Vektor #7 : Perkalian Silang Dua Vektor

MATEMATIKA SMA • VEKTOR • PAKET 7

Perkalian Silang Dua Vektor

Cross Product: menghitung \(\vec a\times\vec b\), menentukan arah vektor hasil, dan memahami luas jajargenjang.

Cross Product Vektor 3D Kaidah Tangan Kanan Luas Jajargenjang

1. Tujuan Pembelajaran

• Menjelaskan perbedaan perkalian titik dan perkalian silang.
• Menghitung hasil \(\vec a\times\vec b\) menggunakan komponen.
• Menentukan arah hasil perkalian silang dengan kaidah tangan kanan.
• Menghitung besar hasil perkalian silang.
• Menghubungkan perkalian silang dengan luas jajargenjang dan segitiga.

Ide utama: Perkalian silang dua vektor menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor asal, selama kedua vektor tidak sejajar.

2. Perbedaan Perkalian Titik dan Perkalian Silang

Perkalian titik

\( \vec a\cdot\vec b \)

Menghasilkan skalar.

Rumus sudut:

\( \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta \)

Perkalian silang

\( \vec a\times\vec b \)

Menghasilkan vektor.

Besar hasil:

\( |\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta \)

Perkalian silang biasanya dipelajari untuk vektor tiga dimensi. Untuk vektor 2D, kita dapat menuliskannya sebagai vektor 3D dengan komponen \(z=0\); hasilnya hanya memiliki komponen \(z\).

3. Rumus Perkalian Silang dalam Tiga Dimensi

Misalkan:

\( \vec a=(a_1,a_2,a_3),\quad \vec b=(b_1,b_2,b_3) \)

Hasil perkalian silang adalah:

\( \boxed{\vec a\times\vec b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)} \)

Rumus tersebut dapat diingat menggunakan bentuk determinan simbolis:

\( \vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} \)

Dengan demikian, komponen hasilnya adalah:

\( (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf i-(a_1b_3-a_3b_1)\mathbf j+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf k \)

Perhatikan tanda pada komponen kedua. Urutan yang benar adalah \(a_3b_1-a_1b_3\), bukan sebaliknya.

4. Contoh Perhitungan Langkah demi Langkah

Contoh 1

Diketahui \(\vec a=(1,2,3)\) dan \(\vec b=(4,5,6)\). Tentukan \(\vec a\times\vec b\).

Komponen pertama:

\(a_2b_3-a_3b_2=(2)(6)-(3)(5)=12-15=-3\)

Komponen kedua:

\(a_3b_1-a_1b_3=(3)(4)-(1)(6)=12-6=6\)

Komponen ketiga:

\(a_1b_2-a_2b_1=(1)(5)-(2)(4)=5-8=-3\)

\( \boxed{\vec a\times\vec b=(-3,6,-3)} \)

Contoh 2 — Mengalikan dalam urutan terbalik

Jika \(\vec a\times\vec b=(-3,6,-3)\), tentukan \(\vec b\times\vec a\).

Perkalian silang bersifat antikomutatif:

\( \boxed{\vec b\times\vec a=-(\vec a\times\vec b)} \)

\( \boxed{\vec b\times\vec a=(3,-6,3)} \)

Urutan vektor mengubah arah hasil perkalian silang menjadi arah yang berlawanan.

5. Arah Hasil: Kaidah Tangan Kanan

Hasil perkalian silang tidak hanya memiliki besar, tetapi juga arah. Untuk menentukan arah \(\vec a\times\vec b\), gunakan kaidah tangan kanan:

1. Arahkan jari telunjuk tangan kanan searah \(\vec a\).
2. Arahkan jari tengah menuju \(\vec b\).
3. Ibu jari yang tegak lurus terhadap keduanya menunjukkan arah \(\vec a\times\vec b\).

Catatan gambar: Lingkaran dengan titik di tengah melambangkan arah yang keluar dari bidang gambar, menuju pengamat. Jika urutan dibalik menjadi \(\vec b\times\vec a\), arahnya masuk ke bidang gambar.

6. Besar Perkalian Silang dan Sudut

\( \boxed{|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta} \)

Rumus ini menghubungkan besar perkalian silang dengan sudut \(\theta\) antara kedua vektor.

• Jika \(\theta=0^\circ\) atau \(180^\circ\), hasil perkalian silang adalah vektor nol karena \(\sin\theta=0\).
• Jika \(\theta=90^\circ\), besar perkalian silang maksimum untuk panjang kedua vektor yang tetap.
• Jika sudut berubah, besar perkalian silang juga dapat berubah.

Contoh 3

Dua vektor memiliki besar 5 dan 8 satuan. Sudut antara keduanya 30°. Tentukan besar hasil perkalian silang.

\( |\vec a\times\vec b|=5(8)\sin30^\circ \)

\( =40\left(\frac12\right)=\boxed{20} \)

Jadi, besar hasil perkalian silang adalah 20 satuan kuadrat jika vektor menyatakan besaran panjang. Secara umum, satuan hasil mengikuti perkalian satuan kedua vektor asal.

7. Eksplorasi Interaktif: Sudut dan Besar Cross Product

Atur panjang kedua vektor dan sudut di antaranya. Perhatikan besar perkalian silang.

Besar vektor a: 5

Besar vektor b: 8

Sudut antara vektor: 30°

Panjang pada gambar dinormalisasi agar vektor tetap berada di dalam area visual.

8. Hubungan dengan Luas Jajargenjang dan Segitiga

Besar perkalian silang dapat digunakan untuk menghitung luas jajargenjang yang dibentuk oleh dua vektor.

\( \boxed{L_{\text{jajargenjang}}=|\vec a\times\vec b|} \)

Karena luas segitiga adalah setengah luas jajargenjang dengan alas dan tinggi yang sama, maka:

\( \boxed{L_{\text{segitiga}}=\frac12|\vec a\times\vec b|} \)

Contoh 4 — Luas jajargenjang

Dua vektor memiliki besar 6 cm dan 4 cm, dengan sudut di antaranya 30°. Tentukan luas jajargenjang yang terbentuk.

\( L=6(4)\sin30^\circ \)

\( L=24\left(\frac12\right)=\boxed{12\text{ cm}^2} \)

Jadi, luas jajargenjang adalah 12 cm². Jika yang ditanyakan luas segitiga dengan dua vektor sisi yang sama, luasnya 6 cm².

9. Sifat-Sifat Perkalian Silang

1. Urutan memengaruhi arah

\( \vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a) \)

2. Vektor dengan dirinya sendiri

\( \vec a\times\vec a=\vec 0 \)

3. Dua vektor sejajar

\( \vec a\times\vec b=\vec 0 \)

Jika kedua vektor sejajar atau salah satunya vektor nol, hasil perkalian silang adalah vektor nol.

4. Distributif

\( \vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c \)

10. Latihan dengan Pembahasan

Soal 1

Diketahui \(\vec a=(1,0,0)\) dan \(\vec b=(0,1,0)\). Tentukan \(\vec a\times\vec b\).

\( \vec a\times\vec b=(0,0,1) \)

Hasilnya searah sumbu \(z\) positif.

Soal 2

Diketahui \(\vec a=(2,1,0)\) dan \(\vec b=(1,3,0)\). Hitung hasil perkalian silang.

\( \vec a\times\vec b=(0,0,2(3)-1(1)) \)

\( \boxed{\vec a\times\vec b=(0,0,5)} \)

Soal 3

Dua vektor mempunyai besar 7 dan 4 satuan dengan sudut 90°. Tentukan besar perkalian silang.

\( |\vec a\times\vec b|=7(4)\sin90^\circ=28 \)

Jadi, besar perkalian silang adalah 28 satuan kuadrat jika satuan kedua vektor adalah satuan panjang.

11. Kuis Evaluasi

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu klik Periksa Jawaban.

1. Hasil \((1,0,0)\times(0,1,0)\) adalah ... A. (1, 1, 0) B. (0, 0, 1) C. (0, 1, 0) D. (1, 0, 0)

2. Jika \(\vec a\times\vec b=\vec c\), maka \(\vec b\times\vec a\) adalah ... A. \(\vec c\) B. \(2\vec c\) C. \(-\vec c\) D. \(\vec 0\) untuk semua vektor

3. Jika \(|\vec a|=3\), \(|\vec b|=4\), dan sudutnya 90°, besar \(|\vec a\times\vec b|\) adalah ... A. 0 B. 7 C. 12 D. 24

4. Luas jajargenjang yang dibentuk oleh dua vektor dengan besar perkalian silang 18 adalah ... A. 9 satuan luas B. 18 satuan luas C. 36 satuan luas D. 0 satuan luas

5. Jika dua vektor sejajar, hasil perkalian silangnya adalah ... A. Vektor satuan B. Selalu bernilai 1 C. Vektor nol D. Selalu sama dengan hasil dot product

12. Rangkuman

• Perkalian silang ditulis \(\vec a\times\vec b\) dan menghasilkan vektor.
• Hasilnya tegak lurus terhadap kedua vektor asal.
• Besar hasilnya adalah \(|\vec a||\vec b|\sin\theta\).
• Arah hasil ditentukan dengan kaidah tangan kanan.
• Urutan vektor penting: \(\vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a)\).
• Besar perkalian silang dapat digunakan untuk menghitung luas jajargenjang dan segitiga.

Refleksi: Jika \(\vec a\) dan \(\vec b\) tidak nol dan saling tegak lurus, mengapa besar perkalian silang sama dengan hasil kali besar kedua vektor?

Kelas-Matematika • Materi Vektor SMA • Paket 7