Perhatikan perkalian berikut.
\[ 2\times2\times2\times2\times2=32 \]
Karena bilangan 2 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 5 kali,
perkalian tersebut dapat ditulis lebih singkat menjadi:
\[ 2^5=32 \]
Bentuk \(2^5\) dibaca dua pangkat lima.
Secara umum,
\[ a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ faktor}} \]
Keterangan:
-
\(a\) disebut basis atau bilangan pokok.
- \(n\) disebut eksponen atau pangkat.
- \(a^n\) disebut bentuk perpangkatan.
Contoh lainnya:
\[ 3^4=3\times3\times3\times3=81 \]
\[ 5^3=5\times5\times5=125 \]
B. Memahami pangkat nol dan pangkat negatif
Kalau \[ 2^5=32 \] artinya bilangan 2 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 5 kali, lalu bagaimana dengan \[ 2^0 \] apakah artinya 2 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 0 kali? Atau bagaimana jika \[ 2^{-3} \] apakah artinya 2 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak -3 kali? Tentu tidak!!
Benar, bahwa semua bilangan berpangkat dengan pangkat positif merupakan perkalian berulang dengan jumlah faktor positif.
Tetapi, tidak untuk bilangan berpangkat nol maupun negatif. Lalu bagaimana dengan bilangan berpangkat nol maupun pangkat negatif? Perhatikan penjelasan berikut!
1. Pangkat nol
Kita telah mengetahui hasil dari bilangan berpangkat positif. Perhatikan, ternyata hasilnya membentuk suatu pola. Lihat polanya!
\[ \begin{aligned} 2^3&=8\\ 2^2&=4\\ 2^1&=2\\ 2^0&=1
\end{aligned} \]
Ternyata, polanya adalah: jika setiap pangkatnya turun satu nilai, maka hasilnya dibagi 2.
Akhirnya kita menemukan dalam urutan pola itu nilai untuk, \(2^0=1\).
Jadi untuk setiap bilangan real \(a\neq0\),
\[ a^0=1 \]
Daftar bilangan berpangkat itu dapat kita teruskan menurut pola yang telah terbentuk, sehingga kita sampai pada bilangan berpangkat negatif. Berikut penjelasannya:
2. Pangkat negatif
Mari kita teruskan sesuai polanya, jiak pangkatnya berkurang satu maka hasilnya dibagi 2.
\[ \begin{aligned} 2^3&=8\\ 2^2&=4\\ 2^1&=2\\ 2^0&=1 \\2^{-1}&=\frac{1}{2}\\ 2^{-2}&=\frac{1}{4}\end{aligned} \]
Jadi, pangkat negatif menyatakan kebalikan dari perpangkatan dengan pangkat positif.
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a\neq0 \]
Ingat bahwa bilangan \[ \frac{1}{0}\] tidak didefenisikan. Jadi untuk bilangan negatif tidak boleh menggunakan basis (bilangan pokok 0)
Contoh:
\[ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18 \]
\[ 5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac1{25} \]
Pangkat negatif menunjukkan bahwa kita mengambil kebalikan dari bilangan yang berpangkat positif. Perhatikan bahwa bilangan berpangkat, baik yang berpangkat positif, berpangkat 0, maupun berpangkat negatif, selalu menghasilkan bilangan positif. Kita bisa membuktikan hasil tersebut dengan melihat grafik fungsi bilangan berpangkat.
C. Sifat-sifat bilangan berpangkat
Sifat-sifat berikut akan sangat membantu dalam
menyederhanakan bentuk eksponen.
D. Pemangkatan dengan basis bilangan bulat
Basis bilangan bulat dapat berupa bilangan positif, nol,
atau bilangan negatif. Namun, kita perlu memperhatikan penggunaan tanda kurung.
D.1. Basis positif
\[ 4^3=4\times4\times4=64 \]
D.2. Basis negatif
Jika basis negatif dipangkatkan dengan bilangan bulat, tanda
hasilnya bergantung pada apakah pangkatnya genap atau ganjil. Untuk lebih jelas, perhatikan hasil bilangan berpangkat berikut!
\[ (-2)^2=(-2)(-2)=4 \]
\[ (-2)^3=(-2)(-2)(-2)=-8 \]
\[ (-2)^4=(-2)(-2)(-2)(-2)=16 \]
\[ (-2)^4=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-32 \]
\[ (-2)^4=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=64\]
Perhatikan hubungan antara nilai pangkat dan tanda (positif/negatif) dari hasilnya. Ternyata kita dapatkan aturan untuk tanda dari hasil bilangan berpangkat yang basisnya negatif, yaitu:
- Basis
negatif dengan pangkat genap menghasilkan bilangan positif.
- Basis
negatif dengan pangkat ganjil menghasilkan bilangan negatif.
D.3. Perbedaan yang sering mengecoh
Perhatikan bentuk bilangan berpangkat yang hampir sama, tetapi maknanya berbeda. Bandingkan kedua bentuk berikut.
\[
(-3)^2=(-3)(-3)=9 \]
\[ -3^2=-(3^2)=-9
\]
Pada bentuk
pertama, tanda negatif termasuk dalam basis karena ada tanda kurung. Sedangkan pada
bentuk kedua, pangkat dihitung terlebih dahulu, kemudian diberi tanda negatif.
Contoh soal 1
Tentukan nilai
dari:
\[ A=(-2)^4+(-2)^3-2^2 \]
Pembahasan:
\[ \begin{aligned} A&=16+(-8)-4\\ &=16-8-4\\ &=4
\end{aligned} \]
Jadi, \(A=4\).
E. Pemangkatan
dengan basis pecahan
Lalu, bagaimana kalau basisnya berupa bilangan pecahan? Konsepnya dapat dibaca pada tautan Operasi Bilangan Berpangkat dan Notasi Ilmiah. Basis pecahan dipangkatkan dengan cara memangkatkan pembilang dan penyebutnya.
\[ \left(\frac
ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]
dengan \(b\neq0\).
Contoh soal 1
\[ \left(\frac23\right)^3 =\frac{2^3}{3^3} =\frac8{27} \]
Untuk pangkat negatif, kita perlu memahami penjelasan di atas tentang bilangan berpangkat dengan basis pecahan dan bilangan berpangkat dengan pangkat negatif.
\[ \left(\frac23\right)^{-2} =\left(\frac32\right)^2
=\frac94 \]
Pangkat negatif membuat pecahan dibalik, lalu pangkat
positif diterapkan.
Contoh soal 2
Sederhanakan:
\[ \left(\frac34\right)^2 \times\left(\frac34\right)^{-1} \]
Pembahasan:
Karena basisnya
sama, pangkat dapat dijumlahkan.
\[ \begin{aligned} &\left(\frac34\right)^{2+(-1)}\\
&=\left(\frac34\right)^1\\ &=\frac34 \end{aligned} \]
Jadi, hasilnya adalah \(\frac34\).
F. Pangkat pecahan
Kita sudah belajar tentang pangkat bilangan bulat, pangkat, o, dan pangkat negatif. Bagaimana jika eksponen(pangkatnya) merupakan bilangan pecahan? Bentuk ini berhubungan dengan operasi akar. Pelajari terlebih dahulu materi tentang bentuk akar dari suatu bilangan
dan
\[ a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m} \]
Contoh:
\[ 16^{\frac12}=\sqrt{16}=4 \]
\[ 27^{\frac23}=\sqrt[3]{27^2} =\sqrt[3]{729}=9 \]
Untuk bilangan real, bentuk akar berpangkat pecahan harus
memenuhi syarat keberadaan akar real. Khusus akar berindeks genap, bilangan di
dalam akar harus tidak negatif.
Contoh soal 3
Hitung nilai:
\[ 81^{\frac34} \]
Pembahasan:
\[ 81^{\frac34}=(\sqrt[4]{81})^3 =3^3=27 \]
Jadi, hasilnya adalah \(27\).
G. Bagaimana dengan basis negatif dan pangkat pecahan?
Bagian ini memerlukan perhatian khusus.
Misalnya:
\[ (-8)^{\frac13}=\sqrt[3]{-8}=-2 \]
Hasilnya merupakan bilangan real karena akar pangkat tiga
dari bilangan negatif diperbolehkan.
Sebaliknya,
\[ (-8)^{\frac12}=\sqrt{-8} \]
Tidak memiliki nilai real, karena akar kuadrat bilangan
negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real.
Untuk eksponen pecahan yang penyebutnya genap, basis negatif
pada umumnya tidak menghasilkan nilai real. Untuk eksponen pecahan dalam bentuk
lain, kita perlu memeriksa definisi dan penyederhanaannya dengan hati-hati.
H. Memahami Fungsi Eksponen
H.1. Apa itu
fungsi eksponen?
Pada perpangkatan
biasa, kita menghitung nilai suatu bilangan, misalnya \(2^3=8\). Dalam fungsi
eksponen, variabel terletak pada bagian pangkat.
Bentuk umumnya
adalah:
\[
\boxed{f(x)=a^x} \]
dengan syarat:
\[ a>0,\qquad a\neq1 \]
Keterangan:
- \(a\)
adalah basis tetap.
- \(x\) adalah variabel pada eksponen.
- \(f(x)\)
adalah nilai fungsi.
Contoh fungsi eksponen:
\[ f(x)=2^x \]
Jika \(x=3\), maka:
\[ f(3)=2^3=8 \]
Jika \(x=-2\), maka:
\[ f(-2)=2^{-2}=\frac14 \]
Jadi, variabel \(x\) boleh bernilai positif, nol, maupun
negatif.
G.2. Membuat tabel nilai dan grafik
Perhatikan fungsi:
\[ f(x)=2^x \]
Tabel nilainya:
|
\(x\) |
\(f(x)=2^x\) |
|
\(-3\) |
\(\frac18\) |
|
\(-2\) |
\(\frac14\) |
|
\(-1\) |
\(\frac12\) |
|
\(0\) |
\(1\) |
|
\(1\) |
\(2\) |
|
\(2\) |
\(4\) |
|
\(3\) |
\(8\) |
G.3 Eksplorasi Grafik Fungsi Eksponen
Geser nilai basis untuk melihat bagaimana bentuk grafik
berubah.
Basis \(a\)
2
0,5
1
2
3
4
Grafik meningkat: semakin besar \(x\), semakin besar
\(a^x\).
Sketsa grafik;
sumbu vertikal ditampilkan dengan skala visual yang disederhanakan.
C. Sifat-sifat fungsi eksponen
Untuk \(f(x)=a^x\), dengan \(a>0\) dan \(a\neq1\):
- Domain
atau daerah asal adalah seluruh bilangan real.
- Range
atau daerah hasil adalah bilangan real positif, yaitu \(f(x)>0\).
- Grafik selalu melalui titik
\((0,1)\), karena \(a^0=1\).
- Grafik
tidak memotong sumbu \(x\).
- Jika
\(a>1\), grafik meningkat.
- Jika
\(0<a<1\), grafik menurun.
- Sumbu
\(x\) menjadi asimtot horizontal, yaitu garis yang didekati grafik tetapi
tidak disentuh.
Contoh soal 4
Diketahui \(f(x)=3^x\). Tentukan:
a. \(f(2)\)
b. \(f(0)\)
c. \(f(-2)\)
Pembahasan:
\[ f(2)=3^2=9 \]
\[ f(0)=3^0=1 \]
\[ f(-2)=3^{-2}=\frac19 \]
Jadi, berturut-turut diperoleh \(9\), \(1\), dan
\(\frac19\).
D. Membandingkan fungsi eksponen yang meningkat dan
menurun
Perhatikan dua fungsi berikut:
\[ f(x)=2^x \]
\[ g(x)=\left(\frac12\right)^x \]
Keduanya memiliki basis positif, tetapi bentuk grafiknya
berbeda.
Fungsi meningkat
\[ f(x)=2^x \]
Karena
\(a>1\), nilai fungsi bertambah saat \(x\) bertambah.
Fungsi menurun
\[ g(x)=\left(\frac12\right)^x \]
Karena \(0<a<1\), nilai fungsi berkurang saat \(x\)
bertambah.
Menariknya, kedua fungsi tersebut memiliki hubungan:
\[ \left(\frac12\right)^x=2^{-x} \]
Artinya, fungsi kedua dapat dipandang sebagai fungsi pertama
dengan variabel \(-x\).
C. Penerapan Eksponen dalam Kehidupan Sehari-hari
Fungsi eksponen sangat berguna ketika suatu kuantitas
berubah dengan faktor pengali yang tetap dalam setiap selang waktu yang sama.
C.1 Pertumbuhan bakteri
Misalkan satu bakteri membelah menjadi dua setiap satu jam.
Jika mula-mula terdapat 100 bakteri, jumlahnya menjadi:
- Setelah
1 jam: 200 bakteri.
- Setelah
2 jam: 400 bakteri.
- Setelah
3 jam: 800 bakteri.
- Setelah
4 jam: 1.600 bakteri.
Pola tersebut dapat dituliskan:
\[ N(t)=100\cdot2^t \]
Keterangan:
- \(N(t)\)
= jumlah bakteri setelah \(t\) jam.
- 100
= jumlah bakteri mula-mula.
- 2 =
faktor pertumbuhan setiap jam.
Contoh soal 5
Berapa jumlah bakteri setelah 6 jam?
Pembahasan:
\[ \begin{aligned} N(6)&=100\cdot2^6\\
&=100\cdot64\\ &=6.400 \end{aligned} \]
Jadi, jumlah bakteri setelah 6 jam adalah 6.400 bakteri,
berdasarkan model tersebut.
C.2 Bunga majemuk dan tabungan
Dalam bunga majemuk, bunga yang diperoleh pada suatu periode
ikut menjadi bagian dari modal periode berikutnya.
Rumusnya:
\[ A=P(1+r)^t \]
Keterangan:
- \(A\)
= nilai akhir tabungan.
- \(P\)
= modal awal.
- \(r\)
= suku bunga per periode dalam bentuk desimal.
- \(t\)
= banyaknya periode.
Contoh soal 6
Seseorang menabung Rp2.000.000 dengan bunga majemuk 5% per
tahun. Berapa nilai tabungannya
setelah 3 tahun, jika tidak ada biaya atau penarikan?
Pembahasan:
\[ \begin{aligned} A&=2.000.000(1+0,05)^3\\
&=2.000.000(1,05)^3\\ &=2.315.250 \end{aligned} \]
Jadi, nilai
tabungannya adalah Rp2.315.250.
C.3 Peluruhan zat radioaktif
Beberapa zat radioaktif mengalami peluruhan sehingga jumlah
zat yang tersisa semakin sedikit seiring waktu.
Jika waktu paruh suatu zat adalah \(T\), model sederhananya:
\[ N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{t/T} \]
Keterangan:
- \(N_0\)
= jumlah zat mula-mula.
- \(N(t)\)
= jumlah zat yang tersisa setelah waktu \(t\).
- \(T\)
= waktu paruh.
Contoh soal 7
Suatu zat radioaktif memiliki massa awal 80 gram dan waktu
paruh 5 tahun. Berapa massa yang tersisa setelah 15 tahun?
Pembahasan:
\[ \begin{aligned}
N(15)&=80\left(\frac12\right)^{15/5}\\ &=80\left(\frac12\right)^3\\
&=80\cdot\frac18\\ &=10 \end{aligned} \]
Jadi, massa yang tersisa adalah 10 gram.
D. Penyusutan nilai barang
Misalnya, sebuah perangkat elektronik memiliki harga awal
Rp10.000.000 dan nilainya turun 20% setiap tahun.
Model
penyusutannya:
\[
V(t)=10.000.000(0,8)^t \]
Setelah 2 tahun:
\[ V(2)=10.000.000(0,8)^2 \]
\[ V(2)=10.000.000(0,64) \]
\[ V(2)=6.400.000 \]
Nilai berdasarkan model tersebut menjadi Rp6.400.000. Dalam
kenyataan, harga jual barang bekas tidak selalu mengikuti persentase penurunan
yang tetap.
E. Penyebaran
informasi digital
Sebuah pesan
awalnya diterima oleh 5 orang. Jika setiap orang meneruskan pesan kepada 3
orang baru pada setiap tahap, model ideal untuk banyak penerima pada tahap
ke-\(n\) adalah:
\[ N(n)=5\cdot3^n
\]
Pada tahap ke-4:
\[
N(4)=5\cdot3^4=405 \]
Model ini
mengasumsikan setiap penerusan menjangkau orang baru, sehingga tidak selalu
mencerminkan penyebaran informasi yang sebenarnya.
Kesimpulan aplikasi
|
Situasi |
Model eksponen |
Jenis perubahan |
|
Pertumbuhan bakteri |
\(N_0(1+r)^t\) |
Pertumbuhan |
|
Bunga majemuk |
\(P(1+r)^t\) |
Pertumbuhan |
|
Peluruhan radioaktif |
\(N_0(\frac12)^{t/T}\) |
Peluruhan |
|
Penyusutan nilai barang |
\(V_0(1-r)^t\) |
Peluruhan |
|
Penyebaran informasi |
\(N_0a^t\) |
Pertumbuhan ideal |
BAB 4. Latihan Soal
Sekarang saatnya
peserta didik mencoba menyelesaikan soal secara mandiri. Latihan berikut
bergerak dari pemahaman dasar menuju penerapan.
Kuis Eksponen
0 dari 8 dijawab
1. Nilai dari 3⁴
adalah ...
A. 12
B. 27
C. 64
D. 81
2. Nilai dari 2⁻³
adalah ...
A. −8
B. −1/8
C. 1/8
D. 8
3. Nilai dari
(−3)³ adalah ...
A. −27
B. −9
C. 9
D. 27
4. Nilai dari
(2/5)² adalah ...
A. 4/10
B. 4/25
C. 2/25
D. 25/4
5. Nilai dari
16^(1/2) adalah ...
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
6. Jika f(x) = 2ˣ, nilai f(−2) adalah ...
A. −4
B. −1/4
C. 1/4
D. 4
7. Grafik f(x) = (1/3)ˣ bersifat ...
A. Meningkat
B. Menurun
C. Selalu nol
D. Tidak terdefinisi untuk x negatif
8. Modal Rp1.000.000 bertambah 10% per tahun secara majemuk.
Nilai setelah 2 tahun adalah ...
A. Rp1.100.000
B. Rp1.200.000
C. Rp1.210.000
D. Rp1.220.000
Periksa Jawaban
Jawab semua soal untuk melihat hasil dan pembahasan.
Latihan mandiri tertulis
A. Pemahaman konsep
- Tuliskan
\(5\times5\times5\times5\) dalam bentuk perpangkatan dan tentukan
hasilnya.
- Hitung
\((-4)^3\).
- Hitung
\(-4^3\).
- Sederhanakan
\(2^5\times2^3\).
- Sederhanakan
\(\frac{7^6}{7^2}\).
- Hitung
\(\left(\frac34\right)^{-2}\).
- Hitung
\(125^{2/3}\).
- Sederhanakan
\(\frac{3^4\times3^{-2}}{3}\).
B. Fungsi eksponen
9. Diketahui \(f(x)=4^x\). Tentukan \(f(-1)\), \(f(0)\), dan
\(f(2)\).
10. Buatlah tabel nilai untuk
\(f(x)=\left(\frac12\right)^x\), dengan \(x=-2,-1,0,1,2\).
11. Jelaskan mengapa grafik \(f(x)=5^x\) meningkat,
sedangkan grafik \(g(x)=\left(\frac15\right)^x\) menurun.
12. Apakah titik \((2,16)\) terletak pada grafik
\(f(x)=4^x\)? Jelaskan.
C. Soal kontekstual
13. Populasi awal
suatu koloni bakteri adalah 200. Populasi tersebut menjadi dua kali
lipat setiap 30 menit. Berapa jumlah bakteri setelah 2 jam?
14. Seseorang menabung Rp5.000.000 dengan bunga majemuk 4%
per tahun. Tentukan nilai tabungan setelah 2 tahun.
15. Sebuah benda memiliki massa awal 160 gram. Massanya
menjadi setengah setiap 3 jam. Berapa massa yang tersisa setelah 9 jam?
16. Jumlah
pengguna suatu aplikasi mula-mula 500 orang. Jika jumlahnya menjadi dua kali
lipat setiap bulan, berapa pengguna yang diperkirakan ada setelah 5 bulan?
17. Sebuah mesin
dibeli seharga Rp20.000.000. Nilainya diperkirakan menyusut 10% per
tahun. Tentukan nilai mesin setelah
3 tahun.
18. Sebuah
populasi dimodelkan oleh \(P(t)=300(1,2)^t\). Tentukan populasi awal dan
persentase pertumbuhan setiap periode.