Vektor #6 : Perkalian Titik dan Sudut antara Dua Vektor

MATEMATIKA SMA • VEKTOR • PAKET 6

Perkalian Titik dan Sudut antara Dua Vektor

Menentukan hasil perkalian titik, menghitung sudut antara dua vektor, dan memahami syarat dua vektor saling tegak lurus.

Dot Product Sudut Vektor Vektor Tegak Lurus

1. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:

• Menjelaskan pengertian perkalian titik dua vektor.
• Menghitung perkalian titik menggunakan komponen vektor.
• Menentukan sudut antara dua vektor.
• Menentukan apakah dua vektor saling tegak lurus.
• Menyelesaikan masalah sederhana yang menggunakan perkalian titik.

Gagasan utama: Perkalian titik menghubungkan komponen dua vektor dengan sudut di antara keduanya. Hasil perkalian titik berupa skalar, yaitu bilangan, bukan vektor.

2. Apa Itu Perkalian Titik?

Perkalian titik atau dot product adalah operasi antara dua vektor yang menghasilkan sebuah bilangan real. Simbolnya adalah titik di antara dua nama vektor.

\( \vec{a}\cdot\vec{b} \)

Misalkan dua vektor pada bidang adalah:

\( \vec{a}=(a_1,a_2),\quad \vec{b}=(b_1,b_2) \)

Perkalian titiknya dihitung dengan mengalikan komponen yang bersesuaian, kemudian menjumlahkan hasilnya.

\( \boxed{\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2} \)

Untuk vektor dalam ruang tiga dimensi:

\( \boxed{\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3} \)

Jangan tertukar! Perkalian titik bukan perkalian panjang kedua vektor saja. Kita perlu mengalikan komponen yang bersesuaian dan menjumlahkannya.

3. Contoh Menghitung Perkalian Titik

Contoh 1 — Vektor dua dimensi

Diketahui \(\vec{a}=(2,3)\) dan \(\vec{b}=(4,1)\). Tentukan \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).

Kalikan komponen yang bersesuaian, lalu jumlahkan.

\( \vec{a}\cdot\vec{b}=(2)(4)+(3)(1) \)

\( =8+3=\boxed{11} \)

Jadi, hasil perkalian titiknya adalah 11.

Contoh 2 — Vektor tiga dimensi

Diketahui \(\vec{u}=(1,-2,3)\) dan \(\vec{v}=(4,2,1)\). Tentukan \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

\( \vec{u}\cdot\vec{v}=(1)(4)+(-2)(2)+(3)(1) \)

\( =4-4+3=\boxed{3} \)

Jadi, hasil perkalian titiknya adalah 3.

4. Perkalian Titik dan Sudut antara Dua Vektor

Perkalian titik juga dapat dihitung menggunakan besar kedua vektor dan sudut \(\theta\) di antara keduanya.

\( \boxed{\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta} \)

Keterangan:

• \(|\vec{a}|\) adalah besar vektor \(\vec{a}\).
• \(|\vec{b}|\) adalah besar vektor \(\vec{b}\).
• \(\theta\) adalah sudut antara kedua vektor, dengan \(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\).

Bagaimana tanda hasil dot product berkaitan dengan sudut?

Sudut lancip

\(0^\circ\leq\theta<90^\circ\)

\(\cos\theta>0\), sehingga perkalian titik positif jika kedua vektor tidak nol.

Sudut tumpul

\(90^\circ<\theta\leq180^\circ\)

\(\cos\theta<0\), sehingga perkalian titik negatif jika kedua vektor tidak nol.

Sudut siku-siku

\( \theta=90^\circ \)

\(\cos90^\circ=0\), sehingga perkalian titik bernilai nol.

Sudut nol

\( \theta=0^\circ \)

Kedua vektor searah dan perkalian titiknya positif jika keduanya tidak nol.

5. Menentukan Sudut antara Dua Vektor

Dari rumus perkalian titik, kita dapat memperoleh rumus sudut:

\( \boxed{\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}} \)

\( \boxed{\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\right)} \)

Rumus ini dapat digunakan jika kedua vektor bukan vektor nol, sebab vektor nol tidak memiliki arah yang dapat digunakan untuk menentukan sudut.

Contoh 3 — Menghitung sudut

Diketahui \(\vec{a}=(1,0)\) dan \(\vec{b}=(1,1)\). Tentukan sudut antara kedua vektor.

Langkah 1. Hitung perkalian titik.

\( \vec{a}\cdot\vec{b}=(1)(1)+(0)(1)=1 \)

Langkah 2. Hitung besar kedua vektor.

\( |\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2}=1 \)

\( |\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2 \)

Langkah 3. Gunakan rumus sudut.

\( \cos\theta=\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2} \)

\( \theta=\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\boxed{45^\circ} \)

Jadi, sudut antara kedua vektor adalah 45°.

6. Eksplorasi Interaktif: Ubah Komponen Vektor

Geser nilai komponen kedua vektor. Perhatikan bagaimana hasil perkalian titik dan sudutnya berubah. Vektor pertama ditetapkan \(\vec{a}=(3,0)\), sedangkan komponen vektor kedua dapat diubah.

Komponen x vektor b: 2

Komponen y vektor b: 3

Skala gambar: 1 satuan = 21 piksel. Kedua vektor memiliki pangkal yang sama di titik asal.

7. Hubungan Dot Product dengan Vektor Tegak Lurus

Dua vektor bukan nol saling tegak lurus jika sudut di antaranya 90°. Karena \(\cos90^\circ=0\), berlaku:

\( \boxed{\vec{a}\cdot\vec{b}=0} \)

Jika \(\vec{a}=(a_1,a_2)\) dan \(\vec{b}=(b_1,b_2)\), syaratnya adalah:

\( a_1b_1+a_2b_2=0 \)

Contoh 4

Periksa apakah \(\vec{a}=(2,3)\) dan \(\vec{b}=(3,-2)\) saling tegak lurus.

\( \vec{a}\cdot\vec{b}=(2)(3)+(3)(-2) \)

\( =6-6=0 \)

Karena perkalian titiknya nol dan kedua vektor bukan vektor nol, maka kedua vektor saling tegak lurus.

8. Sifat-Sifat Perkalian Titik

1. Komutatif

\( \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a} \)

2. Distributif terhadap penjumlahan

\( \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c} \)

3. Perkalian titik dengan dirinya sendiri

\( \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 \)

4. Perkalian dengan skalar

\( (k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b}) \)

Perhatian: Jika \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\), kedua vektor tidak selalu tegak lurus apabila salah satunya adalah vektor nol. Kesimpulan tegak lurus berlaku untuk dua vektor bukan nol.

9. Latihan dengan Pembahasan

Soal 1

Diketahui \(\vec{p}=(3,4)\) dan \(\vec{q}=(2,-1)\). Hitung \(\vec{p}\cdot\vec{q}\).

\( \vec{p}\cdot\vec{q}=(3)(2)+(4)(-1)=6-4=\boxed{2} \)

Soal 2

Diketahui \(\vec{a}=(1,0)\) dan \(\vec{b}=(0,5)\). Tentukan sudut antara keduanya.

\( \vec{a}\cdot\vec{b}=(1)(0)+(0)(5)=0 \)

Kedua vektor bukan nol dan perkalian titiknya nol, sehingga sudutnya 90°.

Soal 3

Diketahui \(\vec{u}=(1,2)\) dan \(\vec{v}=(2,1)\). Tentukan sudut antara keduanya.

Perkalian titik:

\( \vec{u}\cdot\vec{v}=1(2)+2(1)=4 \)

Besar vektor:

\( |\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt5 \)

Maka:

\( \cos\theta=\frac{4}{\sqrt5\sqrt5}=\frac45 \)

\( \theta=\cos^{-1}(0{,}8)\approx36{,}87^\circ \)

Jadi, sudut antara kedua vektor sekitar 36,87°.

10. Kuis Evaluasi

Pilih satu jawaban untuk setiap soal, lalu klik Periksa Jawaban.

1. Jika \(\vec{a}=(2,3)\) dan \(\vec{b}=(4,1)\), nilai \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) adalah ... A. 7 B. 8 C. 11 D. 14

2. Jika dua vektor bukan nol saling tegak lurus, perkalian titiknya adalah ... A. −1 B. 0 C. 1 D. Selalu positif

3. Jika \(|\vec{a}|=4\), \(|\vec{b}|=5\), dan sudut di antara keduanya 60°, nilai \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) adalah ... A. 0 B. 10 C. 20 D. 40

4. Diketahui \(\vec{a}=(1,0)\) dan \(\vec{b}=(1,1)\). Sudut antara keduanya adalah ... A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

5. Jika \(\vec{u}=(2,3)\) dan \(\vec{v}=(3,-2)\), maka kedua vektor ... A. Sejajar dan searah B. Sejajar dan berlawanan arah C. Tegak lurus D. Sama panjang dan searah

11. Rangkuman

• Perkalian titik menghasilkan skalar, bukan vektor.
• Dalam dua dimensi, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\).
• Dalam tiga dimensi, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).
• Rumus sudut adalah \(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\), untuk kedua vektor bukan nol.
• Dua vektor bukan nol saling tegak lurus jika perkalian titiknya nol.
• Perkalian titik positif berkaitan dengan sudut lancip, sedangkan perkalian titik negatif berkaitan dengan sudut tumpul.

Refleksi: Mengapa perkalian titik dua vektor yang saling tegak lurus selalu bernilai nol? Jelaskan menggunakan rumus \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\).

Kelas-Matematika • Materi Vektor SMA • Paket 6