Vektor #2 : Vektor Pada Bidang

MATEMATIKA SMA

PAKET 2 — VEKTOR PADA BIDANG

Mengenal vektor posisi, komponen vektor, koordinat titik, dan panjang vektor pada bidang Cartesius.

Materi • Visualisasi • Contoh Soal • Latihan • Kuis Interaktif

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa mampu:

Menentukan komponen vektor dari dua titik.
Menentukan vektor posisi suatu titik.
Menghitung panjang atau magnitudo vektor.
Menghubungkan komponen vektor dengan perpindahan horizontal dan vertikal.
Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan vektor pada bidang.

1. Vektor pada Bidang Koordinat

Pada bidang Cartesius, sebuah vektor dapat dinyatakan menggunakan dua komponen, yaitu komponen horizontal pada sumbu x dan komponen vertikal pada sumbu y.

Misalnya, vektor berikut mempunyai komponen 4 pada arah x dan 3 pada arah y.

Ilustrasi vektor dengan titik pangkal O(0,0) dan titik ujung (4,3).

a = (4, 3) = 4i + 3j

Artinya, vektor tersebut bergerak 4 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas.

Ingat! Komponen vektor bukan panjang vektornya. Komponen menyatakan perubahan pada masing-masing sumbu, sedangkan panjang vektor dihitung menggunakan kedua komponen tersebut.

2. Menentukan Komponen Vektor dari Dua Titik

Jika diketahui titik awal A(x₁,y₁) dan titik akhir B(x₂,y₂), komponen vektor dari A ke B diperoleh dengan mengurangkan koordinat titik akhir dengan koordinat titik awal.

AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)

Contoh soal

Diketahui A(2,1) dan B(6,4). Tentukan vektor AB.

Langkah 1. Tentukan perubahan koordinat x.

Δx = 6 − 2 = 4

Langkah 2. Tentukan perubahan koordinat y.

Δy = 4 − 1 = 3

Langkah 3. Gabungkan kedua komponen.

AB = (4, 3)

Jadi, vektor AB adalah (4,3). Vektor ini menyatakan perpindahan 4 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas.

Cara alternatif: dari A(2,1) ke B(6,4), koordinat x bertambah 4 dan koordinat y bertambah 3. Karena itu, komponen vektor AB adalah (4,3).

Coba perhatikan arah sebaliknya

Jika arah vektor dibalik, dari B menuju A, maka:

BA = (2 − 6, 1 − 4) = (−4, −3)

Kesimpulan: AB = (4,3), sedangkan BA = (−4,−3). Membalik arah vektor mengubah tanda semua komponennya.

3. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang pangkalnya berada di titik asal O(0,0) dan ujungnya berada pada suatu titik tertentu.

Jika titik P mempunyai koordinat (x,y), maka vektor posisinya adalah:

OP = (x, y) = xi + yj

Contoh soal

Titik P memiliki koordinat P(−3,5). Tentukan vektor posisi OP.

OP = (−3, 5)

Artinya, titik P terletak 3 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atas dari titik asal.

Komponen pertama bernilai negatif karena posisi titik berada di sebelah kiri sumbu y. Komponen kedua bernilai positif karena titik berada di atas sumbu x.

4. Panjang atau Magnitudo Vektor

Panjang vektor adalah jarak lurus dari pangkal ke ujung vektor. Panjang vektor selalu bernilai nol atau positif.

Untuk vektor a = (a₁,a₂), panjang vektornya adalah:

|a| = √(a₁² + a₂²)

Rumus ini berasal dari Teorema Pythagoras karena komponen horizontal dan vertikal saling tegak lurus.

Contoh soal

Diketahui a = (3,4). Tentukan panjang vektor a.

Langkah 1. Kuadratkan kedua komponen.

3² = 9 dan 4² = 16

Langkah 2. Jumlahkan hasilnya.

9 + 16 = 25

Langkah 3. Ambil akar kuadratnya.

|a| = √25 = 5

Jadi, panjang vektor a adalah 5 satuan.

Perhatikan perbedaan notasi:

a = (3,4) menyatakan komponen vektor.
|a| = 5 menyatakan panjang vektor.

5. Eksplorasi Panjang Vektor

Ubah komponen vektor menggunakan penggeser berikut. Amati perubahan komponen dan panjang vektornya.

Komponen x: 3 Komponen y: 4

a = (3, 4)

|a| = 5 satuan

Catatan: grafik menggunakan skala visual yang sama pada kedua sumbu. Panjang dihitung dengan rumus magnitudo.

6. Panjang Vektor dari Dua Titik

Jika vektor berasal dari titik A(x₁,y₁) menuju B(x₂,y₂), maka panjangnya dapat langsung dihitung dengan rumus:

|AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

Contoh soal

Diketahui A(1,2) dan B(7,10). Tentukan panjang AB.

Langkah 1. Tentukan komponen vektor.

AB = (7 − 1, 10 − 2) = (6,8)

Langkah 2. Hitung panjangnya.

|AB| = √(6² + 8²)

= √(36 + 64) = √100 = 10

Jadi, panjang AB adalah 10 satuan.

Gunakan rumus jarak dua titik secara langsung:

|AB| = √[(7−1)² + (10−2)²]

= √(36+64) = √100 = 10 satuan.

7. Latihan dengan Kunci Jawaban

Coba kerjakan sendiri sebelum membuka kunci jawaban.

Latihan 1 — Komponen vektor

Diketahui A(2,3) dan B(8,7). Tentukan AB.

AB = (8−2, 7−3) = (6,4).

Latihan 2 — Vektor posisi

Titik P memiliki koordinat P(−4,−2). Tentukan vektor posisi OP.

Vektor posisi selalu berawal di O(0,0), sehingga OP = (−4,−2).

Latihan 3 — Panjang vektor

Tentukan panjang vektor a = (5,12).

|a| = √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13 satuan.

Latihan 4 — Panjang antara dua titik

Diketahui P(−1,2) dan Q(2,6). Tentukan panjang PQ.

PQ = (2−(−1), 6−2) = (3,4). Maka |PQ| = √(3²+4²) = √25 = 5 satuan.

9. Rangkuman Rumus

Materi	Rumus
Komponen vektor AB	AB = (x₂−x₁, y₂−y₁)
Vektor posisi P	OP = (x,y)
Panjang vektor a	\|a\| = √(a₁²+a₂²)
Panjang AB	\|AB\| = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
Vektor berlawanan arah	BA = −AB

Pesan utama: Tentukan komponen vektor dengan mengurangkan koordinat titik akhir dan titik awal. Untuk menentukan panjang vektor, gunakan Teorema Pythagoras.

Selamat, kamu telah menyelesaikan Paket 2!

Pada Paket 3, kita akan mempelajari operasi vektor: penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan interpretasi geometrisnya.

Cari Blog Ini

Navigasi Materi