Statistika #3 (Ukuran Letak Data)

MATEMATIKA SMA • STATISTIKA

PAKET 3
Ukuran Letak Data

Kuartil, desil, persentil, dan diagram kotak-garis (*box plot*).

Memahami posisi nilai serta sebaran data secara numerik dan visual.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan makna kuartil, desil, dan persentil.
2. Menentukan kuartil data tunggal dengan metode yang dinyatakan secara jelas.
3. Menentukan posisi desil dan persentil serta menafsirkan hasilnya.
4. Menghitung ukuran letak data berkelompok menggunakan rumus yang sesuai.
5. Membuat dan membaca diagram kotak-garis.
6. Mengidentifikasi kemungkinan pencilan menggunakan aturan IQR.

Konsep Kuartil Desil Persentil Data Berkelompok Box Plot Kalkulator Latihan Kuis

1. Memahami Ukuran Letak Data

Ukuran letak data menunjukkan posisi suatu nilai dalam kumpulan data yang telah diurutkan. Ukuran ini membantu kita memahami bagaimana data tersebar dan bagaimana suatu nilai dibandingkan dengan nilai lainnya.

Kuartil

Membagi data terurut menjadi empat bagian.

Desil

Membagi data terurut menjadi sepuluh bagian.

Persentil

Membagi data terurut menjadi seratus bagian.

Prinsip utama: urutkan data dari nilai terkecil ke terbesar sebelum menentukan ukuran letaknya.

2. Kuartil Data Tunggal

Kuartil terdiri atas tiga nilai yang membagi data terurut menjadi empat bagian:

• Q₁ (kuartil bawah): kuartil pertama.
• Q₂ (kuartil tengah): median data.
• Q₃ (kuartil atas): kuartil ketiga.

Bagian	Makna umum
Q₁	Sekitar 25% data berada pada atau di bawah Q₁.
Q₂	Sekitar 50% data berada pada atau di bawah Q₂.
Q₃	Sekitar 75% data berada pada atau di bawah Q₃.

Catatan penting: terdapat beberapa konvensi untuk menentukan kuartil data tunggal. Pada contoh utama paket ini, Q₁ ditentukan sebagai median separuh bawah, Q₂ sebagai median seluruh data, dan Q₃ sebagai median separuh atas. Jika banyak data ganjil, median keseluruhan tidak disertakan kembali ke dalam kedua separuh data.

Contoh 1 — Data berjumlah ganjil

Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data berikut:

4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 17

Langkah 1: Data sudah terurut. Ada 9 nilai.

Langkah 2: Tentukan Q₂, yaitu median seluruh data.

Q₂ = 10

Nilai 10 berada di posisi kelima.

Langkah 3: Tentukan separuh bawah tanpa median keseluruhan.

4, 6, 7, 8

Median separuh bawah adalah:

Q₁ = 6 + 72 = 6,5

Langkah 4: Tentukan separuh atas.

12, 13, 15, 17

Median separuh atas adalah:

Q₃ = 13 + 152 = 14

Hasil: Q₁ = 6,5; Q₂ = 10; Q₃ = 14.

Contoh 2 — Data berjumlah genap

Tentukan kuartil data berikut:

2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14

Langkah 1: Median seluruh data adalah rata-rata nilai keempat dan kelima.

Q₂ = 7 + 82 = 7,5

Langkah 2: Separuh bawah adalah 2, 4, 5, 7.

Q₁ = 4 + 52 = 4,5

Langkah 3: Separuh atas adalah 8, 10, 12, 14.

Q₃ = 10 + 122 = 11

Jadi, Q₁ = 4,5; Q₂ = 7,5; dan Q₃ = 11.

3. Desil Data Tunggal

Desil membagi data terurut menjadi sepuluh bagian. Desil ke-k dinyatakan sebagai Dₖ, dengan k = 1, 2, ..., 9.

Dalam salah satu metode yang umum digunakan, posisi desil dihitung dengan:

Posisi Dₖ = k(n + 1)10

Jika posisi berupa bilangan bulat, ambil nilai pada posisi tersebut. Jika posisi berada di antara dua data, metode interpolasi dapat digunakan.

Rumus posisi ini adalah salah satu konvensi. Buku atau kurikulum tertentu mungkin memakai metode lain. Selalu ikuti metode yang ditentukan dalam soal.

Contoh 3 — Menentukan D₃

Tentukan D₃ dari data:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

Langkah 1: Banyak data n = 9.

Langkah 2: Hitung posisi D₃.

Posisi D₃ = 3(9 + 1)10 = 3

Langkah 3: Ambil nilai pada posisi ketiga.

Jadi, D₃ = 30.

Contoh 4 — Posisi desil di antara dua data

Gunakan data 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. Tentukan D₃ dengan interpolasi linear.

Langkah 1: Hitung posisi.

Posisi D₃ = 3(8 + 1)10 = 2,7

Langkah 2: Posisi 2,7 berada di antara data ke-2 dan ke-3, yaitu 20 dan 30.

Langkah 3: Ambil 70% jarak dari 20 menuju 30.

D₃ = 20 + 0,7(30 − 20) = 27

Jadi, menurut metode interpolasi ini, D₃ = 27.

4. Persentil Data Tunggal

Persentil membagi data terurut menjadi seratus bagian. Persentil ke-k dinyatakan dengan Pₖ.

Posisi Pₖ = k(n + 1)100

Seperti desil, rumus ini merupakan salah satu konvensi. Jika posisi tidak bulat, hasil dapat ditentukan menggunakan interpolasi sesuai metode yang dipakai.

Contoh 5 — Persentil ke-60

Gunakan data:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

Langkah 1: Banyak data n = 9.

Langkah 2: Hitung posisi P₆₀.

Posisi P₆₀ = 60(9 + 1)100 = 6

Langkah 3: Nilai pada posisi keenam adalah 60.

Jadi, P₆₀ = 60 menurut metode ini.

Memahami persentil dalam kehidupan sehari-hari

Misalnya, seseorang berada pada persentil ke-80 dalam suatu tes. Secara umum, posisinya lebih tinggi daripada sekitar 80% peserta pada kelompok pembanding, bergantung pada definisi dan metode perhitungan yang digunakan.

Persentil ke-80 bukan berarti orang tersebut memperoleh nilai 80 dari 100. Persentil menunjukkan posisi relatif, bukan nilai ujian itu sendiri.

5. Ukuran Letak Data Berkelompok

Jika data disajikan dalam interval kelas, kuartil, desil, dan persentil dapat diperkirakan dengan rumus data berkelompok.

Qₖ = L + kn/4 − Ff c

Dₖ = L + kn/10 − Ff c

Pₖ = L + kn/100 − Ff c

Keterangan:

• L = tepi bawah kelas tempat ukuran letak berada.
• n = jumlah seluruh frekuensi.
• F = frekuensi kumulatif sebelum kelas tersebut.
• f = frekuensi kelas yang memuat ukuran letak.
• c = panjang interval kelas.

Rumus ini memberikan perkiraan berdasarkan distribusi dalam kelas. Hasilnya dapat berbeda dari ukuran letak yang dihitung menggunakan seluruh data asli.

Contoh 6 — Menentukan Q₁ data berkelompok

Perhatikan distribusi nilai 40 siswa berikut.

Interval nilai	Frekuensi	Frekuensi kumulatif
40–49	4	4
50–59	6	10
60–69	10	20
70–79	12	32
80–89	8	40

Langkah 1: Tentukan posisi Q₁.

Posisi Q₁ = 404 = 10

Langkah 2: Tentukan kelas kuartil. Dengan aturan posisi yang digunakan di sini, kelas pertama yang frekuensi kumulatifnya mencapai atau melebihi posisi 10 adalah 50–59.

Dengan demikian, L = 49,5; F = 4; f = 6; dan c = 10.

Langkah 3: Substitusikan ke rumus.

Q₁ = 49,5 + 10 − 46 × 10

Q₁ = 49,5 + 10 = 59,5

Jadi, perkiraan Q₁ adalah 59,5.

6. Jangkauan Antarkuartil dan Pencilan

Jangkauan antarkuartil atau interquartile range (IQR) mengukur lebar sebaran 50% data bagian tengah.

IQR = Q₃ − Q₁

Misalnya Q₁ = 6,5 dan Q₃ = 14.

IQR = 14 − 6,5 = 7,5

IQR yang lebih besar umumnya menunjukkan bahwa bagian tengah data lebih tersebar.

Aturan pagar pencilan

Pagar bawah = Q₁ − 1,5 × IQR

Pagar atas = Q₃ + 1,5 × IQR

Nilai di bawah pagar bawah atau di atas pagar atas dapat ditandai sebagai calon pencilan.

Pencilan tidak otomatis merupakan kesalahan data. Nilai tersebut perlu diperiksa dan dipahami berdasarkan konteksnya.

7. Diagram Kotak-Garis (Box Plot)

Box plot merangkum distribusi data menggunakan lima angka:

1. Nilai minimum yang bukan pencilan.
2. Q₁.
3. Median (Q₂).
4. Q₃.
5. Nilai maksimum yang bukan pencilan.

Dalam box plot standar yang menggunakan aturan 1,5 × IQR, ujung garis (*whisker*) berakhir pada nilai terendah dan tertinggi yang masih berada di dalam pagar. Pencilan dapat ditampilkan sebagai titik terpisah.

Bagian kotak dari Q₁ sampai Q₃ berisi sekitar 50% data tengah. Garis di dalam kotak menunjukkan median.

Contoh 7 — Membaca box plot dari lima angka

Suatu data memiliki ringkasan lima angka berikut:

Ukuran	Nilai
Minimum	10
Q₁	20
Median	30
Q₃	45
Maksimum	60

Jangkauan: 60 − 10 = 50.

IQR: 45 − 20 = 25.

Interpretasi: sekitar 50% data tengah berada antara 20 dan 45. Median sebesar 30 membagi data menjadi dua bagian berdasarkan posisi.

8. Eksplorasi Box Plot

Geser nilai Q₁, median, dan Q₃ untuk melihat bagaimana kotak berubah. Nilai harus tetap berurutan.

Q₁: 20 Median: 30 Q₃: 45

Ilustrasi menggunakan minimum 10 dan maksimum 90. Garis-garisnya menunjukkan posisi relatif, bukan data mentah.

9. Kalkulator Kuartil Data Tunggal

Masukkan data numerik yang dipisahkan dengan koma. Kalkulator menggunakan metode median separuh bawah dan separuh atas, tanpa memasukkan kembali median keseluruhan jika jumlah data ganjil.

Data

Kalkulator ini menghitung Q₁, median, Q₃, IQR, dan pagar pencilan. Hasil kuartil mengikuti konvensi yang dijelaskan dalam materi.

10. Latihan Mandiri

Soal 1 — Kuartil data tunggal

Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14.

Median keseluruhan adalah nilai keempat, yaitu Q₂ = 8.

Separuh bawah: 3, 5, 7. Maka Q₁ = 5.

Separuh atas: 10, 12, 14. Maka Q₃ = 12.

Jawaban: Q₁ = 5, Q₂ = 8, Q₃ = 12.

Soal 2 — Kuartil data genap

Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.

Q₂ = (8 + 10) ÷ 2 = 9.

Separuh bawah: 2, 4, 6, 8. Q₁ = (4 + 6) ÷ 2 = 5.

Separuh atas: 10, 12, 14, 16. Q₃ = (12 + 14) ÷ 2 = 13.

Jawaban: Q₁ = 5, Q₂ = 9, Q₃ = 13.

Soal 3 — Desil

Data terurut terdiri atas 9 nilai: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Tentukan D₇ menggunakan rumus posisi k(n + 1)/10.

Posisi D₇ = 7(9 + 1)/10 = 7.

Nilai pada posisi ketujuh adalah 70.

Jawaban: D₇ = 70.

Soal 4 — Persentil

Data terurut terdiri atas 9 nilai: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Tentukan P₄₀ menggunakan rumus posisi k(n + 1)/100.

Posisi P₄₀ = 40(9 + 1)/100 = 4.

Nilai pada posisi keempat adalah 40.

Jawaban: P₄₀ = 40.

Soal 5 — IQR dan pencilan

Diketahui Q₁ = 12 dan Q₃ = 28. Tentukan IQR, pagar bawah, dan pagar atas.

IQR = 28 − 12 = 16.

Pagar bawah = 12 − 1,5(16) = 12 − 24 = −12.

Pagar atas = 28 + 1,5(16) = 28 + 24 = 52.

Jawaban: IQR = 16, pagar bawah = −12, pagar atas = 52. Nilai di luar rentang pagar tersebut merupakan calon pencilan.

Soal 6 — Interpretasi box plot

Suatu box plot memiliki Q₁ = 25, median = 40, dan Q₃ = 55. Berapa IQR-nya dan bagaimana maknanya?

IQR = 55 − 25 = 30.

Artinya, rentang dari kuartil bawah sampai kuartil atas adalah 30 satuan dan mencakup sekitar 50% data tengah.

11. Kuis Interaktif

Pilih satu jawaban yang paling tepat, lalu klik Periksa Nilai.

1. Kuartil kedua (Q₂) sama dengan ....

mean median modus

2. Q₁ dari data 2, 4, 6, 8, 10 adalah ....

4 6 8

3. Kuartil membagi data terurut menjadi ....

dua bagian sepuluh bagian empat bagian

4. D₄ dari data 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 dengan rumus posisi k(n+1)/10 adalah ....

30 40 50

5. Persentil ke-50 secara umum berkaitan dengan ....

median nilai maksimum nilai minimum

6. Jika Q₁ = 15 dan Q₃ = 35, nilai IQR adalah ....

15 35 20

7. Bagian tengah kotak pada box plot menunjukkan ....

mean dan modus Q₁ sampai Q₃ minimum sampai maksimum seluruh data tanpa pengecualian

8. Aturan 1,5 × IQR digunakan untuk membantu mengidentifikasi ....

calon pencilan rata-rata gabungan modus data kategori

9. Rumus posisi persentil pada metode yang dibahas adalah ....

k(n+1)/4 k(n+1)/10 k(n+1)/100

10. Hasil ukuran letak data berkelompok umumnya merupakan ....

selalu nilai eksak setiap data asli perkiraan berdasarkan distribusi frekuensi selalu sama dengan modus

12. Rangkuman

• Kuartil membagi data terurut menjadi empat bagian; Q₂ adalah median.
• Desil membagi data menjadi sepuluh bagian.
• Persentil membagi data menjadi seratus bagian.
• Metode penentuan posisi untuk data tunggal dapat berbeda. Nyatakan konvensi yang digunakan.
• Untuk data berkelompok, ukuran letak dihitung menggunakan tepi bawah kelas, frekuensi kumulatif, frekuensi kelas, dan panjang kelas.
• Box plot menyajikan ringkasan lima angka dan membantu melihat sebaran data.
• IQR = Q₃ − Q₁ mengukur rentang 50% data tengah.
• Aturan 1,5 × IQR membantu menandai calon pencilan, bukan otomatis menentukan bahwa suatu data salah.

Posisi juga bercerita!

Dengan kuartil, desil, persentil, dan box plot, kita dapat melihat bukan hanya nilai data, tetapi juga posisi dan pola sebarannya.