Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang salah satu variabelnya pangkat 2 dan merupakan pangkat terbesar dalam persamaan tersebut. Contohnya sebagai berikut:
Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Untuk diketahui suatu persamaan pangkat n memiliki penyelesaian paling banyak n bilangan. Demikian juga dengan persamaan kuadrat, karena berpangkat 2 maka terdapat paling banyak 2 penyelesaian. Bisa hanya satu atau tidak memiliki penyelesaian bilangan real.
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Berikut contoh penyelesaian dari beberapa persamaan kuadrat.
Ada beberapa cara untuk menemukan penyelesaian dari persamaan kuadrat. Salah satunya dengan cara faktorisasi. Kita perlu mengingat kembali apa yang dimaksud dengan faktorisasi. Contohnya bilangan 12 dapat ditulis menjadi 2 x 6 dan 3 x 4 karena 2, 6, 3, dan 4 merupakan faktor-faktor dari 12.
a. Faktorisasi Persamaan Kuadrat
Berikut penulisan faktorisasi persamaan kuadrat.
Setelah melakukan faktorisasi perlu diingat kembali jika a x b = 0 maka salah satu a = 0 atau b = 0. Begitu juga jika 2x(x-b)=0 maka x=0 atau (x-b)=0. Dari contoh di atas terdapat 2 penyelesaian.
Berikut contoh lainnya.
Untuk melakukan faktorisasi aljabar, terlebih dahulu kita perlu mengingat kembali materi perkalian aljabar. Kalau dalam perkalian aljabar kita melakukan operasi perkalian aljabar sehingga menemukan hasilnya, sedangkan dalam faktorisasi aljabar dari hasil perkalian tersebut kita mencari faktor-faktornya. Berikut contoh-contohnya.
b. Melengkapi kuadrat sempurna
Kita dapat juga menemukan penyelesaiannya dengan cara mengubah persamaan kuadrat tersebut ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Contohnya sebagai berikut:
Namun, ada pula persamaan kuadrat yang tidak dapat dibentuk menjadi kuadrat sempurna. Untuk mengatasinya kita perlu menambah dan mengurangi dengan bilangan yang sama sedemikian sehingga persamaan kuadrat tersebut dapat dibentuk menjadi kuadrat sempurna. Contohnya sebagai berikut:
Berikut contohnya lagi. Perhatikan, sebelum membuat menjadi persamaan kuadrat kita faktorkan dulu dengan cara distributif agar lebih mudah, koefisien variabel kuadrat kita jadikan bilangan 1, sehingga semua koefisien dan kontanta dibagi koefisien dari variabel kuadrat. Berikut contohnya.
c. Rumus abc
Selanjutnya kita akan mencoba mencari rumus penyelesaiannya dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. Cukup panjang, tapi kita harus tetap tekun ya, agar kita paham bahwa semua rumus didapat melalui proses.
Akhirnya kita temukan rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumus di atas dikenal dengan rumus abc. Rumus yang ada di dalam akar disimbolkan dengan huruf D = Diskriminan.
Dari nilai diskriminan dapat diketahui bahwa jika D > 0 akar-akar penyelesaiannya merupakan bilangan real dan berlainan. Jika D = 0 maka akar-akarnya hanya satu atau dikatakan akar-akarnya bialnagn kembar karena sama, sedangkan jika D < 0 tidak mempunyai akar real. Akarnya adalah bilangan imajiner yaitu bilangan akar negatif yang pada kenyataannya tidak ada dalam kehidupan sehari-hari, hanya digunakan dalam pembelajaran matematika tingkat lanjut.
Penjumlahan, Selisih, dan Perkalian akar-akar Persamaan Kuadrat
Juga kita temukan selisih atau hasil pengurangan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat sebagai berikut:
Kita pun dapat menemukan rumus hasil kali dari akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut:
Berikut contoh penerapan rumus abc dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.
Berikut contoh cara menemukan hasil penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu mengetahui akar-akarnya sendiri. Namun dalam contoh ini diketahui akar-akarnya agar kita yakin validitas atau kebenaran dari rumus ini.
Sekarang kita membuktikan kebenaran rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat secara langsung.
Membentuk Persamaan Kuadrat
Di atas kita telah menemukan cara mencari akar-akar persamaan kuadrat. Sekarang sebaliknya, dari akar-akar persamaan kuadrat yang telah diketahui, kita akan mencari bentuk persamaan kuadratnya.
Penerapannya adalah sebagai berikut:
