Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang salah satu variabelnya berpangkat 2 dan merupakan pangkat terbesar dalam persamaan tersebut. Contohnya sebagai berikut:
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Penyelesaian dari persamaan kuadrat merupakan nilai dari variabel persamaan kuadrat yang membuat pernyataannya menjadi benar. Pada contoh berikut nilai x=─ 5 merupakan penyelesaian dari x² +4x ─ 5 = 0 karena jika nilai x=-5 disubstitusikan ke persamaan kuadrat x² +4x ─ 5 = 0 menjadi (-5)² +4(─5)─ 5 = 0 sehingga 25─20─5=0 merupakan pernyataan yang benar.
Pada contoh di atas nilai x= ─ 5 merupakan penyelesaian dari x² + 4x ─ 5 = 0 karena jika nilai x= ─ 5 disubstitusikan ke persamaan kuadrat x² + 4x ─ 5 = 0 menjadi (-5)² + 4(-5) ─ 5 = 25 ─ 20 ─ 5=0 merupakan pernyataan yang benar.
Begitu juga nilai x= 1 merupakan penyelesaian dari x² + 4x ─ 5 = 0 karena jika nilai x=1 disubstitusikan ke persamaan kuadrat x² + 4x ─ 5 = 0 menjadi (1)² + 4(1) ─ 5 = 1 + 4 ─ 5=0 merupakan pernyataan yang benar.
Pada contoh di atas nilai x=3 merupakan penyelesaian dari x² ─ 9 = 0 karena jika nilai x=3 disubstitusikan ke persamaan kuadrat x² ─ 9 = 0 menjadi 3² ─ 9 = 0 merupakan pernyataan yang benar.
Pada contoh di atas nilai x=─3 juga merupakan penyelesaian dari x² ─ 9 = 0 karena jika nilai x=─3 disubstitusikan ke persamaan kuadrat x² ─ 9 = 0 menjadi (-3)² ─ 9 = 0 merupakan pernyataan yang benar.
Ada beberapa cara untuk menemukan penyelesaian dari persamaan kuadrat. Salah satunya dengan cara menfaktorisasikan. Kita perlu mengingat kembali apa yang dimaksud dengan faktorisasi. Tentu kalian tahu bahwa bilangan 12 dapat ditulis menjadi 1x12 atau 2 x 6 atau 3 x 4. Sehingga 1, 2, 3. 4, 6, dan 12 merupakan faktor-faktor dari 12. Penulisan 12 ke dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya disebut faktorisasi dari 12.
a. Faktorisasi Persamaan Kuadrat
Nah, sekarang bagaimana bentuk faktorisasi dari persamaan kuadrat? Untuk melakukan faktorisasi aljabar, terlebih dahulu kita perlu mengingat kembali materi perkalian aljabar. Dalam perkalian aljabar, jika kita melakukan operasi perkalian aljabar suku dua misalnya x +5 dengan x ─ 1, maka hasilnya adalah x² + 4x ─ 5 = 0. merupakan bentuk persamaan kuadrat.
Nah, dalam proses faktorisasi kita mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya. Berikut contoh-contohnya persamaan kuadrat dan bentuk faktorisasinya.
Mula-mula kita buat tabel, dimana 4 sel yang berada di dalam segi empat tebal merupakan hasil kali dari sel yang lurus paling atas dengan sel yang berada lurus paling kiri sel tersebut.
Contoh a.1:
Mula-mula, pada tabel kita tempatkan x² dan -5 secara diagonal. Karena x² merupakan hasil kali x dengan x, kita isikan sel paling atas x dan paling kiri x (yang berwarna merah).
Masih terdapat 2 sel yang kosong. Sebelum diisi kita cari terlebih dahulu 2 bilangan yang hasil penjumlahannya sama dengan koefisien x yaitu 4, sedangkan hasil kalinya yaitu -5 yang merupakan hasil kali koefisien x² yaitu 1 dengan konstanta yaitu -5 , menjadi 1 x -5 = -5 . Kedua bilangan itu adalah p= -5 dan q= 1 sehingga sel yang berada pada kotak itu kita input -5x dan x.
Jika kita sudah mengisi sel-sel yang berada di dalam kotak tebal, kita tinggal melengkapi sel yang paling atas dan paling kiri agar hasilnya sama dengan bilangan yang berada dalam sel-sel di dalam kotak segi empat tebal. Didapatlah 2 suku paling atas yaitu (x+5) dan 2 suku paling kiri yaitu (x-1).
Sehingga x² + 4x -5
= 0 dapat ditulis menjadi (x+5) (x-1)=0.
Setelah kita berhasil menemukan bentuk faktorisasinya, mari kita menemukan penyelesaiannya.
Kita tahu bahwa jika dua buah bilangan dikalikan hasilnya 0, maka salah satu bilangan pastilah 0. Contohnya: a x b = 0 maka a=0 atau b=0.
Demikian juga jika (x+5)(x-1)=0, maka x+5=0 sehingga x=-5 , atau x-1= 0 sehingga x=1
Jadi kita berhasil menemukan 2 buah penyelesaian dari x² + 4x -5 = 0 yaitu x=-5 atau x=1. Himpunan penyelesaiannya adalah {-5, 1}
Untuk mengecek kebenaran jawabannya, mari kita substitusikan x=-5 dan x=1 ke persamaaan x² + 4x -5 = 0.
Untuk x=-5 hasil substitusinya (-5)² + 4(-5) -5 =0 didapat 25-20-5=0 merupakan pernyataan yang benar.
Untuk x=1 hasil substitusinya (1)² + 4(1) -5 =0 didapat 1+4-5=0 merupakan pernyataan yang benar.
Terbukti jawaban kita valid.
Contoh a.2:
Sekarang kita mencoba mencari penyelesaian dari persamaan kuadrat yang hanya memiliki variabel x² dan konstanta. Contohnya x² - 9 = 0
Mula-mula, pada tabel kita tempatkan x² dan -9 secara diagonal. Karena x² merupakan hasil kali x dengan x, kita isikan sel paling atas x dan paling kiri x (yang berwarna kuning).
Masih terdapat 2 sel yang kosong. Sebelum diisi kita cari terlebih dahulu 2 bilangan yang hasil penjumlahannya sama dengan koefisien x yaitu 0, sedangkan hasil kalinya yaitu -9 yang merupakan hasil kali koefisien x² yaitu 1 dengan konstanta yaitu -9 , menjadi 1 x -9 = -9 . Kedua bilangan itu adalah p= -3 dan q= 3 sehingga sel yang berada pada kotak itu kita input -3x dan 3x.
Jika kita sudah mengisi sel-sel yang berada di dalam kotak tebal, kita tinggal melengkapi sel yang paling atas dan paling kiri agar hasilnya sama dengan bilangan yang berada dalam sel-sel di dalam kotak segi empat tebal. Didapatlah 2 suku paling atas yaitu (x+3) dan 2 suku paling kiri yaitu (x-3).
Sehingga x² - 9= 0 dapat ditulis menjadi (x+3) (x-3)=0.
Cara lain, kita dapat menerapkan rumus (x+a) (x-a)=x² - a².
Karena x² - 9= 0 dapat ditulis x² - 3²=0, sehingga bentuk faktorisasinya adalah (x+3) (x-3)=0
Setelah kita berhasil menemukan bentuk faktorisasinya, mari kita menemukan penyelesaiannya.
Kita tahu bahwa jika dua buah bilangan dikalikan hasilnya 0, maka salah satu bilangan pastilah 0. Contohnya: a x b = 0 maka a=0 atau b=0.
Demikian juga jika (x+3)(x-3)=0, maka x+3=0 sehingga x=-3 , atau x-3= 0 sehingga x=3
Jadi kita berhasil menemukan 2 buah penyelesaian dari x² -9 = 0 yaitu x=-3 atau x=3. Himpunan penyelesaiannya adalah {-3, 3}
Contoh a.3:
Bagaimana jika persamaan kuadratnya tidak memilki konstanta? Contohnya 2x² + 8x=0.
Mula-mula, pada tabel kita tempatkan 2x² dan 0 secara diagonal. Karena x² merupakan hasil kali x dengan x, kita isikan sel paling atas 2x dan paling kiri x (yang berwarna kuning).
Masih terdapat 2 sel yang kosong. Sebelum diisi kita cari terlebih dahulu 2 bilangan yang hasil penjumlahannya sama dengan koefisien x yaitu 8, sedangkan hasil kalinya yaitu 0 yang merupakan hasil kali koefisien x² yaitu 2 dengan konstanta yaitu 0 , menjadi 2 x 0 =0. Kedua bilangan itu adalah p= 8 dan q= 0 sehingga sel yang berada pada kotak itu kita input 8x dan 0. Perhatian, jangan sampai terbalik, 8x harus lurus dengan 2x karena 2x merupakan faktor dari 8x bukan 0.
Jika kita sudah mengisi sel-sel yang berada di dalam kotak tebal, kita tinggal melengkapi sel yang paling atas dan paling kiri agar hasilnya sama dengan bilangan yang berada dalam sel-sel di dalam kotak segi empat tebal. Didapatlah 2 suku paling atas yaitu (2x+0)= 2x dan 2 suku paling kiri yaitu (x+4).
Sehingga 2x² +8x= 0 dapat ditulis dalam bentuk faktorisasi menjadi 2x(x+4) =0.
Cara lain dengan hukum distributif. yaitu a(b+c) = ab + ac.
Karena faktor persekutuan dari 2x² dan 8x adalah 2x. Sehingga sesuai hukum distributif kita dapat membentuk persamaan 2x² +8x=0 menjadi 2x(x+8)=0
Setelah kita berhasil menemukan bentuk faktorisasinya, mari kita menemukan penyelesaiannya.
Kita tahu bahwa jika dua buah bilangan dikalikan hasilnya 0, maka salah satu bilangan pastilah 0. Contohnya: a x b = 0 maka a=0 atau b=0.
Demikian juga jika 2x(x+8)=0, maka 2x=0 sehingga x=0, atau x+8= 0 sehingga x=-8
Jadi kita berhasil menemukan 2 buah penyelesaian dari 2x² +8x=0 yaitu x=0 atau x=-8. Himpunan penyelesaiannya adalah {-8, 0}
Contoh a.4:
Agar lebih paham, yuk kita coba mengerjakan persamaan kuadrat lainnya. Contohnya sebagai berikut:
Mula-mula, pada tabel kita tempatkan 3x² dan 8 secara diagonal. Karena 3x² merupakan hasil kali 3x dengan x, kita isikan sel paling atas 3x dan paling kiri x (yang berwarna merah).
Masih terdapat 2 sel yang kosong. Sebelum diisi kita cari terlebih dahulu 2 bilangan yang hasil penjumlahannya sama dengan koefisien x yaitu -10, sedangkan hasil kalinya yaitu 24 yang merupakan hasil kali koefisien x² yaitu 3 dengan konstanta yaitu 8 , dimana 3 x 8 = 24 . Kedua bilangan itu adalah p= -6 dan q= -4 sehingga sel yang masih kosong di dlam segiempat tebal, dapat kita input -6x dan -4x. Ingat penempatan 6x dan 4x jangan terbalik. Kita tempatkan 6x pada sel yang lurus dengan 3x bilangan yang merupakan faktornya. Karena 3x bukan faktor dari 4x maka jangan posisikan 4x lurus dengan 3x.
Jika kita sudah mengisi sel-sel yang berada di dalam kotak tebal, kita tinggal melengkapi sel yang paling atas dan paling kiri agar hasilnya sama dengan bilangan yang berada dalam sel-sel di dalam kotak segi empat tebal. Didapatlah 2 suku paling atas yaitu (3x-4) dan 2 suku paling kiri yaitu (x-2), inilah faktor-faktor dari 3x² + 4x -5 = 0. Sehingga 3x² + 4x -5 = 0 dapat ditulis menjadi bentuk penfaktoran yaitu (3x-4) (x-2)=0.
Setelah kita berhasil menemukan bentuk faktorisasinya, mari kita menemukan penyelesaiannya.
Kita tahu bahwa jika dua buah bilangan jika dikalikan hasilnya 0, maka salah satu bilangan pastilah 0. Contohnya: a x b = 0 maka a=0 atau b=0.
Demikian juga jika (3x-4)(x-2)=0, maka 3x-4=0 sehingga x=4/3=1 1/3 , atau x-2= 0 sehingga x=2
Jadi kita berhasil menemukan 2 buah penyelesaian dari 3x² - 10x + 8 = 0 yaitu x=1 1/3 atau x=2 Himpunan penyelesaiannya adalah {1 1/3, 2}
Contoh a.5:
Berikut contoh lainnya.
Mula-mula, pada tabel kita tempatkan x² dan 16 secara diagonal. Karena x² merupakan hasil kali x dengan x, kita isikan sel paling atas x dan paling kiri x (yang berwarna kuning).
Masih terdapat 2 sel yang kosong. Sebelum diisi kita cari terlebih dahulu 2 bilangan yang hasil penjumlahannya sama dengan koefisien x yaitu 8, sedangkan hasil kalinya yaitu 16 yang merupakan hasil kali koefisien x² yaitu 1 dengan konstanta yaitu 16 , sehingga 1 x 16 =16. Kedua bilangan itu adalah p=4 dan q=4 sehingga sel yang berada pada kotak itu kita input 4x dan 4x.
Jika kita sudah mengisi sel-sel yang berada di dalam kotak tebal, kita tinggal melengkapi sel yang paling atas dan paling kiri agar hasilnya sama dengan bilangan yang berada dalam sel-sel di dalam kotak segi empat tebal. Didapatlah 2 suku paling atas yaitu (x+4) dan 2 suku paling kiri yaitu (x+4), inilah faktor-faktor dari x² + 8x +16= 0. Sehingga x² + 8x +16 = 0 dapat ditulis menjadi bentuk penfaktoran yaitu (x+4) (x+4)=0 atau dapat ditulis dalam bentuk kuadrat sempurna (x+4)² =0. Sehingga hanya ada sebuah penyelesaian atau dikatakan 2 penyelesaian yang sama/kembar yaitu x=-4
b. Melengkapi kuadrat sempurna
Untuk menemukan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat, kita dapat juga menggunakan cara melengkapi kuadrat sempurna. Namun kita perlu belajar terlebih dahulu tentang pemangkatan pada suku dua aljabar. Yaitu (x+a)² = x² + 2ax +a².
Contohnya sebagai berikut:
Contoh b.1:
Perhatikan bahwa koefisien dari x adalah 2a. Maka untuk menemukan nilai a didapat dari koefisien x dibagi 2. Pada contoh di atas a = 3 didapat dari 6 : 2 = 3.
Tetapi ketika kita membentuk menjadi kuadrat sempurna selalu menghasilkan konstanta sebesar a², maka jika soal tidak memiliki kosntanta a², maka pada saat membentuk kuadrat sempurna kita kurangkan dengan a² agar persamaannya sama dengan persamaan kuadrat dari soal. Sehingga berdasarkan soal di atas kita kurangkan dengan 3²
Kemudian ketika kita mendapatkan persamaan x²=k maka terdapat 2 nilai x yaitu √k dan -√k atau dapat ditulis ±√k. Demikian juga pada soal di atas ketika (x+3)²=9 maka (x+3)=±√9 atau (x+3)=±3. Sehingga terdapat 2 penyelesaian yaitu x=-3+3=0 atau x=-3-3=-6. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 6}
Kita cek validitas dari jawabannya untuk x=0 pada x² + 6x =0² + 6·0=0 merupakan pernyataan yang benar. Sedangkan untuk x=-6 didapat x² + 6x =(-6)² + 6(-6)=36-36=0 juga merupakan pernyataan yang benar, sehingga jawabannya valid.
Contoh b.2:
Perhatikan bahwa koefisien dari x adalah -8. Maka untuk menemukan nilai a didapat dari koefisien x dibagi 2 yaitu -8 : 2 = -4.
Karena soal tidak memiliki kosntanta a², maka kita kurangkan dengan 4² agar persamaannya sama dengan persamaan kuadrat dari soal.
Kemudian kita dapatkan (x-4)²=16 maka (x-4)=±√16 atau (x-4)=±4. Sehingga terdapat 2 penyelesaian yaitu x=4+4=8 atau x=4-4=0. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 8}
Perhatikan bahwa koefisien dari x adalah -8. Maka untuk menemukan nilai a didapat dari koefisien x dibagi 2 yaitu -8 : 2 = -4.
Soal memiliki konstanta 16 sama dengan a²=4², maka tidak perlu lagi dikurangkan dengan a² .
Kita dapatkan (x-4)²=0 maka (x-4)=4.Hanya terdapat satu penyelesaian atau dikatakan terdapat 2 penyelesaian yang kembar/sama. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4}
Perhatikan bahwa koefisien dari x adalah 4. Maka untuk menemukan nilai a didapat dari koefisien x dibagi 2 yaitu 4 : 2 = 2.
Soal memiliki konstanta yang tidak sama dengan a²=2², maka kita perlu kurangkan dengan 2² .
Perhatikan bentuk (x+2)²-4 hanya untuk x²+4x sehingga kita tetap harus menyertakan -5 sesuai soal menjadi (x+2)²-4-5=0
Kita dapatkan (x+2)²=9 maka (x+2)=±√9. atau (x+2)=±3. Sehingga terdapat 2 penyelesaian yaitu x=-2+3=1 atau x=-2-3=-5. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5, 1}
Contoh b.5
Pertama kita menggunakan hukum distributif sehingga koefisien x² berada di luar kurung. Kemudian yang berada di dalam kurung menjadi persamaan kuadrat yang koefisennya 1.
Proses selanjutnya sama dengan strategi yang dilakukan pada contoh-contoh sebelumnya. Sehingga didapat sebagai berikut
c. Rumus abc
Selanjutnya kita akan mencoba mencari rumus penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. Cukup panjang, tapi kita harus tetap tekun ya, agar kita paham bahwa semua rumus didapat melalui proses.
Akhirnya kita temukan rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumus di atas dikenal dengan rumus abc. Rumus yang ada di dalam akar disimbolkan dengan huruf D = Diskriminan.
Dari nilai diskriminan dapat diketahui bahwa jika D > 0 akar-akar penyelesaiannya merupakan bilangan real dan berlainan. Jika D = 0 maka akar-akarnya hanya satu atau dikatakan akar-akarnya bialnagn kembar karena sama, sedangkan jika D < 0 tidak mempunyai akar real. Akarnya adalah bilangan imajiner yaitu bilangan akar negatif yang pada kenyataannya tidak ada dalam kehidupan sehari-hari, hanya digunakan dalam pembelajaran matematika tingkat lanjut.
d. Penjumlahan, Selisih, dan Perkalian akar-akar Persamaan Kuadrat
Juga kita temukan selisih atau hasil pengurangan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat sebagai berikut:
Kita pun dapat menemukan rumus hasil kali dari akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut:
Berikut contoh penerapan rumus abc dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.
Berikut contoh cara menemukan hasil penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu mengetahui akar-akarnya sendiri. Namun dalam contoh ini diketahui akar-akarnya agar kita yakin validitas atau kebenaran dari rumus ini.
Sekarang kita membuktikan kebenaran rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat secara langsung.
Membentuk Persamaan Kuadrat
Di atas kita telah menemukan cara mencari akar-akar persamaan kuadrat. Sekarang sebaliknya, dari akar-akar persamaan kuadrat yang telah diketahui, kita akan mencari bentuk persamaan kuadratnya.
Penerapannya adalah sebagai berikut:
Latihan soal-soal Persamaan kuadrat: