Persamaan Linear

Persamaan Linear adalah persamaan yang semua variabelnya berpangkat satu. Bentuk umumnya adalah y = mx + c. Di sini variabelnya adalah x dan y. Jika x merupakan variabel bebas, maka y adalah variabel terikat dimana nilai variabel y tergantung oleh nilai variabel x mengikuti rumus y = mx + c. Nilai m adalah gradien dari persamaan tersebut sedangkan c adalah konstanta. 

Contoh persamaan-persamaan linear adalah sebagai berikut:

Persamaan linear dapat juga dinyatakan secara implisit seperti pada gambar berikut:

Sehingga dengan cepat kita juga dapat menentukan gradiennya: 

Karena dalam persamaan itu terdapat 2 variabel x dan y yang saling berhubungan, maka keduanya dapat dinyatakan sebagai koordinat dan dapat digambar dalam bentuk Grafik Cartesius. 

Ternyata pada persamaan linear setiap koordinatnya membentuk garis lurus. Sehingga kita tidak harus mencari semua pasangan koordinatnya, cukup 2 titik saja seperti pada contoh berikut:

Berikut contoh lain dalam menggambar grafik persamaan linear atau persamaan garis lurus dalam Bidang Cartesius:

Selanjutnya kita dapat hanya menggunakan 2 pasang koordinat pada persamaan linear tersebut.

Setiap pasangan koordinat pada garis lurus memenuhi persamaannya. Sehingga jika titik P yang memiliki koordinat (a, b) pada suatu garis lurus y=mx+c maka hubungan absis a  dengan ordinat b adalah: b=ma+c.

Jika absis a diketahui maka cara menentukan ordinat b adalah sebagai berikut:

Sebaliknya jika kita mengetahui persamaan linear dari suatu garis dan suatu titik pada garis tersebut diketahui ordinatnya, maka kita dapat mencari absis titik tersebut dengan cara sebagai berikut: 

Berikut cara menentukan persamaan linear suatu garis yang diketahui gradien dan titik yang dilaluinya.

Pada setiap persamaan linear selalu ada yang namanya gradien. Untuk mengetahui pengaruh gradien terhadap suatu garis, perhatikan gambar berikut!

Untuk gradien yang nilainya negatif perbedaannya adalah sebagai berikut:

Ternyata gradien suatu garis menentukan apakah garis tersebut dari kiri ke kanan menanjak atau melandai. Untuk gradien positif dari kiri ke kanan menanjak, sedangkan yang negatif melandai. Untuk nilai mutlak (dianggap positif meskipun negatif) dari gradien semakin besar semakin tajam kemiringannya. Dapat diartikan kemiringan adalah perbandingan panjang garis vertikal dengan panjang garis horizontal dari dua titik pada garis tersebut:

Sehingga selain dengan cara sebelumnya yang sudah kita pelajari, kita juga dapat menemukan cara menentukan persamaan garis lurus yang diketahui gradiennya dan sebuah titik yang dilewati garis tersebut. 

Jika gradiennya belum diketahui, tetapi dua titik yang dilalui garis tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan gradiennya dengan cara sebagai berikut:

Contoh soalnya sebagai berikut:

Jika suatu garis lurus melalui titik (a, 0) pada sumbu-x dan titik (0, b) pada sumbu-y, dengan cara di atas kita dapat menemukan rumus baru lagi sebagai berikut:

Tetapi ingat, rumus itu hanya berlaku jika titik-titik yang diketahui tepat berada pada sumbu koordinat.

Contohnya sebagai berikut:

Garis Sejajar

Gradien suatu garis menentukan kemiringannya, sehingga garis-garis yang gradiennya sama maka kemiringannya sama, atau garis-garis tersebut sejajar. Perhatikan dengan garis-garis berikut!

Semua garis-garis di atas memiliki gradiennya yang sama yaitu -2. Kelihatan semua garis tersebut sejajar. 

Jika ada suatu garis tidak diketahui gradiennya, namun dikatakan sejajar dengan garis lain, kita dapat menggunakan gradien garis tersebut. Contoh soalnya sebagai berikut:

Sekarang kita perhatikan bagaimana dengan garis-garis yang saling tegak lurus.

Ternyata hasil kali gradiennya adalah -1.  Kita coba lihat contoh yang lain:

Ya, ternyata sama. Semua garis yang saling tegak lurus, hasil kali gradiennya selalu -1.

Sehingga jika suatu persamaan garis belum diketahui gradiennya, tetapi diketahui tegak lurus dengan garis lain, maka kita dapat menentukan gradien garis itu dengan nilai yang jika dikalikan dengan gradien garis tersebut hasilnya -1. Atau suatu nilai yang tandanya berlawanan dan nilanya berkebalikan dengan gradien garis yang tegaklurus tersebut. 

Contohnya sebagai berikut:

Kita lihat, inilah hasilnya.

Jika garisnya horizontal, bagaimana persamaannya? Perhatikan gambar berikut:

Ternyata garis horizontal gradiennya 0. Sehingga jika dibuat persamaannya adalah y= y₁  dimana y₁ adalah ordinat titik-titik yang dilalui oleh garis tersebut. Contohnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

Sedangkan untuk garis vertikal, penjelasannya sebagai berikut:

Ternyata garis tegak, tidak memiliki gradien. Sehingga persamaannya adalah x = x₁  dimana x₁ adalah absis dari titik-titik yang dilalui oleh garis tersebut. 

Oke, kita sudah mempelajari semua bentuk garis lurus. Supaya lebih menguasai, mari kita berlatih soal-soal:

Persamaan garis lurus.