A. Mengenal Grafik Fungsi Eksponen
A.1. Bentuk umum fungsi eksponen
Bentuk dasar fungsi eksponen adalah
\[ \boxed{f(x)=a^x} \]
dengan syarat:
\[ a>0,\qquad a\neq1 \]
Variabel \(x\) terletak pada bagian pangkat, sedangkan \(a\)
merupakan basis tetap.
Dua jenis fungsi eksponen yang utama adalah:
-
Fungsi pertumbuhan: \(f(x)=a^x\), dengan \(a>1\).
-
Fungsi peluruhan: \(f(x)=a^x\), dengan \(0<a<1\).
A.2. Menggambar grafik dengan tabel nilai
Misalkan diberikan fungsi:
\[ f(x)=2^x \]
Kita pilih beberapa nilai \(x\), kemudian menghitung nilai
\(f(x)\).
|
\(x\) |
Perhitungan |
\(f(x)\) |
|
\(-3\) |
\(2^{-3}\) |
\(\frac18\) |
|
\(-2\) |
\(2^{-2}\) |
\(\frac14\) |
|
\(-1\) |
\(2^{-1}\) |
\(\frac12\) |
|
\(0\) |
\(2^0\) |
\(1\) |
|
\(1\) |
\(2^1\) |
\(2\) |
|
\(2\) |
\(2^2\) |
\(4\) |
|
\(3\) |
\(2^3\) |
\(8\) |
Titik-titik yang diperoleh adalah:
\[ \begin{gathered}
(-3,\tfrac18),\;(-2,\tfrac14),\;(-1,\tfrac12),\\
(0,1),\;(1,2),\;(2,4),\;(3,8) \end{gathered} \]
Jika titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva halus, kita
memperoleh grafik fungsi eksponen yang meningkat.
Perhatikan bahwa nilai fungsi selalu positif. Bahkan, ketika
\(x\) semakin negatif, nilai \(2^x\) semakin dekat ke nol, tetapi
tidak pernah sama dengan nol.
B. Domain, Range, dan Sifat Grafik
B.1. Domain atau daerah asal
Domain adalah himpunan semua nilai \(x\) yang diperbolehkan.
Pada fungsi dasar
\[ f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\neq1 \]
nilai \(x\) dapat berupa bilangan real apa pun, termasuk bilangan
negatif, nol, pecahan, dan bilangan positif.
Jadi,
\[ \boxed{D_f=\mathbb{R}} \]
Contoh: fungsi \(f(x)=3^x\) terdefinisi untuk \(x=-2\), \(x=0\),
\(x=\frac12\), maupun \(x=10\).
B.2. Range atau daerah hasil
Range adalah himpunan semua nilai keluaran fungsi.
Karena basis fungsi eksponen positif, maka:
\[ a^x>0 \]
untuk setiap \(x\) real.
Jadi, range fungsi dasar adalah
\[ \boxed{R_f=(0,\infty)} \]
Grafik tidak pernah berada di bawah atau menyentuh sumbu
\(x\).
B.3. Titik potong dengan sumbu koordinat
Titik potong dengan sumbu \(y\)
Pada sumbu \(y\), berlaku \(x=0\). Maka:
\[ f(0)=a^0=1 \]
Jadi, semua grafik fungsi eksponen dasar melewati titik:
\[ \boxed{(0,1)} \]
Titik potong dengan sumbu \(x\)
Titik potong dengan sumbu \(x\) memerlukan \(f(x)=0\).
Namun, \(a^x>0\) untuk semua \(x\) real. Karena itu, fungsi
eksponen dasar tidak memiliki titik potong dengan sumbu \(x\).
B.4. Asimtot horizontal
Asimtot horizontal adalah garis yang didekati grafik ketika \(x\)
bergerak menuju tak hingga atau negatif tak hingga.
Untuk \(f(x)=a^x\):
-
Jika \(a>1\), maka \(a^x\to0\) saat \(x\to-\infty\).
-
Jika \(0<a<1\), maka \(a^x\to0\) saat \(x\to\infty\).
Dalam kedua kasus, asimtot horizontalnya adalah
\[ \boxed{y=0} \]
B.5. Sifat monoton: meningkat atau menurun
|
Basis |
Sifat grafik |
Perilaku |
|
\(a>1\) |
Meningkat |
Nilai fungsi bertambah ketika \(x\) bertambah |
|
\(0<a<1\) |
Menurun |
Nilai fungsi berkurang ketika \(x\) bertambah |
Contoh:
\[ f(x)=3^x \]
merupakan fungsi meningkat karena basisnya lebih besar dari
1.
Sebaliknya,
\[ g(x)=\left(\frac13\right)^x \]
merupakan fungsi menurun karena basisnya berada di antara 0 dan
1.
C. Eksplorasi Grafik Interaktif
Sekarang kita amati bagaimana grafik berubah ketika basis dan
pergeseran vertikal diubah.
Laboratorium Grafik Eksponen
Laboratorium Grafik Eksponen
Amati grafik f(x) = ±ax + k. Ubah basis, pergeseran vertikal, dan pencerminan untuk melihat perubahan grafik.
Kalkulator Grafik Eksponen
Laboratorium Fungsi Eksponen
Ketik fungsi eksponen dan amati bagaimana perubahan persamaan memengaruhi grafik.
💡 Mari Mengamati
Amati
🔎 Coba Bandingkan
1. Bandingkan 2x dengan (½)x. Apa yang terjadi pada arah grafik?
2. Bandingkan (¾)x dengan (⁷⁄₅)x. Bagaimana pengaruh basis terhadap grafik?
3. Bandingkan −2x dengan (−2)x. Apakah keduanya mempunyai makna yang sama?
Amati grafik \(f(x)=\pm a^x+k\). Atur basis, nilai pergeseran
vertikal, dan pencerminan.
Basis \(a\)
2
0,5
1
2
3
Pergeseran vertikal \(k\)
0
−3
0
3
Cerminkan grafik terhadap sumbu \(x\)
Fungsi yang ditampilkan
2ˣ
Asimtot horizontal: \(y={shift}\)
Titik potong sumbu \(y\): \((0,{(reflect?-1:1)+shift})\)
Grafik meningkat.
Grafik fungsi
Asimtot horizontal
Kembalikan ke Grafik Dasar
Pertanyaan eksplorasi untuk peserta didik:
1.
Apa yang terjadi pada grafik ketika basis diubah dari 2 menjadi
3?
2.
Apa perubahan yang terlihat ketika \(k\) diubah dari 0 menjadi
2?
3.
Bagaimana bentuk grafik setelah dicerminkan terhadap sumbu
\(x\)?
4.
Apakah grafik yang telah digeser ke atas masih memiliki range
\((0,\infty)\)? Jelaskan.
Catatan: grafik yang ditampilkan adalah sketsa dengan batas
bidang pandang tertentu. Sebagian kurva dapat terpotong oleh batas
gambar; hal itu tidak berarti fungsi berhenti di sana.
D. Transformasi Grafik Fungsi Eksponen
Grafik fungsi eksponen dapat digeser, dicerminkan, atau
diregangkan melalui perubahan pada persamaannya.
Bentuk umum yang akan kita pelajari adalah:
\[ \boxed{f(x)=A\,a^{x-h}+k} \]
dengan \(a>0\), \(a\neq1\), dan \(A\neq0\).
Keterangan:
-
\(a\): menentukan pertumbuhan atau peluruhan.
-
\(A\): menentukan peregangan, pemampatan, dan kemungkinan
pencerminan terhadap sumbu \(x\).
-
\(h\): pergeseran horizontal.
-
\(k\): pergeseran vertikal.
D.1. Pergeseran vertikal
Misalkan grafik dasar adalah:
\[ f(x)=2^x \]
Jika persamaannya menjadi:
\[ g(x)=2^x+3 \]
grafik bergeser ke atas 3 satuan.
Jika persamaannya:
\[ h(x)=2^x-2 \]
grafik bergeser ke bawah 2 satuan.
Untuk fungsi \(g(x)=2^x+3\):
-
Asimtot horizontal: \(y=3\).
-
Domain: \(\mathbb R\).
-
Range: \((3,\infty)\).
-
Titik potong sumbu \(y\): \((0,4)\).
Secara umum, pada fungsi \(f(x)=a^x+k\), asimtot horizontal
berubah dari \(y=0\) menjadi \(y=k\).
D.2. Pergeseran horizontal
Perhatikan:
\[ f(x)=2^x \]
dan
\[ g(x)=2^{x-2} \]
Grafik \(g(x)\) merupakan grafik \(f(x)\) yang bergeser ke kanan
2 satuan.
Sebaliknya,
\[ h(x)=2^{x+2} \]
merupakan grafik \(f(x)\) yang bergeser ke kiri 2 satuan.
Ingat aturan berikut:
-
\(a^{x-h}\): geser ke kanan \(h\) satuan jika \(h>0\).
-
\(a^{x+h}\): geser ke kiri \(h\) satuan jika \(h>0\).
Pergeseran horizontal tidak mengubah asimtot horizontal fungsi
dasar, yaitu \(y=0\).
D.3. Pencerminan terhadap sumbu \(x\)
Bandingkan:
\[ f(x)=2^x \]
dengan
\[ g(x)=-2^x \]
Tanda negatif di depan fungsi mencerminkan grafik terhadap sumbu
\(x\).
Akibatnya:
-
Grafik yang semula meningkat menjadi menurun.
-
Range berubah dari \((0,\infty)\) menjadi \((-\infty,0)\).
-
Asimtot horizontal tetap \(y=0\).
-
Titik potong sumbu \(y\) berubah dari \((0,1)\) menjadi
\((0,-1)\).
D.4. Peregangan dan pemampatan vertikal
Misalkan:
\[ f(x)=2^x \]
dan
\[ g(x)=3\cdot2^x \]
Setiap nilai \(y\) pada grafik \(f\) dikalikan 3. Grafik \(g\)
mengalami peregangan vertikal.
Jika koefisiennya \(\frac12\), seperti pada
\[ h(x)=\frac12\,2^x \]
grafik mengalami pemampatan vertikal.
Untuk \(A>0\), domain dan range tetap sama seperti fungsi
eksponen dasar jika tidak ada pergeseran vertikal. Jika
\(A<0\), grafik juga mengalami pencerminan terhadap sumbu
\(x\).
D.5. Ringkasan transformasi
|
Bentuk fungsi |
Perubahan |
|
\(a^x+k\) |
Geser vertikal |
|
\(a^{x-h}\) |
Geser ke kanan \(h\) satuan |
|
\(a^{x+h}\) |
Geser ke kiri \(h\) satuan |
|
\(-a^x\) |
Cermin terhadap sumbu \(x\) |
|
\(A a^x,\ A>1\) |
Peregangan vertikal |
|
\(A a^x,\ 0<A<1\) |
Pemampatan vertikal |
Contoh soal 1 — Menganalisis transformasi
Diketahui:
\[ g(x)=2^{x-3}+4 \]
Tentukan pergeseran grafik, asimtot horizontal, domain, dan
range.
Pembahasan:
-
\(x-3\) menunjukkan pergeseran ke kanan 3 satuan.
-
\(+4\) menunjukkan pergeseran ke atas 4 satuan.
-
Asimtot horizontal: \(y=4\).
-
Domain: \(\mathbb R\).
-
Range: \((4,\infty)\).
Titik potong sumbu \(y\) dapat dicari dengan \(x=0\):
\[ g(0)=2^{-3}+4=\frac18+4=\frac{33}{8} \]
Jadi, titik potong sumbu \(y\) adalah \((0,\frac{33}{8})\).
Contoh soal 2 — Menentukan persamaan dari transformasi
Grafik \(f(x)=3^x\) digeser 2 satuan ke kiri dan 5 satuan ke
bawah. Tentukan persamaan grafik baru.
Pembahasan:
Pergeseran 2 satuan ke kiri menghasilkan \(3^{x+2}\). Pergeseran
5 satuan ke bawah berarti mengurangi 5.
Jadi,
\[ \boxed{g(x)=3^{x+2}-5} \]
Asimtot horizontalnya adalah \(y=-5\), domainnya \(\mathbb R\),
dan rangenya \((-5,\infty)\).
E. Membandingkan Dua Fungsi Eksponen
Dua fungsi eksponen dapat dibandingkan melalui persamaan, tabel
nilai, maupun grafik.
Misalkan:
\[ f(x)=2^x \]
\[ g(x)=2^{x+1} \]
Karena
\[ g(x)=2\cdot2^x=2f(x) \]
maka nilai \(g(x)\) selalu dua kali nilai \(f(x)\) pada setiap
\(x\).
Contohnya:
|
\(x\) |
\(f(x)=2^x\) |
\(g(x)=2^{x+1}\) |
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
|
2 |
4 |
8 |
|
3 |
8 |
16 |
Perhatikan bahwa \(g(x)=2^{x+1}\) juga dapat dipahami sebagai
grafik \(2^x\) yang bergeser ke kiri satu satuan. Kedua cara tersebut menghasilkan grafik yang sama.
Contoh soal 3 — Titik perpotongan dua grafik
Tentukan titik perpotongan grafik:
\[ f(x)=2^x \]
dan
\[ g(x)=8 \]
Pembahasan:
Pada titik perpotongan, nilai kedua fungsi sama.
\[ 2^x=8 \]
Karena \(8=2^3\), maka \(x=3\).
Nilai \(y=8\), sehingga titik perpotongannya adalah:
\[ \boxed{(3,8)} \]
Contoh ini memperlihatkan bahwa titik perpotongan grafik eksponen
dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan eksponen.
F. Latihan Soal
Silakan gunakan soal-soal berikut untuk latihan mandiri, diskusi
kelompok, atau evaluasi pembelajaran.
F.A. Konsep grafik
1.
Tentukan domain dan range dari \(f(x)=4^x\).
2.
Tentukan titik potong sumbu \(y\) dari \(f(x)=5^x\).
3.
Tentukan asimtot horizontal dari \(f(x)=2^x+3\).
4.
Apakah \(f(x)=(\frac14)^x\) meningkat atau menurun? Jelaskan.
5.
Mengapa grafik \(f(x)=3^x\) tidak pernah memotong sumbu
\(x\)?
F.B. Transformasi grafik
6.
Jelaskan transformasi grafik \(g(x)=2^x+4\) terhadap grafik
\(f(x)=2^x\).
7.
Tentukan asimtot horizontal dan range \(g(x)=3^x-2\).
8.
Grafik \(f(x)=2^x\) digeser ke kanan 3 satuan. Tentukan persamaan
barunya.
9.
Grafik \(f(x)=5^x\) dicerminkan terhadap sumbu \(x\). Tentukan
persamaan dan range fungsi baru.
10.Tentukan domain, range, dan asimtot horizontal dari
\(g(x)=2^{x-1}+3\).
F.C. Analisis fungsi
11.Buat tabel nilai \(f(x)=3^x\) untuk \(x=-2,-1,0,1,2\).
12.Tentukan titik potong sumbu \(y\) dari \(f(x)=2^{x+2}-1\).
13.Tentukan titik perpotongan grafik \(f(x)=3^x\) dan
\(g(x)=27\).
14.Sebuah grafik eksponen memiliki asimtot horizontal \(y=2\),
domain \(\mathbb R\), dan range \((2,\infty)\). Apakah
\(f(x)=2^x+2\) memenuhi sifat tersebut? Jelaskan.
15.Grafik \(f(x)=2^x\) mengalami peregangan vertikal dengan faktor
3, kemudian digeser ke bawah 2 satuan. Tentukan persamaan grafik akhirnya.
F.D. Tantangan penalaran
16. Dua fungsi diberikan oleh \(f(x)=2^x\) dan \(g(x)=2^{-x}\).
Jelaskan hubungan kedua grafik tersebut.
17. Tentukan persamaan fungsi eksponen yang grafiknya merupakan
grafik \(f(x)=3^x\) yang digeser 2 satuan ke kanan dan 1 satuan ke
atas.
18. Sebuah fungsi eksponen berbentuk \(g(x)=A\cdot2^x+k\)
memiliki asimtot horizontal \(y=3\) dan melalui titik \((0,7)\).
Jika \(A>0\), tentukan nilai \(A\) dan persamaan fungsi
tersebut.