Vektor #3 : Operasi Vektor

MATEMATIKA SMA

PAKET 3 — OPERASI VEKTOR

Menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan vektor dengan skalar serta memahami resultan vektor melalui ilustrasi dan eksplorasi interaktif.

Konsep • Visualisasi • Contoh Soal • Eksplorasi • Latihan • Kuis

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari paket ini, siswa mampu:

Menjumlahkan dua vektor dengan metode komponen.
Mengurangkan dua vektor dan memahami vektor lawan.
Mengalikan vektor dengan bilangan real atau skalar.
Menjelaskan sifat-sifat operasi vektor.
Menentukan resultan dari beberapa vektor sederhana.

1. Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian. Jika dua vektor memiliki arah yang berbeda, komponen horizontal dijumlahkan dengan komponen horizontal, begitu pula komponen vertikal.

Misalkan:

a = (a₁,a₂) dan b = (b₁,b₂)

Maka:

a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂)

Contoh soal

Diketahui a = (2,3) dan b = (4,1). Tentukan a + b.

Langkah 1. Jumlahkan komponen pertama.

2 + 4 = 6

Langkah 2. Jumlahkan komponen kedua.

3 + 1 = 4

Langkah 3. Gabungkan hasilnya.

a + b = (6,4)

Jadi, hasil penjumlahannya adalah (6,4).

Metode segitiga

Secara geometris, pangkal vektor kedua diletakkan pada ujung vektor pertama. Resultan ditarik dari pangkal vektor pertama menuju ujung vektor kedua.

Ilustrasi metode segitiga: a + b menghasilkan vektor resultan dari pangkal a ke ujung b.

2. Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor dapat diubah menjadi penjumlahan dengan vektor lawan. Vektor lawan dari b adalah −b, yaitu vektor dengan besar yang sama tetapi arah berlawanan.

a − b = a + (−b)

Jika b = (b₁,b₂), maka −b = (−b₁,−b₂).

Oleh karena itu:

a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂)

Contoh soal

Diketahui a = (7,5) dan b = (2,3). Tentukan a − b.

a − b = (7−2, 5−3)

a − b = (5,2)

Jadi, hasil pengurangannya adalah (5,2).

Contoh dengan komponen negatif

Diketahui p = (3,−2) dan q = (−1,4). Tentukan p − q.

p − q = (3−(−1), −2−4)

p − q = (4,−6)

Hati-hati dengan tanda negatif! Mengurangkan bilangan negatif sama dengan menambahkan bilangan positif.

Jika b = (2,3), maka −b = (−2,−3). Kedua vektor mempunyai panjang yang sama, tetapi arahnya berlawanan. Dengan demikian, a − b sama dengan a + (−b).

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Skalar adalah bilangan real. Jika vektor dikalikan dengan skalar k, setiap komponennya dikalikan dengan k.

k a = (ka₁, ka₂)

Contoh 1 — Skalar positif

Diketahui a = (2,3). Tentukan 3a.

3a = (3×2, 3×3) = (6,9)

Vektor menjadi tiga kali lebih panjang dan arahnya tetap sama.

Contoh 2 — Skalar negatif

Diketahui b = (2,−4). Tentukan −2b.

−2b = (−2×2, −2×(−4))

−2b = (−4,8)

Panjang vektor menjadi dua kali panjang semula, sedangkan arahnya berbalik.

Nilai k	Pengaruh terhadap vektor
k > 1	Panjang bertambah, arah tetap.
0 < k < 1	Panjang mengecil, arah tetap.
k = 0	Menghasilkan vektor nol.
k < 0	Arah berbalik, panjang menjadi \|k\| kali panjang semula.

4. Sifat-Sifat Operasi Vektor

Penjumlahan vektor mempunyai beberapa sifat penting.

Sifat	Bentuk matematis	Makna
Komutatif	a + b = b + a	Urutan penjumlahan tidak mengubah hasil.
Asosiatif	(a+b)+c = a+(b+c)	Pengelompokan tidak mengubah hasil.
Identitas	a + 0 = a	Vektor nol tidak mengubah vektor.
Lawan	a + (−a) = 0	Vektor dan lawannya menghasilkan vektor nol.
Distributif	k(a+b) = ka+kb	Skalar dapat didistribusikan ke setiap vektor.

Contoh sifat distributif

Diketahui a = (1,2) dan b = (3,4). Buktikan bahwa 2(a+b) = 2a+2b.

Ruas kiri:

2(a+b) = 2(4,6) = (8,12)

Ruas kanan:

2a+2b = (2,4)+(6,8) = (8,12)

Kedua ruas sama, sehingga sifat distributif terbukti untuk contoh ini.

5. Resultan Vektor

Resultan adalah satu vektor yang mewakili gabungan pengaruh beberapa vektor. Resultan dapat dihitung dengan menjumlahkan seluruh komponen vektor.

Jika R = a + b, dengan a = (a₁,a₂) dan b = (b₁,b₂), maka:

R = (a₁+b₁, a₂+b₂)

Contoh soal

Sebuah robot bergerak 4 satuan ke kanan, kemudian 3 satuan ke atas. Tentukan vektor resultan dan panjang perpindahannya.

Langkah 1. Nyatakan kedua perpindahan sebagai vektor.

a = (4,0) dan b = (0,3)

Langkah 2. Jumlahkan kedua vektor.

R = (4,0)+(0,3) = (4,3)

Langkah 3. Hitung panjang resultan.

|R| = √(4²+3²) = 5

Jadi, resultannya adalah (4,3), dengan panjang 5 satuan.

6. Eksplorasi Penjumlahan Vektor

Geser komponen vektor a dan b. Amati bagaimana komponen resultan berubah.

Vektor a

Komponen x: 3 Komponen y: 2

Vektor b

Komponen x: 1 Komponen y: 3

R = (4,5)

|R| = √41 ≈ 6,40 satuan

Warna biru = a, jingga = b, hijau = resultan. Grafik menampilkan ketiga vektor dari titik asal.

7. Latihan dan Kunci Jawaban

Latihan 1 — Penjumlahan

Diketahui a = (3,−2) dan b = (4,5). Tentukan a + b.

a+b = (3+4, −2+5) = (7,3).

Latihan 2 — Pengurangan

Diketahui p = (6,4) dan q = (−2,3). Tentukan p − q.

p−q = (6−(−2), 4−3) = (8,1).

Latihan 3 — Perkalian skalar

Diketahui a = (−3,2). Tentukan −2a.

−2a = (−2×(−3), −2×2) = (6,−4).

Latihan 4 — Resultan

Sebuah robot bergerak dengan vektor a = (5,0), lalu b = (0,12). Tentukan resultan dan panjangnya.

R = (5,0)+(0,12) = (5,12).
|R| = √(5²+12²) = √169 = 13 satuan.

Latihan 5 — Sifat operasi

Jika a = (2,1) dan b = (3,4), tentukan 2(a+b) dan 2a+2b.

2(a+b) = 2(5,5) = (10,10).
2a+2b = (4,2)+(6,8) = (10,10).
Kedua hasil sama, sesuai sifat distributif.

9. Rangkuman Rumus

Operasi	Rumus
Penjumlahan	a+b = (a₁+b₁, a₂+b₂)
Pengurangan	a−b = (a₁−b₁, a₂−b₂)
Vektor lawan	−a = (−a₁,−a₂)
Perkalian skalar	ka = (ka₁,ka₂)
Resultan	R = a+b
Panjang resultan	\|R\| = √(R₁²+R₂²)

Ingat: Operasi vektor dilakukan pada komponen yang bersesuaian. Setelah mendapatkan resultan dalam bentuk komponen, panjang resultan dapat dihitung menggunakan rumus magnitudo.

Selamat, kamu telah menyelesaikan Paket 3 — Operasi Vektor!

Pada Paket 4, kita akan belajar vektor dalam ruang tiga dimensi, meliputi koordinat x, y, z, vektor posisi, panjang vektor ruang, dan operasi vektor tiga dimensi.

Cari Blog Ini

Navigasi Materi