Statistika #2 (Ukuran Pemusatan Data)

MATEMATIKA SMA • STATISTIKA

PAKET 2
Ukuran Pemusatan Data

Mean, median, modus, rata-rata gabungan, dan rata-rata tertimbang.

Memahami pusat data dan memilih ukuran yang tepat untuk suatu keadaan.

Tujuan Pembelajaran

Setelah belajar, siswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan arti mean, median, dan modus.
2. Menghitung ukuran pemusatan data tunggal.
3. Menghitung mean dan median dari tabel frekuensi.
4. Menentukan mean, median, dan modus data berkelompok dengan rumus yang sesuai.
5. Menghitung rata-rata gabungan dan rata-rata tertimbang.
6. Menentukan ukuran pemusatan yang tepat berdasarkan konteks.

Mean Median Modus Tabel Frekuensi Data Berkelompok Gabungan Latihan Kuis

1. Apa Itu Ukuran Pemusatan Data?

Ukuran pemusatan data adalah ukuran yang digunakan untuk menggambarkan nilai pusat atau nilai yang mewakili suatu kumpulan data.

Mean

Rata-rata aritmetika seluruh nilai data.

Median

Nilai tengah setelah data diurutkan.

Modus

Nilai atau kategori yang paling sering muncul.

Ketiga ukuran ini tidak selalu sama. Pilihan ukuran yang tepat bergantung pada bentuk data, keberadaan pencilan, dan tujuan analisis.

2. Mean (Rata-Rata)

Mean diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai data, kemudian membaginya dengan banyaknya data.

Mean data tunggal
\( \displaystyle \bar{x}=\frac{\sum x_i}{n} \)

Keterangan:

• \(\bar{x}\) adalah mean atau rata-rata.
• \(\sum x_i\) adalah jumlah seluruh nilai data.
• \(n\) adalah banyaknya data.

Contoh 1 — Rata-rata nilai ulangan

Nilai lima siswa adalah 70, 80, 75, 90, dan 85. Tentukan rata-ratanya.

Langkah 1: Jumlahkan semua nilai.

70 + 80 + 75 + 90 + 85 = 400

Langkah 2: Bagi jumlah nilai dengan banyaknya siswa.

\(\bar{x}=\frac{400}{5}=80\)

Jadi, rata-rata nilai kelima siswa adalah 80.

Eksplorasi mean

Ubah nilai salah satu siswa dan amati perubahan rata-ratanya.

Nilai siswa 1

Nilai yang dipilih: 70

7080759085

Jumlah nilai: 400
Rata-rata baru: 80

Geser pengatur nilai. Empat nilai lainnya tetap.

Sifat penting mean

• Mean menggunakan seluruh nilai data.
• Mean dapat berupa bilangan desimal meskipun seluruh data berupa bilangan bulat.
• Mean sensitif terhadap nilai yang sangat besar atau sangat kecil dibandingkan sebagian besar data.

Contoh 2 — Pengaruh pencilan

Perhatikan dua kelompok data berikut.

Kelompok A

6, 7, 8, 9, 10

Mean = 8

Kelompok B

6, 7, 8, 9, 50

Mean = 16

Nilai 50 menaikkan rata-rata kelompok B. Karena itu, jika data memiliki pencilan yang jauh dari nilai lainnya, median sering menjadi ukuran pusat yang lebih representatif.

3. Median (Nilai Tengah)

Median adalah nilai yang berada di tengah setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar.

Langkah pertama selalu sama: urutkan data. Jangan menentukan median dari data yang belum diurutkan.

A. Banyak data ganjil

Jika banyak data \(n\) ganjil, posisi median adalah:

Posisi median = \(\frac{n+1}{2}\)

Contoh: 4, 7, 8, 10, 12.

4781012

Ada 5 data, sehingga posisi median adalah \((5+1)/2=3\). Median = 8.

B. Banyak data genap

Jika banyak data \(n\) genap, median adalah rata-rata dua nilai tengah.

Median = \(\frac{\text{nilai tengah ke-1}+\text{nilai tengah ke-2}}{2}\)

Contoh: 3, 5, 7, 9, 11, 13.

35791113

Median = \(\frac{7+9}{2}=8\)

Jadi, mediannya adalah 8, meskipun angka 8 tidak muncul dalam data.

Contoh 3 — Median dalam konteks

Waktu perjalanan lima siswa ke sekolah adalah 15, 20, 12, 35, dan 18 menit. Tentukan median.

Langkah 1: Urutkan data.

12, 15, 18, 20, 35

Langkah 2: Tentukan nilai di posisi tengah. Ada 5 data, sehingga nilai tengah berada di posisi ke-3.

Median = 18 menit.

Artinya, separuh data tidak melebihi 18 menit dan separuh data tidak kurang dari 18 menit, dengan memperhatikan kemungkinan nilai yang sama.

4. Modus

Modus adalah nilai atau kategori yang memiliki frekuensi tertinggi.

Contoh data: 6, 7, 7, 8, 9, 7, 10.

Nilai 7 muncul tiga kali, lebih sering daripada nilai lainnya. Jadi, modusnya adalah 7.

Jenis kumpulan data berdasarkan modus

Satu modus

2, 3, 3, 4, 5. Modus = 3.

Dua modus

1, 1, 2, 3, 3, 4. Modus = 1 dan 3.

Beberapa modus

Data dapat memiliki lebih dari dua nilai dengan frekuensi tertinggi yang sama.

Tidak ada modus tunggal

Jika semua nilai muncul dengan frekuensi sama, tidak ada nilai yang paling sering muncul secara unik.

Modus juga berguna untuk data kategori. Misalnya, warna favorit terbanyak atau jenis transportasi yang paling banyak digunakan.

5. Membandingkan Mean, Median, dan Modus

Perhatikan data: 2, 3, 3, 4, 8.

Ukuran	Perhitungan	Hasil
Mean	(2 + 3 + 3 + 4 + 8) ÷ 5	4
Median	Nilai tengah	3
Modus	Nilai paling sering muncul	3

Nilai 8 membuat mean lebih tinggi daripada median. Median dan modus menggambarkan pusat data yang lebih dekat dengan sebagian besar nilai dalam contoh ini.

Kapan digunakan?

• Mean: ketika seluruh nilai penting dan tidak ada pencilan ekstrem yang mendominasi.
• Median: ketika data menceng atau mengandung pencilan, misalnya pendapatan.
• Modus: ketika ingin mengetahui nilai atau kategori yang paling sering muncul.

6. Ukuran Pemusatan dari Tabel Frekuensi

Jika nilai yang sama muncul berulang, data dapat diringkas menjadi tabel frekuensi.

Nilai \(x\)	Frekuensi \(f\)	\(fx\)
60	2	120
70	3	210
80	4	320
90	1	90
Jumlah	10	740

A. Mean dari tabel frekuensi

\(\displaystyle \bar{x}=\frac{\sum fx}{\sum f}\)

\(\displaystyle \bar{x}=\frac{740}{10}=74\)

Jadi, mean = 74.

B. Median dari tabel frekuensi

Data berjumlah 10, sehingga median adalah rata-rata data ke-5 dan ke-6 setelah seluruh data diurutkan.

Nilai	Frekuensi	Posisi data
60	2	1–2
70	3	3–5
80	4	6–9
90	1	10

Median = \(\frac{70+80}{2}=75\)

Jadi, median = 75.

C. Modus dari tabel frekuensi

Frekuensi tertinggi adalah 4, yaitu pada nilai 80. Jadi, modus = 80.

7. Data Berkelompok

Data berkelompok disajikan dalam interval kelas. Karena nilai setiap individu tidak diketahui secara persis, perhitungan ukuran pemusatan umumnya menghasilkan perkiraan.

Interval nilai	Frekuensi \(f\)	Titik tengah \(x_i\)	\(fx_i\)
40–49	2	44,5	89
50–59	4	54,5	218
60–69	8	64,5	516
70–79	10	74,5	745
80–89	6	84,5	507
90–99	2	94,5	189
Jumlah	32		2264

Titik tengah kelas dihitung dengan merata-ratakan batas bawah dan batas atas interval. Misalnya, untuk interval 40–49, titik tengahnya adalah (40 + 49) ÷ 2 = 44,5.

A. Mean data berkelompok

\(\displaystyle \bar{x}\approx\frac{\sum fx_i}{\sum f}\)

\(\displaystyle \bar{x}\approx\frac{2264}{32}=70,75\)

Jadi, perkiraan mean adalah 70,75.

Perhitungan ini menggunakan titik tengah kelas sebagai wakil seluruh data di setiap interval.

B. Median data berkelompok

Rumus median untuk data berkelompok:

\(\displaystyle Me=L+\left(\frac{\frac{n}{2}-F}{f_m}\right)c\)

Keterangan:

• \(L\) = tepi bawah kelas median.
• \(n\) = jumlah seluruh frekuensi.
• \(F\) = frekuensi kumulatif sebelum kelas median.
• \(f_m\) = frekuensi kelas median.
• \(c\) = panjang interval kelas.

Langkah 1: Tentukan \(n/2\).

\(\displaystyle \frac{32}{2}=16\)

Langkah 2: Tentukan kelas median melalui frekuensi kumulatif.

Interval	Frekuensi	Frekuensi kumulatif
40–49	2	2
50–59	4	6
60–69	8	14
70–79	10	24
80–89	6	30
90–99	2	32

Data ke-16 berada pada interval 70–79. Maka kelas median adalah 70–79, tepi bawah \(L=69,5\), \(F=14\), \(f_m=10\), dan \(c=10\).

Langkah 3: Substitusikan ke rumus.

\(\displaystyle Me=69,5+\left(\frac{16-14}{10}\right)10\)

\(Me=69,5+2=71,5\)

Jadi, perkiraan median data berkelompok adalah 71,5.

C. Modus data berkelompok

Kelas dengan frekuensi terbesar disebut kelas modus. Untuk memperkirakan modus data berkelompok, dapat digunakan rumus:

\(\displaystyle Mo=L+\left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)c\)

Keterangan:

• \(L\) = tepi bawah kelas modus.
• \(d_1\) = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya.
• \(d_2\) = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya.
• \(c\) = panjang interval kelas.

Pada tabel sebelumnya, kelas modus adalah 70–79 karena frekuensinya 10.

Langkah 1: Tentukan nilai yang diperlukan.

\(L=69,5,\quad d_1=10-8=2,\quad d_2=10-6=4,\quad c=10\)

Langkah 2: Substitusikan ke rumus.

\(\displaystyle Mo=69,5+\left(\frac{2}{2+4}\right)10\)

\(Mo\approx69,5+3,33=72,83\)

Jadi, perkiraan modus adalah 72,83.

Rumus median dan modus data berkelompok merupakan pendekatan berdasarkan distribusi frekuensi. Hasilnya tidak selalu sama dengan median atau modus data asli.

8. Rata-Rata Gabungan dan Rata-Rata Tertimbang

A. Rata-rata gabungan

Rata-rata gabungan digunakan untuk menghitung rata-rata dari beberapa kelompok ketika diketahui rata-rata dan banyak anggota masing-masing kelompok.

\(\displaystyle \bar{x}_{gab}=\frac{n_1\bar{x}_1+n_2\bar{x}_2+\cdots+n_k\bar{x}_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}\)

Contoh: Kelas A terdiri atas 20 siswa dengan rata-rata nilai 75. Kelas B terdiri atas 30 siswa dengan rata-rata nilai 85. Tentukan rata-rata kedua kelas jika digabungkan.

Jumlah nilai kelas A = 20 × 75 = 1.500.

Jumlah nilai kelas B = 30 × 85 = 2.550.

Jumlah nilai seluruh siswa = 1.500 + 2.550 = 4.050.

Jumlah siswa = 20 + 30 = 50.

\(\displaystyle \bar{x}_{gab}=\frac{4050}{50}=81\)

Jadi, rata-rata gabungannya adalah 81.

Jangan langsung menghitung (75 + 85) ÷ 2. Kedua kelompok memiliki jumlah siswa berbeda, sehingga rata-rata harus mempertimbangkan banyak anggota setiap kelompok.

B. Rata-rata tertimbang

Rata-rata tertimbang digunakan ketika setiap nilai memiliki bobot yang berbeda.

\(\displaystyle \bar{x}_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}\)

Keterangan: \(x_i\) adalah nilai dan \(w_i\) adalah bobotnya.

Contoh: Nilai akhir terdiri atas tugas 80 dengan bobot 20%, proyek 90 dengan bobot 30%, dan ujian 70 dengan bobot 50%.

Komponen	Nilai	Bobot	Nilai × bobot
Tugas	80	0,20	16
Proyek	90	0,30	27
Ujian	70	0,50	35
Jumlah			78

Nilai akhir = 16 + 27 + 35 = 78

Jadi, nilai akhirnya adalah 78.

9. Kalkulator Ukuran Pemusatan Data Tunggal

Masukkan bilangan yang dipisahkan dengan koma. Kalkulator ini menghitung mean, median, dan modus dari data yang dimasukkan.

Data

Gunakan angka dan koma sebagai pemisah. Jika menggunakan desimal, gunakan titik, misalnya 7.5, 8, 9.2.

10. Latihan Mandiri

Kerjakan soal terlebih dahulu, kemudian buka pembahasan untuk memeriksa proses penyelesaian.

Soal 1 — Mean data tunggal

Nilai lima siswa adalah 65, 75, 80, 90, dan 70. Tentukan rata-ratanya.

Jumlah = 65 + 75 + 80 + 90 + 70 = 380.

\(\displaystyle \bar{x}=\frac{380}{5}=76\)

Jawaban: 76.

Soal 2 — Median data genap

Tentukan median dari 12, 7, 15, 9, 10, dan 13.

Urutkan data: 7, 9, 10, 12, 13, 15.

Nilai tengah adalah 10 dan 12.

\(\displaystyle Me=\frac{10+12}{2}=11\)

Jawaban: 11.

Soal 3 — Modus

Data jumlah buku yang dibaca: 2, 3, 4, 3, 5, 3, 2, 4, 3. Tentukan modusnya.

Nilai 3 muncul empat kali, lebih sering daripada nilai lainnya.

Jawaban: modus = 3 buku.

Soal 4 — Mean dari tabel frekuensi

Gunakan tabel berikut untuk menghitung mean.

Nilai	Frekuensi
60	2
70	4
80	3
90	1

Jumlah frekuensi = 2 + 4 + 3 + 1 = 10.

Jumlah nilai = (60 × 2) + (70 × 4) + (80 × 3) + (90 × 1) = 730.

\(\displaystyle \bar{x}=\frac{730}{10}=73\)

Jawaban: 73.

Soal 5 — Rata-rata gabungan

Kelompok A terdiri atas 15 siswa dengan rata-rata nilai 72. Kelompok B terdiri atas 25 siswa dengan rata-rata nilai 80. Tentukan rata-rata gabungan kedua kelompok.

Jumlah nilai kelompok A = 15 × 72 = 1.080.

Jumlah nilai kelompok B = 25 × 80 = 2.000.

Jumlah nilai = 3.080 dan jumlah siswa = 40.

\(\displaystyle \bar{x}_{gab}=\frac{3080}{40}=77\)

Jawaban: 77.

Soal 6 — Rata-rata tertimbang

Nilai tugas 85 berbobot 20%, proyek 80 berbobot 30%, dan ujian 90 berbobot 50%. Tentukan nilai akhirnya.

Nilai akhir = (85 × 0,20) + (80 × 0,30) + (90 × 0,50).

= 17 + 24 + 45 = 86.

Soal 7 — Memilih ukuran yang tepat

Pendapatan bulanan lima pekerja adalah Rp3 juta, Rp3 juta, Rp3,5 juta, Rp4 juta, dan Rp30 juta. Ukuran manakah yang lebih tepat untuk menggambarkan pendapatan tipikal kelompok tersebut: mean atau median? Jelaskan.

Median lebih tepat untuk menggambarkan pendapatan tipikal karena nilai Rp30 juta jauh lebih besar daripada nilai lainnya dan menaikkan mean secara tajam.

Data sudah berurutan. Median = Rp3,5 juta.

Mean = (3 + 3 + 3,5 + 4 + 30) ÷ 5 = Rp8,7 juta.

Median lebih dekat dengan pendapatan sebagian besar pekerja dalam contoh ini.

11. Kuis Interaktif

Pilih satu jawaban pada setiap soal, lalu klik Periksa Nilai.

1. Mean dari 6, 8, dan 10 adalah ....

7 8 9

2. Median dari 10, 2, 8, 4, 6 adalah ....

4 5 6

3. Modus dari 3, 5, 5, 7, 5, 8 adalah ....

5 7 8

4. Nilai 60 muncul dua kali dan nilai 80 muncul dua kali. Mean-nya adalah ....

60 70 80

5. Jika jumlah data genap, median ditentukan dengan ....

mengambil nilai terkecil mengambil nilai terbesar merata-ratakan dua nilai tengah

6. Ukuran yang umumnya lebih tahan terhadap pencilan adalah ....

median mean jumlah data

7. Untuk menghitung perkiraan mean data berkelompok, digunakan ....

tepi bawah saja titik tengah kelas dan frekuensi nilai modus saja

8. Kelompok A memiliki 10 siswa dengan mean 70. Kelompok B memiliki 20 siswa dengan mean 80. Mean gabungan kira-kira ....

75 80 76,67

9. Nilai 80 berbobot 40% dan nilai 90 berbobot 60%. Nilai tertimbangnya adalah ....

86 85 84

10. Modus adalah ....

selalu nilai terbesar nilai atau kategori yang paling sering muncul selalu sama dengan mean

12. Rangkuman

• Mean data tunggal: jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.
• Mean tabel frekuensi: jumlah hasil kali nilai dan frekuensi dibagi jumlah frekuensi.
• Median: nilai tengah setelah data diurutkan. Untuk banyak data genap, ambil rata-rata dua nilai tengah.
• Modus: nilai atau kategori yang paling sering muncul.
• Data berkelompok: mean, median, dan modus dihitung dengan rumus pendekatan yang sesuai.
• Mean gabungan: pertimbangkan jumlah anggota setiap kelompok.
• Mean tertimbang: kalikan setiap nilai dengan bobotnya, lalu jumlahkan sesuai rumus.
• Pilih ukuran pemusatan sesuai tujuan dan karakteristik data.

Data yang sama, cerita yang berbeda!

Mean, median, dan modus membantu kita melihat data dari sudut yang berbeda. Matematikawan yang baik tidak hanya menghitung, tetapi juga memahami arti hasil perhitungannya.