Fungsi Kuadrat

Sebuah fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan suatu himpunan ke himpunan lain dengan suatu aturan atau formula tertentu. Misalnya fungsi f(x)=3x. Fungsi ini memberi nilai variabel kita sebut y tergantung dari nilai x. Misalnya nilai x=2 maka nilai y adalah 6, jika nilai x=2 maka nilai y   adalah 12, jika x=5, maka nilai y adalah 15, dan seterusnya. Hal ini menunjukkan bahwa nilai variabel y tergantung dari nilai variabel x. Variabel x disebut variabel bebas, sedangkan variabel y disebut variabel tak bebas. Kita dapat menulis fungsi tersebut menjadi y=3x.

Hubungan antara variabel x dan y dapat dibuat dalam grafik Cartesius. Ketika kita belajar materi persamaan linear kita telah membuktikan bahwa grafik fungsinya berbentuk garis lurus, sehingga kita dapat menggambarkannya walaupun hanya dengan mendapat 2 buah titik koordinatnya.

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang formulanya merupakan suatu persamaan kuadrat. Untuk melihat hubungan antara variabel x dan variabel y kita dapat membuatnya dalam sebuah tabel dan menggambarkannya dalam grafik Cartesius.


Pada gambar di atas dapat dilihat dengan jelas bahwa grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Sehingga kita tidak dapat langsung mengetahui bentuknya hanya dengan 2 titik seperti fungsi linear. Untuk membuat grafik fungsi kuadrat kita daoat berpedoman dengan beberapa hal berikut:

  • parabola terbuka ke atas atau ke bawah
  • titik potong grafik dengan sumbu-y
  • titik potong grafik dengan sumbu-x    
  • titik kritis (titik maksimum/titik minimum) 
  • titik lain selain titik-titik di atas.
Contohnya pada gambar berikut:

Parabola terbuka ke atas/bawah

Untuk mengetahui apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah perhatikan video berikut!

Dari video di atas dapat dilihat semua persamaan kuadrat yang koefisien x kuadratnya atau nilai a positif, parabola terbuka ke atas, sedangkan yang koefisien x kuadratnya negatif, parabola terbuka ke bawah. Contoh gambarnya sebagai berikut:

Dari gambar di atas dapat kita lihat selain menentukan parabola terbuka ke atas atau ke bawah, juga dapat dilihat bahwa semakin besar nilai mutlak dari koefisen x kuadrat atau |a| (tanda mutlak || berarti selalu positif meskipun di depannya ada tanda negatif), maka parabola semakin menguncup, sebaliknya semakin kecil nilai |a|, parabola semakin terbuka.

Titik potong grafik dengan sumbu-y

Untuk mengetahui di mana titik potong grafik dengan sumbu-y, perhatikan gambar berikut!

Dengan aplikasi kita dapat melihat hasilnya sebagai berikut:



Contohnya sebagai berikut:

Titik potong dengan sumbu-x

Sebuah grafik akan memotong sumbu-x jika nilai ordinatnya atau nilai y=0, sehingga di dapat persmaan kuadrat.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dipelajari lebih detail pada materi persamaan kuadrat.
Seperti yang sudah dipelajari pada materi persamaan kuadrat, tidaksemua persamaan kuadrat memilki penyelesaian bilangan real. begitu juga pada grafik fungsi kuadrat, tidak semuanya memotong sumbu-x. Hal ini dapat diselidiki dari nilai diskriminannya. Jika nilai diskriminan kurang dari 0, maka grafik tidak memotong sumbu-x. Jika nilai diskriminannya sama dengan 0, maka terdapat satu nilai x yang memenuhi untuk y=0, berarti grafik memotong sumbu-x hanya di satu titik. Sedangkan jika nilai diskriminan lebih dari 0, maka untuk y=0 didapat 2 nilai x, sehingga grafik memotong sumbu-x di 2 titik.

Berikut contoh fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu-x

Kita hitung nilai diskriminannya kurang dari nol. Sehingga, bagaimanapun kita tidak akan pernah menemukan nilai x yang membuat nilai fungsi y sama dengan 0.
Berikut ini adalah contoh fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di satu titik.
Nilai diskriminannya sama dengan 0, sehingga terdapat satu titik yang mengakibatkan nilai y sama dengan 0, yaitu di titik A (-1, 0)
Berikut ini adalah contoh fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di dua titik. 

Titik kritis (titik maksimum/minimum)

Titik kritis pada parabola adalah titik yang paling rendah atau titik yang paling tinggi pada grafik, bisa disebut juga titik puncak. Perhatikan persamaan kuadrat berikut dan perhatikan koordinat titik puncak pada grafiknya.

Pada video di atas bentuk persamaan kuadratnya diubah sedikit menjadi y=a(x-p)²+q  dan hasilnya titik kritisnya berada di titik (p, q). 

Dengan pertimbangan di atas, maka untuk menemukan titik kritis fungsi kuadrat, kita perlu mengubah bentuk umumnya y=ax²+px+c menjadi y=a(x-p)²+q. Berikut ini prosesnya. Tapi kalian harus terampil dulu dalam menyelesaikan persamaan aljabar, ya. Untuk mengingatnya silakan dilihat kembali pada materi persamaan aljabar. 
Berikut contohnya
Inilah hasil grafiknya.

Dari titik puncak yang diketahui kita juga dapat melihat sumbu simetri dan persamaannya, serta nilai minimum/maksimum.

Contohnya sebagai berikut:

Titik-titik pada fungsi kuadrat

Selain titik-titik yang wajib dicari seperti penjelasan sebelumnya, ada baiknya kita menambah dengan titik-titik lain yang dilalui oleh grafik agar kita dapat membuat grafik fungsi kuadrat dengan tepat. 
Titik-titik yang dilalui oleh grafik adalah titik-titik yang pasangan koordinatnya memenuhi persamaan dari fungsi.
Contohnya sebagai berikut: