B	B	S
B	S	B
B	S	S
S	B	B
S	B	S
S	S	B
S	S	S

Contoh 4: Tabel kebenaran (p ∧ q) ∨ r

Hitung p ∧ q terlebih dahulu, lalu lakukan disjungsi dengan r.

p	q	r	p ∧ q	(p ∧ q) ∨ r
B	B	B	B	B
B	B	S	B	B
B	S	B	S	B
B	S	S	S	S
S	B	B	S	B
S	B	S	S	S
S	S	B	S	B
S	S	S	S	S

Mengapa baris ketiga menghasilkan benar?

Baris ketiga memiliki p benar, q salah, dan r benar.

p ∧ q = benar ∧ salah = salah.

Kemudian (p ∧ q) ∨ r = salah ∨ benar = benar.

7. Simulasi Tabel Kebenaran Interaktif

Pilih bentuk pernyataan dan perhatikan tabel kebenaran yang dihasilkan. Cobalah mengganti bentuk logika untuk membandingkan hasilnya.

Pilih bentuk pernyataan: p ∧ q (Konjungsi) p ∨ q (Disjungsi) p → q (Implikasi) p ↔ q (Biimplikasi) ¬p ∨ q (p ∧ q) ∨ r

8. Latihan Pemahaman

Pilih satu jawaban untuk setiap soal. Setelah selesai, periksa jawaban dan pelajari pembahasannya.

1. Berapa kombinasi nilai kebenaran untuk dua variabel?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

2. Banyak baris kombinasi untuk tiga variabel adalah ...

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

3. Jika p benar dan q salah, nilai ¬p ∨ q adalah ...

A. Benar B. Salah C. Tidak dapat ditentukan D. Selalu benar

4. Jika p benar, q salah, dan r benar, nilai (p ∧ q) ∨ r adalah ...

A. Benar B. Salah C. Tidak terdefinisi D. Benar dan salah

5. Pada tabel p → q, hasilnya salah ketika ...

A. p salah, q salah B. p salah, q benar C. p benar, q salah D. p benar, q benar

6. Jika p salah dan q benar, nilai p ↔ q adalah ...

A. Benar B. Salah C. Selalu benar D. Tidak dapat ditentukan

9. Rangkuman

1. Tabel kebenaran menunjukkan nilai kebenaran untuk seluruh kombinasi variabel.

2. Banyak kombinasi untuk n variabel adalah 2ⁿ.

3. Negasi membalik nilai kebenaran pernyataan.

4. Operasi majemuk dihitung bertahap dengan memperhatikan tanda kurung dan penghubung yang digunakan.

5. Tabel kebenaran dapat digunakan untuk membandingkan dan menganalisis pernyataan majemuk.

10. Refleksi

1. Mengapa dua variabel menghasilkan empat kombinasi?
2. Jelaskan cara menyusun tabel kebenaran untuk (p ∧ q) ∨ r.
3. Buat tabel kebenaran untuk ¬p ∧ q di buku catatanmu.

Lihat pedoman jawaban nomor 3

p	q	¬p	¬p ∧ q
B	B	S	S
B	S	S	S
S	B	B	B
S	S	B	S

Selamat belajar dan terus berlatih!

Berikutnya: Paket 4 — Ekuivalensi dan Hukum Logika.

Matematika SMA · Logika Matematika · Paket 3: Tabel Kebenaran