PEMODELAN MATEMATIKA PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL

 

BAB 1. Memahami Model Eksponensial

1. Apa itu model matematika?

Model matematika adalah representasi suatu situasi nyata menggunakan simbol, persamaan, tabel, atau grafik.

Contohnya, sebuah koloni bakteri mula-mula terdiri atas 100 bakteri. Setiap jam jumlahnya menjadi dua kali lipat.

Tabel pertumbuhannya:

Waktu (jam)	Jumlah bakteri
0	100
1	200
2	400
3	800
4	1.600

Kita melihat bahwa jumlah bakteri dikalikan 2 setiap jam. Model matematikanya adalah

N(t)=100⋅2tN(t)=100⋅2t​

Keterangan:

• N(t)N(t) = jumlah bakteri setelah tt jam.
• 100 = jumlah awal.
• 2 = faktor pengali setiap jam.
• tt = waktu dalam jam.

Inilah ciri utama model eksponensial: perubahan dihitung berdasarkan faktor pengali, bukan penambahan tetap.

2. Perbedaan pertumbuhan linear dan eksponensial

Misalkan ada dua koloni bakteri yang mula-mula berjumlah 100.

• Koloni A bertambah 100 bakteri setiap jam.
• Koloni B menjadi dua kali lipat setiap jam.

Waktu (jam)	Koloni A: linear	Koloni B: eksponensial
0	100	100
1	200	200
2	300	400
3	400	800
4	500	1.600
5	600	3.200

Model koloni A:

L(t)=100+100tL(t)=100+100t

Model koloni B:

E(t)=100⋅2tE(t)=100⋅2t

Apa yang membedakan keduanya?

• Pertumbuhan linear memiliki selisih tetap dalam setiap periode.
• Pertumbuhan eksponensial memiliki rasio atau faktor pengali tetap dalam setiap periode.

Pada awalnya kedua koloni berkembang dengan jumlah yang sama. Namun, pertumbuhan eksponensial akhirnya jauh lebih cepat.

3. Rumus umum pertumbuhan eksponensial

Jika suatu kuantitas mula-mula sebesar N0N0​ dan bertambah dengan laju rr setiap periode, modelnya adalah

N(t)=N0(1+r)tN(t)=N0​(1+r)t​

dengan:

• N0N0​ = nilai awal.
• rr = laju pertumbuhan dalam bentuk desimal.
• tt = jumlah periode.
• N(t)N(t) = nilai setelah tt periode.

Contoh: pertumbuhan 15% berarti r=0,15r=0,15, sehingga faktor pengalinya adalah 1,151,15.

4. Rumus umum peluruhan eksponensial

Jika suatu kuantitas berkurang dengan laju rr setiap periode, modelnya adalah

N(t)=N0(1−r)tN(t)=N0​(1−r)t​

dengan 0<r<10<r<1.

Contoh: penurunan 20% berarti faktor pengalinya 1−0,20=0,801−0,20=0,80.

Penting: persentase pertumbuhan atau penurunan dihitung dari nilai pada periode sebelumnya, bukan selalu dari nilai awal.

BAB 2. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 — Pertumbuhan populasi

Sebuah populasi serangga mula-mula berjumlah 500 ekor. Jumlahnya meningkat 20% setiap minggu. Berapa jumlahnya setelah 4 minggu jika pola pertumbuhan tersebut tetap?

Langkah 1: Tentukan model.

N(t)=N0(1+r)tN(t)=N0​(1+r)t

Diketahui N0=500N0​=500, r=0,20r=0,20, dan t=4t=4.

Langkah 2: Substitusikan nilai.

N(4)=500(1,2)4=500(2,0736)=1.036,8N(4)​=500(1,2)4=500(2,0736)=1.036,8​

Jadi, model memprediksi sekitar 1.037 ekor setelah 4 minggu. Karena jumlah serangga harus berupa bilangan bulat, hasil model dibulatkan untuk interpretasi.

Contoh 2 — Penyusutan harga kendaraan

Harga sebuah kendaraan baru adalah Rp200.000.000. Nilainya diperkirakan turun 15% setiap tahun. Berapa nilai kendaraan setelah 3 tahun menurut model tersebut?

Faktor penyusutan:

1−0,15=0,851−0,15=0,85

Model:

V(t)=200.000.000(0,85)tV(t)=200.000.000(0,85)t

Setelah 3 tahun:

V(3)=200.000.000(0,85)3=200.000.000(0,614125)=122.825.000V(3)​=200.000.000(0,85)3=200.000.000(0,614125)=122.825.000​

Jadi, nilai perkiraannya adalah Rp122.825.000.

Contoh 3 — Menentukan waktu pertumbuhan

Jumlah bakteri mula-mula 400. Jumlahnya menjadi dua kali lipat setiap 3 jam. Kapan jumlah bakteri mencapai 6.400?

Model:

N(t)=400⋅2t/3N(t)=400⋅2t/3

Kita mencari tt ketika N(t)=6.400N(t)=6.400.

400⋅2t/3=6.400400⋅2t/3=6.400

2t/3=16=242t/3=16=24

Maka:

t3=43t​=4

t=12 jamt=12 jam​

Contoh 4 — Menentukan waktu dengan logaritma

Tidak semua persoalan dapat diselesaikan dengan menyamakan basis secara langsung. Dalam kasus seperti ini, kita dapat menggunakan logaritma.

Sebuah investasi bertumbuh 8% per tahun secara majemuk. Berapa lama waktu yang dibutuhkan agar modal awal menjadi dua kali lipat?

Modelnya:

2=(1,08)t2=(1,08)t

Ambil logaritma pada kedua ruas:

log⁡2=tlog⁡(1,08)log2=tlog(1,08)

Sehingga:

t=log⁡2log⁡(1,08)t=log(1,08)log2​

Dengan kalkulator diperoleh:

t≈9,01 tahunt≈9,01 tahun

Jadi, waktu penggandaan secara matematis sekitar 9,01 tahun. Jika bunga hanya dibukukan sekali setiap tahun dan kita mencari akhir tahun pertama ketika modal sudah sekurang-kurangnya dua kali lipat, diperlukan 10 tahun penuh.

Contoh ini menunjukkan hubungan antara eksponen dan logaritma: eksponen digunakan untuk menghitung nilai akhir, sedangkan logaritma membantu menentukan waktu.

BAB 3. Eksplorasi Interaktif: Pertumbuhan dan Peluruhan

Mari kita buat percobaan sederhana. Ibu dan peserta didik dapat mengubah nilai awal, persentase perubahan, dan waktu untuk melihat bagaimana hasilnya berubah.

Laboratorium Eksponen

Ubah parameter dan amati nilai setiap periode. Model mengasumsikan persentase perubahan tetap.

Nilai awal

1.000

100

2.500

5.000

Persentase per periode

10%

1%

15%

30%

Banyak periode

5

1

5

10

Pertumbuhan

Peluruhan

Model matematika

N(t) = 1.000 × 1,1ᵗ

Faktor pengali: 1,1

Nilai setelah 5 periode

1.610,51

Pertumbuhan total: 61,05%

Tabel perkembangan

Periode	Nilai
0	1.000
1	1.100
2	1.210
3	1.331
4	1.464,1
5	1.610,51

Grafik perkembangan

Sumbu horizontal menunjukkan periode; sumbu vertikal menunjukkan nilai. Skala vertikal disesuaikan agar perkembangan terlihat.

Pertanyaan eksplorasi

1. Jika persentase pertumbuhan naik dari 5% menjadi 20%, apa yang terjadi pada nilai akhir?
2. Jika nilai awal diperbesar dua kali, bagaimana perubahan nilai akhir?
3. Pada model peluruhan, mengapa nilai selalu semakin kecil tetapi tetap positif?
4. Apakah pertumbuhan eksponensial dapat berlangsung tanpa batas di dunia nyata? Jelaskan faktor yang mungkin membatasi pertumbuhan.

BAB 4. Aktivitas Laboratorium Matematika

Aktivitas ini dapat dilakukan secara berkelompok dengan kalkulator atau spreadsheet.

Aktivitas 1 — Pertumbuhan yang mengejutkan

Masalah: Dua rekening simulasi dimulai dengan saldo Rp1.000.000.

• Rekening A bertambah Rp100.000 setiap tahun.
• Rekening B bertambah 10% setiap tahun secara majemuk.

Tugas peserta didik:

1. Buat tabel saldo kedua rekening selama 10 tahun.
2. Tentukan model matematika untuk setiap rekening.
3. Gambarkan kedua grafik dalam satu bidang koordinat.
4. Tentukan kapan saldo rekening B melampaui saldo rekening A.
5. Jelaskan mengapa kedua model memberikan hasil yang semakin berbeda.

Model yang digunakan:

A(t)=1.000.000+100.000tA(t)=1.000.000+100.000t

B(t)=1.000.000(1,1)tB(t)=1.000.000(1,1)t

Sebagai petunjuk, peserta didik dapat membandingkan kedua model untuk t=0,1,2,…,10t=0,1,2,…,10.

Aktivitas 2 — Menyelidiki waktu paruh

Masalah: Sebuah sampel zat memiliki massa awal 128 gram dan massa yang tersisa menjadi setengah setiap 4 jam.

Peserta didik diminta untuk:

1. Menentukan model peluruhan.
2. Membuat tabel massa zat selama 20 jam.
3. Menggambar grafik massa terhadap waktu.
4. Menentukan kapan massa zat menjadi 16 gram.
5. Menjelaskan mengapa pengurangan massa dalam gram tidak tetap setiap 4 jam, meskipun persentase penurunannya tetap.

Model:

M(t)=128(12)t/4M(t)=128(21​)t/4

Aktivitas ini membantu peserta didik melihat bahwa peluruhan eksponensial memiliki selisih absolut yang berubah, tetapi rasio yang tetap pada interval waktu yang sama.

BAB 5. Latihan Soal

A. Pemahaman konsep

1. Jelaskan perbedaan pertumbuhan linear dan pertumbuhan eksponensial.
2. Tuliskan model pertumbuhan untuk populasi awal 800 orang yang bertambah 5% setiap tahun.
3. Tuliskan model peluruhan untuk sebuah benda yang nilainya turun 12% setiap tahun dari nilai sebelumnya.
4. Apa arti faktor pengali 1,25 dalam model eksponensial?
5. Apa arti faktor pengali 0,7 dalam model eksponensial?

B. Perhitungan dan pemodelan

6. Populasi awal sebuah kota kecil adalah 20.000 orang dan meningkat 3% per tahun. Perkirakan populasi setelah 5 tahun.

7. Sebuah investasi sebesar Rp8.000.000 memperoleh bunga majemuk 6% per tahun. Tentukan nilai investasi setelah 4 tahun.

8. Harga sebuah mesin adalah Rp50.000.000. Nilainya menyusut 8% setiap tahun. Berapa nilai mesin setelah 3 tahun?

9. Jumlah bakteri mula-mula 600 dan menjadi tiga kali lipat setiap 2 jam. Berapa jumlah bakteri setelah 8 jam?

10. Suatu zat bermassa awal 240 gram memiliki waktu paruh 6 jam. Berapa massa yang tersisa setelah 18 jam?

C. Persamaan dan pertidaksamaan kontekstual

11. Jumlah bakteri mula-mula 200 dan menjadi dua kali lipat setiap jam. Berapa waktu yang dibutuhkan agar jumlahnya mencapai 12.800?

12. Sebuah populasi dimodelkan dengan P(t)=1.000(1,5)tP(t)=1.000(1,5)t. Tentukan waktu ketika populasi pertama kali melebihi 7.500 berdasarkan periode bulat.

13. Nilai suatu mesin dimodelkan dengan V(t)=40.000.000(0,8)tV(t)=40.000.000(0,8)t. Setelah berapa tahun nilainya kurang dari Rp10.000.000?

14. Tabungan sebesar Rp5.000.000 mendapat bunga majemuk 4% per tahun. Berapa lama waktu yang diperlukan agar tabungan mencapai sekurang-kurangnya Rp6.000.000? Gunakan logaritma jika diperlukan.

D. Soal tantangan

15. Dua populasi dimodelkan sebagai berikut:

P(t)=500(1,2)tP(t)=500(1,2)t

Q(t)=800(1,1)tQ(t)=800(1,1)t

Tentukan populasi mana yang lebih besar setelah 5 periode. Jelaskan apakah populasi yang awalnya lebih kecil selalu akan tetap lebih kecil.

16. Sebuah perangkat memiliki nilai awal Rp12.000.000. Nilainya berkurang 15% per tahun.

a. Buat model matematikanya.

b. Tentukan nilainya setelah 4 tahun.

c. Tentukan tahun pertama ketika nilainya kurang dari Rp5.000.000.

17. Sebuah populasi mengikuti model N(t)=N0(1+r)tN(t)=N0​(1+r)t. Jelaskan cara menentukan rr jika nilai awal, nilai akhir, dan waktu diketahui.

BAB 6. Kunci Jawaban

BAB 7. Refleksi Pembelajaran

Ajak peserta didik menjawab pertanyaan berikut secara tertulis.

1. Apa ciri utama yang membedakan model eksponensial dari model linear?
2. Bagaimana cara menentukan faktor pengali jika persentase perubahan diketahui?
3. Mengapa nilai yang berkurang 20% setiap tahun tidak berarti selalu berkurang dengan jumlah rupiah yang sama?
4. Kapan model eksponensial dapat digunakan untuk memprediksi keadaan nyata, dan kapan model tersebut perlu diperbaiki?
5. Bagaimana matematika membantu kita mengambil keputusan dalam menabung, mengelola sumber daya, atau memahami perubahan populasi?

Nilai karakter: peserta didik belajar berpikir kritis, teliti menggunakan data, dan bertanggung jawab dalam menafsirkan hasil perhitungan sebelum mengambil keputusan.

Ringkasan materi

Rumus penting

Pertumbuhan eksponensial

N(t)=N0(1+r)tN(t)=N0​(1+r)t

Peluruhan eksponensial

N(t)=N0(1−r)tN(t)=N0​(1−r)t

Peluruhan dengan waktu paruh

N(t)=N0(12)t/TN(t)=N0​(21​)t/T

Menentukan waktu menggunakan logaritma

Jika N=N0atN=N0​at, maka:

t=log⁡(N/N0)log⁡at=logalog(N/N0​)​

Rumus waktu tersebut berlaku untuk a>0a>0, a≠1a=1, dan rasio N/N0>0N/N0​>0.