Statistika #4 (Ukuran Penyebaran Data)

MATEMATIKA SMA • STATISTIKA

PAKET 4
Ukuran Penyebaran Data

Jangkauan, IQR, simpangan rata-rata, varians, dan simpangan baku.

Memahami keragaman data dan membandingkan kestabilan dua kelompok.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan makna ukuran penyebaran data.
2. Menghitung jangkauan dan jangkauan antarkuartil.
3. Menghitung simpangan rata-rata dari mean.
4. Menentukan varians dan simpangan baku data tunggal.
5. Menghitung ukuran penyebaran data berkelompok menggunakan titik tengah kelas.
6. Membandingkan keragaman dua kelompok data dan menafsirkan hasilnya.

Konsep Jangkauan IQR Simpangan Rata-rata Varians Simpangan Baku Data Berkelompok Kalkulator Latihan Kuis

1. Apa Itu Ukuran Penyebaran Data?

Ukuran penyebaran data menunjukkan seberapa jauh nilai-nilai data tersebar. Ukuran ini melengkapi ukuran pemusatan seperti mean dan median.

Kelompok A

48, 49, 50, 51, 52

Nilainya berdekatan dengan rata-rata 50.

Kelompok B

30, 40, 50, 60, 70

Nilainya lebih tersebar, tetapi rata-ratanya juga 50.

Kedua kelompok memiliki mean yang sama, yaitu 50. Namun, kelompok B memiliki penyebaran yang lebih besar. Jadi, mean saja belum cukup untuk menggambarkan karakteristik data.

2. Jangkauan (Range)

Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil dalam kumpulan data.

R = x maksimum − x minimum

Contoh 1

Data waktu tempuh siswa ke sekolah adalah 10, 15, 20, 25, dan 35 menit.

Langkah 1: Tentukan nilai maksimum dan minimum.

Maksimum = 35 menit; minimum = 10 menit.

Langkah 2: Hitung jangkauan.

R = 35 − 10 = 25 menit

Jadi, jangkauannya adalah 25 menit.

Jangkauan hanya menggunakan dua nilai, yaitu minimum dan maksimum. Karena itu, jangkauan sangat mudah dipengaruhi oleh pencilan.

3. Jangkauan Antarkuartil (IQR)

Jangkauan antarkuartil atau interquartile range (IQR) mengukur lebar rentang antara kuartil atas dan kuartil bawah.

IQR = Q₃ − Q₁

IQR menggambarkan penyebaran 50% data bagian tengah dan umumnya lebih tahan terhadap pencilan dibandingkan jangkauan.

Contoh 2

Diketahui Q₁ = 12 dan Q₃ = 28.

IQR = 28 − 12 = 16

Jadi, jangkauan antarkuartil adalah 16.

Perhitungan IQR mengikuti nilai kuartil yang digunakan. Jika metode kuartil berbeda, nilai IQR juga dapat berbeda.

4. Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata adalah rata-rata nilai mutlak selisih setiap data terhadap mean.

Data tunggal
\(\displaystyle SR=\frac{\sum |x_i-\bar{x}|}{n}\)

Keterangan:

• \(x_i\) = nilai data ke-i.
• \(\bar{x}\) = mean.
• \(n\) = banyaknya data.

Tanda mutlak membuat semua simpangan bernilai tidak negatif. Tanpa tanda mutlak, jumlah simpangan terhadap mean akan menjadi nol.

Contoh 3 — Menghitung simpangan rata-rata

Hitung simpangan rata-rata dari data 2, 4, 6, 8, 10.

Langkah 1: Hitung mean.

\(\displaystyle \bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6\)

Langkah 2: Hitung simpangan mutlak setiap nilai terhadap mean.

Data \(x_i\)	\(x_i-\bar{x}\)	\(|x_i-\bar{x}|\)
2	−4	4
4	−2	2
6	0	0
8	2	2
10	4	4
Jumlah	0	12

Langkah 3: Hitung rata-rata simpangan mutlak.

\(\displaystyle SR=\frac{12}{5}=2,4\)

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 2,4.

5. Varians

Varians adalah rata-rata kuadrat selisih setiap nilai terhadap mean. Karena simpangan dikuadratkan, hasilnya tidak negatif.

Varians populasi
\(\displaystyle \sigma^2=\frac{\sum (x_i-\mu)^2}{N}\)

Varians data yang diperlakukan sebagai kumpulan data lengkap
\(\displaystyle \sigma^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}\)

Untuk kumpulan data lengkap yang sedang dideskripsikan, kita membagi jumlah kuadrat simpangan dengan banyak data.

Catatan: jika data adalah sampel yang digunakan untuk memperkirakan varians populasi, salah satu rumus yang umum digunakan membagi jumlah kuadrat simpangan dengan \(n-1\), bukan \(n\). Kedua rumus menjawab tujuan yang berbeda.

Contoh 4 — Menghitung varians

Gunakan data 2, 4, 6, 8, 10. Anggap data tersebut merupakan seluruh kelompok yang sedang dianalisis.

Langkah 1: Mean = 6.

Langkah 2: Hitung kuadrat simpangan.

Data \(x_i\)	\(x_i-\bar{x}\)	\((x_i-\bar{x})^2\)
2	−4	16
4	−2	4
6	0	0
8	2	4
10	4	16
Jumlah	0	40

Langkah 3: Bagi jumlah kuadrat simpangan dengan banyak data.

\(\displaystyle \sigma^2=\frac{40}{5}=8\)

Jadi, varians kumpulan data tersebut adalah 8.

Rumus alternatif varians

Untuk mempermudah perhitungan, varians populasi juga dapat dihitung dengan rumus:

\(\displaystyle \sigma^2=\frac{\sum x_i^2}{N}-\mu^2\)

Dengan demikian, kita dapat menghitung rata-rata kuadrat data, lalu menguranginya dengan kuadrat mean.

Rumus alternatif ini setara secara matematis dengan rumus jumlah kuadrat simpangan, meskipun pembulatan angka pada perhitungan manual dapat menimbulkan selisih kecil.

6. Simpangan Baku

Simpangan baku adalah akar kuadrat varians. Ukuran ini menunjukkan penyebaran data dalam satuan yang sama dengan data asli.

\(\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}\)

Untuk data pada contoh sebelumnya, variansnya adalah 8.

\(\displaystyle \sigma=\sqrt{8}\approx2,83\)

Jadi, simpangan bakunya sekitar 2,83.

Varians

Satuan data dikuadratkan.

Simpangan baku

Satuannya sama dengan data asli.

Contoh 5 — Membandingkan dua kelompok

Dua kelompok memiliki data berikut.

Kelompok A

48, 49, 50, 51, 52

Mean = 50

Kelompok B

30, 40, 50, 60, 70

Mean = 50

Kedua kelompok memiliki mean sama. Namun, simpangan baku kelompok B lebih besar karena nilai-nilainya lebih jauh dari mean.

Kelompok A:

\(\sigma_A^2=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2\)

\(\sigma_A=\sqrt{2}\approx1,41\)

Kelompok B:

\(\sigma_B^2=\frac{400+100+0+100+400}{5}=200\)

\(\sigma_B=\sqrt{200}\approx14,14\)

Jadi, kelompok B memiliki penyebaran data yang jauh lebih besar.

7. Hubungan Simpangan dan Mean

Perhatikan data 4, 6, 8.

Mean-nya adalah 6. Jika setiap data dikurangi 6, diperoleh −2, 0, 2. Jumlah simpangan bertanda adalah nol.

(−2) + 0 + 2 = 0

Karena itu, penyebaran tidak diukur dengan menjumlahkan simpangan bertanda secara langsung. Simpangan rata-rata menggunakan nilai mutlak, sedangkan varians menggunakan kuadrat simpangan.

Simpangan rata-rata

Menggunakan nilai mutlak selisih dari mean.

Varians

Menggunakan kuadrat selisih dari mean.

8. Ukuran Penyebaran Data Berkelompok

Untuk data berkelompok, titik tengah kelas digunakan sebagai wakil nilai dalam setiap interval. Hasil ukuran penyebarannya merupakan perkiraan.

Interval	Frekuensi \(f\)	Titik tengah \(x_i\)
40–49	2	44,5
50–59	4	54,5
60–69	4	64,5
70–79	2	74,5
Jumlah	12

A. Mean data berkelompok

\(\displaystyle \bar{x}\approx\frac{\sum fx_i}{\sum f}\)

\(\displaystyle \bar{x}\approx\frac{2(44,5)+4(54,5)+4(64,5)+2(74,5)}{12}\)

\(\displaystyle \bar{x}\approx\frac{718}{12}=59,83\)

B. Varians data berkelompok

Untuk kumpulan data lengkap yang diringkas dengan titik tengah kelas:

\(\displaystyle \sigma^2\approx\frac{\sum f(x_i-\bar{x})^2}{\sum f}\)

Alternatif perhitungan:

\(\displaystyle \sigma^2\approx\frac{\sum fx_i^2}{\sum f}-\bar{x}^2\)

Langkah 1: Hitung jumlah hasil kali frekuensi dengan kuadrat titik tengah.

\(\sum fx_i^2=2(44,5^2)+4(54,5^2)+4(64,5^2)+2(74,5^2)=43857\)

Langkah 2: Hitung varians.

\(\displaystyle \sigma^2\approx\frac{43857}{12}-\left(\frac{718}{12}\right)^2\)

\(\sigma^2\approx85,14\)

C. Simpangan baku

\(\sigma\approx\sqrt{85,14}\approx9,23\)

Jadi, simpangan baku perkiraan data berkelompok tersebut sekitar 9,23.

Nilai ini adalah pendekatan karena setiap data dalam interval diwakili oleh titik tengahnya. Varians dan simpangan baku dari data asli dapat berbeda.

Rumus ringkas data berkelompok

\(\displaystyle SR\approx\frac{\sum f|x_i-\bar{x}|}{\sum f}\)

\(\displaystyle \sigma^2\approx\frac{\sum f(x_i-\bar{x})^2}{\sum f}\)

\(\displaystyle \sigma\approx\sqrt{\sigma^2}\)

Semua rumus tersebut menggunakan titik tengah kelas \(x_i\) sebagai wakil nilai di dalam interval.

9. Kalkulator Ukuran Penyebaran

Masukkan data numerik yang dipisahkan dengan koma. Kalkulator menghitung jangkauan, simpangan rata-rata, varians populasi, simpangan baku populasi, serta IQR dengan metode kuartil yang digunakan pada Paket 3.

Masukkan data

Kalkulator menggunakan varians populasi, yaitu membagi jumlah kuadrat simpangan dengan n. Ini bukan rumus varians sampel dengan penyebut n − 1.

10. Latihan Mandiri

Soal 1 — Jangkauan

Data: 12, 18, 20, 25, 31. Tentukan jangkauannya.

Nilai maksimum = 31 dan minimum = 12.

R = 31 − 12 = 19

Jawaban: 19.

Soal 2 — IQR

Diketahui Q₁ = 15 dan Q₃ = 35. Hitung IQR.

IQR = Q₃ − Q₁ = 35 − 15 = 20

Jawaban: 20.

Soal 3 — Simpangan rata-rata

Hitung simpangan rata-rata dari data 3, 5, 7.

Mean = (3 + 5 + 7) ÷ 3 = 5.

Simpangan mutlak: |3 − 5| = 2, |5 − 5| = 0, |7 − 5| = 2.

SR = (2 + 0 + 2) ÷ 3 = 4/3 ≈ 1,33

Jawaban: sekitar 1,33.

Soal 4 — Varians dan simpangan baku

Data 2, 4, 6 memiliki mean 4. Hitung varians populasi dan simpangan bakunya.

Kuadrat simpangan: (2 − 4)² = 4, (4 − 4)² = 0, dan (6 − 4)² = 4.

\(\displaystyle \sigma^2=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}\approx2,67\)

\(\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1,63\)

Jawaban: varians ≈ 2,67 dan simpangan baku ≈ 1,63.

Soal 5 — Membandingkan keragaman

Dua kelompok memiliki mean yang sama. Simpangan baku kelompok A adalah 3, sedangkan kelompok B adalah 8. Kelompok mana yang lebih menyebar?

Kelompok B lebih menyebar karena simpangan bakunya lebih besar, yaitu 8 dibandingkan 3. Nilai-nilainya secara umum lebih jauh dari mean.

Soal 6 — Varians data berkelompok

Untuk suatu distribusi frekuensi, diketahui jumlah frekuensi 10, jumlah hasil kali frekuensi dengan titik tengah 600, dan jumlah hasil kali frekuensi dengan kuadrat titik tengah 36.500. Hitung perkiraan mean dan varians populasi data berkelompok tersebut.

Mean = 600 ÷ 10 = 60.

Varians = (36.500 ÷ 10) − 60².

\(\sigma^2\approx3650-3600=50\)

Jawaban: mean = 60 dan varians perkiraan = 50.

11. Kuis Interaktif

Pilih jawaban yang paling tepat, kemudian klik Periksa Nilai.

1. Jangkauan data 5, 10, 15, 20 adalah ....

10 15 20

2. Jika Q₁ = 10 dan Q₃ = 25, maka IQR adalah ....

15 25 35

3. Simpangan rata-rata dihitung menggunakan ....

kuadrat data saja jumlah simpangan bertanda nilai mutlak simpangan dari mean

4. Varians populasi dihitung dengan membagi jumlah kuadrat simpangan dengan ....

n − 1 n nilai maksimum

5. Simpangan baku diperoleh dengan ....

mengambil akar kuadrat varians mengalikan varians dengan mean menambahkan varians dan median

6. Jika varians populasi adalah 25, simpangan bakunya adalah ....

625 12,5 5

7. Ukuran penyebaran yang menggunakan kuadrat simpangan adalah ....

jangkauan varians median

8. Dua kelompok memiliki mean sama. Kelompok A memiliki simpangan baku 2, sedangkan kelompok B 7. Kelompok yang lebih menyebar adalah ....

kelompok B kelompok A keduanya pasti sama

9. Ukuran yang umumnya lebih tahan terhadap pencilan adalah ....

jangkauan nilai maksimum IQR

10. Perhitungan varians data berkelompok dengan titik tengah kelas menghasilkan ....

selalu varians eksak data asli perkiraan varians selalu nol

12. Rangkuman

• Jangkauan adalah nilai maksimum dikurangi nilai minimum.
• IQR = Q₃ − Q₁, yang mengukur penyebaran 50% data tengah.
• Simpangan rata-rata menggunakan rata-rata nilai mutlak simpangan terhadap mean.
• Varians populasi adalah rata-rata kuadrat simpangan terhadap mean.
• Simpangan baku adalah akar kuadrat varians dan memiliki satuan yang sama dengan data.
• Varians sampel dengan penyebut n − 1 digunakan untuk tujuan estimasi populasi, berbeda dari varians populasi dengan penyebut n.
• Untuk data berkelompok, titik tengah kelas digunakan sebagai wakil nilai sehingga hasil ukuran penyebaran bersifat perkiraan.
• Ukuran penyebaran perlu dibaca bersama ukuran pemusatan agar gambaran data lebih lengkap.

Pusat data belum menceritakan semuanya!

Dengan ukuran penyebaran, kita bisa melihat apakah nilai-nilai berdekatan, beragam, atau memiliki pencilan yang perlu diperiksa lebih lanjut.