Navigasi Materi

📚 PILIH MATERI
Bilangan Aljabar Geometri Data & Peluang Soal & Latihan STEM & Robotik Calculus Game Laboratorium Matematika

Vektor #4 : Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

MATEMATIKA SMA

PAKET 4 — VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

Menjelajahi vektor pada sumbu x, y, dan z, menentukan koordinat, panjang vektor, serta melakukan operasi vektor dalam ruang.

Konsep • Visualisasi 3D • Contoh Soal • Eksplorasi • Latihan • Kuis

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari paket ini, siswa mampu:

  • Menjelaskan koordinat titik dalam ruang tiga dimensi.
  • Menentukan komponen vektor dari dua titik di ruang.
  • Menentukan vektor posisi tiga dimensi.
  • Menghitung panjang vektor dalam ruang.
  • Melakukan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar pada vektor 3D.

1. Mengenal Ruang Tiga Dimensi

Pada bidang dua dimensi, posisi titik dinyatakan menggunakan dua koordinat, yaitu (x,y). Dalam ruang tiga dimensi, posisi titik membutuhkan tiga koordinat, yaitu (x,y,z).

P = (x, y, z)

Ketiga koordinat menunjukkan posisi titik pada tiga arah yang saling tegak lurus.

x y z O P(x,y,z) OP Skema perspektif ruang tiga dimensi

Ilustrasi perspektif: sumbu x, y, dan z mewakili tiga arah koordinat yang berbeda.

Sumbu x

Menunjukkan arah horizontal pada sistem koordinat.

Sumbu y

Menunjukkan arah koordinat kedua, tegak lurus sumbu x.

Sumbu z

Menunjukkan arah koordinat ketiga, tegak lurus terhadap bidang xy.

Titik asal

O(0,0,0) adalah titik perpotongan ketiga sumbu.

Catatan: Gambar tiga dimensi di kertas atau layar merupakan proyeksi perspektif. Ketiga sumbu tetap merepresentasikan arah yang saling tegak lurus, walaupun tampak miring pada gambar.

2. Komponen Vektor dalam Ruang

Vektor tiga dimensi mempunyai tiga komponen. Komponen pertama menyatakan perubahan pada sumbu x, komponen kedua pada sumbu y, dan komponen ketiga pada sumbu z.

a = (a₁, a₂, a₃)

Vektor ini juga dapat ditulis:

a = a₁i + a₂j + a₃k

Dengan i, j, dan k masing-masing merupakan vektor satuan pada arah positif sumbu x, y, dan z.

Contoh soal

Diketahui titik A(1,2,3) dan B(5,4,8). Tentukan vektor AB.

Langkah 1. Kurangkan koordinat x.

5 − 1 = 4

Langkah 2. Kurangkan koordinat y.

4 − 2 = 2

Langkah 3. Kurangkan koordinat z.

8 − 3 = 5

Langkah 4. Gabungkan hasilnya.

AB = (4, 2, 5)
Rumus umum: Jika A(x₁,y₁,z₁) dan B(x₂,y₂,z₂), maka
AB = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)

3. Vektor Posisi dalam Ruang

Vektor posisi suatu titik adalah vektor yang pangkalnya di titik asal O(0,0,0) dan ujungnya berada pada titik tersebut.

Jika titik P memiliki koordinat (x,y,z), maka:

OP = (x, y, z)

Contoh soal

Tentukan vektor posisi titik P(−2,3,5).

OP = (−2, 3, 5)

Artinya, koordinat titik P mempunyai komponen x negatif, sedangkan komponen y dan z positif.

Vektor posisi langsung diperoleh dari koordinat titik karena titik pangkalnya adalah O(0,0,0). Tidak perlu melakukan pengurangan koordinat selain mengurangkan titik asal, yang semuanya bernilai nol.

4. Panjang Vektor dalam Ruang

Panjang vektor tiga dimensi diperoleh dengan memperluas Teorema Pythagoras ke tiga komponen.

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Contoh soal

Diketahui a = (2,3,6). Tentukan panjang vektor a.

Langkah 1. Kuadratkan setiap komponen.

2² = 4, 3² = 9, 6² = 36

Langkah 2. Jumlahkan hasilnya.

4 + 9 + 36 = 49

Langkah 3. Ambil akar kuadrat.

|a| = √49 = 7

Jadi, panjang vektor a adalah 7 satuan.

Panjang vektor antara dua titik

Jika A dan B adalah dua titik dalam ruang, maka:

|AB| = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]

Contoh soal

Diketahui A(1,2,1) dan B(4,6,13). Tentukan panjang AB.

AB = (4−1, 6−2, 13−1) = (3,4,12)
|AB| = √(3²+4²+12²)
= √(9+16+144) = √169 = 13

Jadi, panjang AB adalah 13 satuan.

5. Eksplorasi Vektor 3D

Geser komponen x, y, dan z. Amati perubahan panjang vektor ketika masing-masing komponen berubah.

x y z O a Skema proyeksi ilustratif, bukan gambar perspektif berskala.
a = (2, 3, 6)
|a| = 7 satuan

Panjang dihitung tepat dengan rumus √(x²+y²+z²). Gambar adalah proyeksi ilustratif agar perubahan koordinat mudah diamati.

6. Operasi Vektor Tiga Dimensi

Operasi vektor tiga dimensi menggunakan aturan yang sama seperti pada dua dimensi, tetapi melibatkan tiga komponen.

A. Penjumlahan

Misalkan a = (1,2,3) dan b = (4,−1,2).

a+b = (1+4, 2+(−1), 3+2)
a+b = (5,1,5)

B. Pengurangan

a−b = (1−4, 2−(−1), 3−2)
a−b = (−3,3,1)

C. Perkalian skalar

Jika a = (1,2,3), maka:

2a = (2,4,6)

Setiap komponen dikalikan dengan 2.

7. Latihan dan Kunci Jawaban

Latihan 1 — Komponen vektor

Diketahui A(2,1,3) dan B(5,4,8). Tentukan AB.

AB = (5−2, 4−1, 8−3) = (3,3,5).

Latihan 2 — Vektor posisi

Tentukan vektor posisi titik P(−2,4,−3).

Karena pangkalnya di titik asal, OP = (−2,4,−3).

Latihan 3 — Panjang vektor

Tentukan panjang vektor a = (2,6,9).

|a| = √(2²+6²+9²) = √(4+36+81) = √121 = 11 satuan.

Latihan 4 — Panjang antara dua titik

Diketahui A(1,2,3) dan B(4,6,15). Tentukan panjang AB.

AB = (3,4,12). Maka |AB| = √(9+16+144) = √169 = 13 satuan.

Latihan 5 — Operasi vektor

Diketahui a = (2,−1,3) dan b = (4,5,−2). Tentukan a+b dan a−b.

a+b = (2+4, −1+5, 3−2) = (6,4,1).

a−b = (2−4, −1−5, 3−(−2)) = (−2,−6,5).

8. Kuis Interaktif

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, kemudian tekan tombol Periksa Nilai.

0 dari 5 soal dijawab

1. Jika A(1,2,3) dan B(5,4,9), maka AB adalah ...

2. Panjang vektor (3,4,12) adalah ...

3. Vektor posisi titik P(−2,3,5) adalah ...

4. Jika a = (1,2,4) dan b = (3,−1,2), maka a+b adalah ...

5. Jika a = (2,−3,4), maka 2a adalah ...

9. Rangkuman Rumus

KonsepRumus
Koordinat titikP = (x,y,z)
Komponen vektor ABAB = (x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁)
Vektor posisiOP = (x,y,z)
Panjang vektor|a| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
Penjumlahana+b = (a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)
Pengurangana−b = (a₁−b₁,a₂−b₂,a₃−b₃)
Perkalian skalarka = (ka₁,ka₂,ka₃)
Ingat: Vektor tiga dimensi mengikuti prinsip operasi vektor dua dimensi, dengan tambahan komponen ketiga, yaitu z.
Selamat, kamu telah menyelesaikan Paket 4!

Kamu sudah mempelajari vektor pada bidang dan ruang. Pada Paket 5, kita akan menerapkan vektor dalam pemecahan masalah, termasuk perpindahan, gaya, navigasi, dan soal kontekstual.