BAB 1. Mengenal Grafik Fungsi Eksponen
1. Bentuk umum fungsi eksponen
Bentuk dasar fungsi eksponen adalah
\[ \boxed{f(x)=a^x} \]
dengan syarat:
\[ a>0,\qquad a\neq1 \]
Variabel \(x\) terletak pada bagian pangkat, sedangkan
\(a\) merupakan basis tetap.
Dua jenis fungsi eksponen yang utama adalah:
- Fungsi
pertumbuhan: \(f(x)=a^x\), dengan \(a>1\).
- Fungsi
peluruhan: \(f(x)=a^x\), dengan \(0<a<1\).
2. Menggambar grafik dengan tabel nilai
Misalkan diberikan fungsi:
\[ f(x)=2^x \]
Kita pilih beberapa nilai \(x\), kemudian menghitung
nilai \(f(x)\).
|
\(x\) |
Perhitungan |
\(f(x)\) |
|
\(-3\) |
\(2^{-3}\) |
\(\frac18\) |
|
\(-2\) |
\(2^{-2}\) |
\(\frac14\) |
|
\(-1\) |
\(2^{-1}\) |
\(\frac12\) |
|
\(0\) |
\(2^0\) |
\(1\) |
|
\(1\) |
\(2^1\) |
\(2\) |
|
\(2\) |
\(2^2\) |
\(4\) |
|
\(3\) |
\(2^3\) |
\(8\) |
Titik-titik
yang diperoleh adalah:
\[
\begin{gathered} (-3,\tfrac18),\;(-2,\tfrac14),\;(-1,\tfrac12),\\
(0,1),\;(1,2),\;(2,4),\;(3,8) \end{gathered} \]
Jika
titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva halus, kita memperoleh grafik
fungsi eksponen yang meningkat.
Perhatikan
bahwa nilai fungsi selalu positif. Bahkan, ketika \(x\) semakin negatif, nilai
\(2^x\) semakin dekat ke nol, tetapi tidak pernah sama dengan nol.
BAB 2.
Domain, Range, dan Sifat Grafik
1. Domain
atau daerah asal
Domain
adalah himpunan semua nilai \(x\) yang diperbolehkan.
Pada fungsi dasar
\[ f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\neq1 \]
nilai \(x\) dapat berupa bilangan real apa pun, termasuk
bilangan negatif, nol, pecahan, dan bilangan positif.
Jadi,
\[
\boxed{D_f=\mathbb{R}} \]
Contoh:
fungsi \(f(x)=3^x\) terdefinisi untuk \(x=-2\), \(x=0\), \(x=\frac12\), maupun
\(x=10\).
2. Range
atau daerah hasil
Range adalah
himpunan semua nilai keluaran fungsi.
Karena basis
fungsi eksponen positif, maka:
\[ a^x>0
\]
untuk setiap
\(x\) real.
Jadi, range
fungsi dasar adalah
\[
\boxed{R_f=(0,\infty)} \]
Grafik tidak
pernah berada di bawah atau menyentuh sumbu \(x\).
3. Titik
potong dengan sumbu koordinat
Titik
potong dengan sumbu \(y\)
Pada sumbu \(y\), berlaku \(x=0\). Maka:
\[ f(0)=a^0=1 \]
Jadi, semua grafik fungsi eksponen dasar melewati titik:
\[ \boxed{(0,1)} \]
Titik potong dengan sumbu \(x\)
Titik potong
dengan sumbu \(x\) memerlukan \(f(x)=0\).
Namun,
\(a^x>0\) untuk semua \(x\) real. Karena itu, fungsi eksponen dasar tidak
memiliki titik potong dengan sumbu \(x\).
4.
Asimtot horizontal
Asimtot
horizontal adalah garis yang didekati grafik ketika \(x\) bergerak menuju tak
hingga atau negatif tak hingga.
Untuk
\(f(x)=a^x\):
- Jika \(a>1\), maka
\(a^x\to0\) saat \(x\to-\infty\).
- Jika \(0<a<1\), maka
\(a^x\to0\) saat \(x\to\infty\).
Dalam kedua
kasus, asimtot horizontalnya adalah
\[
\boxed{y=0} \]
5. Sifat
monoton: meningkat atau menurun
|
Basis |
Sifat
grafik |
Perilaku |
|
\(a>1\) |
Meningkat |
Nilai fungsi bertambah ketika \(x\) bertambah |
|
\(0<a<1\) |
Menurun |
Nilai
fungsi berkurang ketika \(x\) bertambah |
Contoh:
\[ f(x)=3^x
\]
merupakan
fungsi meningkat karena basisnya lebih besar dari 1.
Sebaliknya,
\[
g(x)=\left(\frac13\right)^x \]
merupakan fungsi menurun karena basisnya berada di antara
0 dan 1.
BAB 3. Eksplorasi Grafik Interaktif
Sekarang kita amati bagaimana grafik berubah ketika basis
dan pergeseran vertikal diubah.
Laboratorium
Grafik Eksponen
Amati grafik
\(f(x)=\pm a^x+k\). Atur basis, nilai pergeseran vertikal, dan pencerminan.
Basis \(a\)
2
0,5
1
2
3
Pergeseran
vertikal \(k\)
0
−3
0
3
Cerminkan
grafik terhadap sumbu \(x\)
Fungsi yang
ditampilkan
2Ë£
Asimtot horizontal: \(y={shift}\)
Titik potong
sumbu \(y\): \((0,{(reflect?-1:1)+shift})\)
Grafik
meningkat.
Grafik
fungsi
Asimtot
horizontal
Kembalikan ke Grafik Dasar
Pertanyaan eksplorasi untuk peserta didik:
1.
Apa yang terjadi pada grafik ketika
basis diubah dari 2 menjadi 3?
2.
Apa
perubahan yang terlihat ketika \(k\) diubah dari 0 menjadi 2?
3.
Bagaimana
bentuk grafik setelah dicerminkan terhadap sumbu \(x\)?
4.
Apakah
grafik yang telah digeser ke atas masih memiliki range \((0,\infty)\)?
Jelaskan.
Catatan: grafik yang ditampilkan adalah sketsa dengan
batas bidang pandang tertentu. Sebagian kurva dapat terpotong oleh batas
gambar; hal itu tidak berarti fungsi berhenti di sana.
BAB 4. Transformasi Grafik Fungsi Eksponen
Grafik fungsi eksponen dapat digeser, dicerminkan, atau
diregangkan melalui perubahan pada persamaannya.
Bentuk umum yang akan kita pelajari adalah:
\[
\boxed{f(x)=A\,a^{x-h}+k} \]
dengan \(a>0\), \(a\neq1\), dan \(A\neq0\).
Keterangan:
- \(a\):
menentukan pertumbuhan atau peluruhan.
- \(A\):
menentukan peregangan, pemampatan, dan kemungkinan pencerminan terhadap
sumbu \(x\).
- \(h\): pergeseran horizontal.
- \(k\): pergeseran vertikal.
1.
Pergeseran vertikal
Misalkan
grafik dasar adalah:
\[ f(x)=2^x
\]
Jika
persamaannya menjadi:
\[
g(x)=2^x+3 \]
grafik
bergeser ke atas 3 satuan.
Jika
persamaannya:
\[
h(x)=2^x-2 \]
grafik
bergeser ke bawah 2 satuan.
Untuk fungsi
\(g(x)=2^x+3\):
- Asimtot horizontal: \(y=3\).
- Domain: \(\mathbb R\).
- Range: \((3,\infty)\).
- Titik potong sumbu \(y\):
\((0,4)\).
Secara umum, pada fungsi \(f(x)=a^x+k\), asimtot
horizontal berubah dari \(y=0\) menjadi \(y=k\).
2. Pergeseran horizontal
Perhatikan:
\[ f(x)=2^x \]
dan
\[ g(x)=2^{x-2} \]
Grafik \(g(x)\) merupakan grafik \(f(x)\) yang bergeser
ke kanan 2 satuan.
Sebaliknya,
\[ h(x)=2^{x+2} \]
merupakan grafik \(f(x)\) yang bergeser ke kiri 2 satuan.
Ingat aturan
berikut:
- \(a^{x-h}\): geser ke kanan
\(h\) satuan jika \(h>0\).
- \(a^{x+h}\): geser ke kiri \(h\)
satuan jika \(h>0\).
Pergeseran horizontal tidak mengubah asimtot horizontal
fungsi dasar, yaitu \(y=0\).
3. Pencerminan terhadap sumbu \(x\)
Bandingkan:
\[ f(x)=2^x \]
dengan
\[ g(x)=-2^x \]
Tanda negatif di depan fungsi mencerminkan grafik
terhadap sumbu \(x\).
Akibatnya:
- Grafik yang semula meningkat
menjadi menurun.
- Range berubah dari
\((0,\infty)\) menjadi \((-\infty,0)\).
- Asimtot horizontal tetap
\(y=0\).
- Titik potong sumbu \(y\) berubah
dari \((0,1)\) menjadi \((0,-1)\).
4.
Peregangan dan pemampatan vertikal
Misalkan:
\[ f(x)=2^x
\]
dan
\[
g(x)=3\cdot2^x \]
Setiap nilai \(y\) pada grafik \(f\) dikalikan 3. Grafik
\(g\) mengalami peregangan vertikal.
Jika koefisiennya \(\frac12\), seperti pada
\[ h(x)=\frac12\,2^x \]
grafik mengalami pemampatan vertikal.
Untuk \(A>0\), domain dan range tetap sama seperti
fungsi eksponen dasar jika tidak ada pergeseran vertikal. Jika \(A<0\),
grafik juga mengalami pencerminan terhadap sumbu \(x\).
5. Ringkasan transformasi
|
Bentuk
fungsi |
Perubahan |
|
\(a^x+k\) |
Geser
vertikal |
|
\(a^{x-h}\) |
Geser ke
kanan \(h\) satuan |
|
\(a^{x+h}\) |
Geser ke
kiri \(h\) satuan |
|
\(-a^x\) |
Cermin
terhadap sumbu \(x\) |
|
\(A a^x,\
A>1\) |
Peregangan
vertikal |
|
\(A a^x,\
0<A<1\) |
Pemampatan
vertikal |
Contoh
soal 1 — Menganalisis transformasi
Diketahui:
\[
g(x)=2^{x-3}+4 \]
Tentukan
pergeseran grafik, asimtot horizontal, domain, dan range.
Pembahasan:
- \(x-3\) menunjukkan pergeseran
ke kanan 3 satuan.
- \(+4\) menunjukkan pergeseran ke
atas 4 satuan.
- Asimtot horizontal: \(y=4\).
- Domain: \(\mathbb R\).
- Range: \((4,\infty)\).
Titik potong sumbu \(y\) dapat dicari dengan \(x=0\):
\[ g(0)=2^{-3}+4=\frac18+4=\frac{33}{8} \]
Jadi, titik potong sumbu \(y\) adalah
\((0,\frac{33}{8})\).
Contoh soal 2 — Menentukan persamaan dari transformasi
Grafik \(f(x)=3^x\) digeser 2 satuan ke kiri dan 5 satuan
ke bawah. Tentukan persamaan grafik baru.
Pembahasan:
Pergeseran 2
satuan ke kiri menghasilkan \(3^{x+2}\). Pergeseran 5 satuan ke bawah berarti
mengurangi 5.
Jadi,
\[
\boxed{g(x)=3^{x+2}-5} \]
Asimtot
horizontalnya adalah \(y=-5\), domainnya \(\mathbb R\), dan rangenya
\((-5,\infty)\).
BAB 5.
Membandingkan Dua Fungsi Eksponen
Dua fungsi
eksponen dapat dibandingkan melalui persamaan, tabel nilai, maupun grafik.
Misalkan:
\[ f(x)=2^x \]
\[ g(x)=2^{x+1} \]
Karena
\[ g(x)=2\cdot2^x=2f(x) \]
maka nilai \(g(x)\) selalu dua kali nilai \(f(x)\) pada
setiap \(x\).
Contohnya:
|
\(x\) |
\(f(x)=2^x\) |
\(g(x)=2^{x+1}\) |
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
|
2 |
4 |
8 |
|
3 |
8 |
16 |
Perhatikan
bahwa \(g(x)=2^{x+1}\) juga dapat dipahami sebagai grafik \(2^x\) yang bergeser
ke kiri satu satuan. Kedua cara tersebut menghasilkan grafik yang sama.
Contoh soal 3 — Titik perpotongan dua grafik
Tentukan titik perpotongan grafik:
\[ f(x)=2^x \]
dan
\[ g(x)=8 \]
Pembahasan:
Pada titik perpotongan, nilai kedua fungsi sama.
\[ 2^x=8 \]
Karena \(8=2^3\), maka \(x=3\).
Nilai \(y=8\), sehingga titik perpotongannya adalah:
\[ \boxed{(3,8)} \]
Contoh ini memperlihatkan bahwa titik perpotongan grafik
eksponen dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan eksponen.
BAB 6. Latihan Soal
Silakan gunakan soal-soal berikut untuk latihan mandiri,
diskusi kelompok, atau evaluasi pembelajaran.
A. Konsep
grafik
1.
Tentukan
domain dan range dari \(f(x)=4^x\).
2.
Tentukan
titik potong sumbu \(y\) dari \(f(x)=5^x\).
3.
Tentukan
asimtot horizontal dari \(f(x)=2^x+3\).
4.
Apakah
\(f(x)=(\frac14)^x\) meningkat atau menurun? Jelaskan.
5.
Mengapa
grafik \(f(x)=3^x\) tidak pernah memotong sumbu \(x\)?
B.
Transformasi grafik
6.
Jelaskan transformasi grafik
\(g(x)=2^x+4\) terhadap grafik \(f(x)=2^x\).
7.
Tentukan
asimtot horizontal dan range \(g(x)=3^x-2\).
8.
Grafik
\(f(x)=2^x\) digeser ke kanan 3 satuan. Tentukan persamaan barunya.
9.
Grafik
\(f(x)=5^x\) dicerminkan terhadap sumbu \(x\). Tentukan persamaan dan range
fungsi baru.
10.Tentukan domain, range, dan asimtot horizontal dari
\(g(x)=2^{x-1}+3\).
C.
Analisis fungsi
11.Buat tabel nilai \(f(x)=3^x\) untuk \(x=-2,-1,0,1,2\).
12.Tentukan titik potong sumbu \(y\) dari \(f(x)=2^{x+2}-1\).
13.Tentukan
titik perpotongan grafik \(f(x)=3^x\) dan \(g(x)=27\).
14.Sebuah grafik eksponen memiliki asimtot horizontal \(y=2\),
domain \(\mathbb R\), dan range \((2,\infty)\). Apakah \(f(x)=2^x+2\) memenuhi
sifat tersebut? Jelaskan.
15.Grafik
\(f(x)=2^x\) mengalami peregangan vertikal dengan faktor 3, kemudian digeser ke
bawah 2 satuan. Tentukan
persamaan grafik akhirnya.
D.
Tantangan penalaran
16. Dua fungsi diberikan oleh \(f(x)=2^x\) dan
\(g(x)=2^{-x}\). Jelaskan hubungan kedua grafik tersebut.
17. Tentukan persamaan fungsi eksponen yang grafiknya
merupakan grafik \(f(x)=3^x\) yang digeser 2 satuan ke kanan dan 1 satuan ke
atas.
18. Sebuah fungsi eksponen berbentuk \(g(x)=A\cdot2^x+k\)
memiliki asimtot horizontal \(y=3\) dan melalui titik \((0,7)\). Jika
\(A>0\), tentukan nilai \(A\) dan persamaan fungsi tersebut.
Kunci jawaban
Domain \(\mathbb R\), range \((0,\infty)\).
\((0,1)\).
\(y=3\).
Menurun karena \(0<\frac14<1\).
Karena \(3^x>0\) untuk semua \(x\) real.
Bergeser ke atas 4 satuan.
Asimtot \(y=-2\), range \((-2,\infty)\).
\(g(x)=2^{x-3}\).
\(g(x)=-5^x\), range \((-\infty,0)\).
Domain \(\mathbb R\), range \((3,\infty)\), asimtot \(y=3\).
Nilai berturut-turut: \(\frac19,\frac13,1,3,9\).
\((0,3)\), karena \(2^2-1=3\).
\((3,27)\).
Ya. Asimtotnya \(y=2\), domain \(\mathbb R\), dan range \((2,\infty)\).
\(g(x)=3\cdot2^x-2\).
Grafik \(g(x)=2^{-x}\) merupakan pencerminan grafik \(f(x)=2^x\) terhadap sumbu \(y\).
\(g(x)=3^{x-2}+1\).
Karena asimtotnya \(y=3\), diperoleh \(k=3\). Selanjutnya, \(g(0)=A+3=7\), sehingga \(A=4\). Jadi, \(g(x)=4\cdot2^x+3\).