Belajar Logaritma
Memahami konsep, menjelajahi grafik, dan menyelesaikan masalah logaritma langkah demi langkah.
Tujuan pembelajaran: Siswa mampu menjelaskan hubungan eksponen dan logaritma, menentukan nilai logaritma sederhana, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.
A. Mengapa Kita Belajar Logaritma?
Anak-anak, pada materi eksponen kita sudah mengenal bentuk seperti berikut.
Artinya, bilangan 2 dipangkatkan 3 menghasilkan 8.
Sekarang, bagaimana jika kita mengetahui bahwa \(2^x=8\)? Kita tentu dapat menentukan bahwa \(x=3\).
Bagaimana jika persamaannya menjadi \(2^x=100\)? Pangkat berapakah yang harus kita gunakan? Kita tidak selalu dapat menemukannya dengan menebak.
B. Pengertian Logaritma
Perhatikan hubungan berikut.
Bentuk tersebut dapat ditulis sebagai logaritma.
Kedua bentuk itu menyatakan hal yang sama. Angka 3 merupakan pangkat yang harus diberikan kepada 2 agar menghasilkan 8.
Hubungan eksponen dan logaritma
Artinya, \(a\) dipangkatkan \(b\) menghasilkan \(c\), setara dengan logaritma basis \(a\) dari \(c\) bernilai \(b\).
Keterangan:
- \(a\) adalah basis atau bilangan pokok.
- \(c\) adalah numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya.
- \(b\) adalah hasil logaritma atau pangkat yang dicari.
Contoh perubahan bentuk
| Bentuk Eksponen | Bentuk Logaritma |
|---|---|
| \(2^3=8\) | \(\log_2 8=3\) |
| \(3^2=9\) | \(\log_3 9=2\) |
| \(5^3=125\) | \(\log_5 125=3\) |
| \(10^2=100\) | \(\log_{10}100=2\) |
| \(4^0=1\) | \(\log_4 1=0\) |
| \(3^{-2}=\frac19\) | \(\log_3\frac19=-2\) |
Perhatikan polanya: basis tetap sama, hasil pemangkatan menjadi numerus, dan pangkat menjadi hasil logaritma.
C. Eksplorasi Grafik Eksponen dan Logaritma
Fungsi eksponen dan logaritma merupakan dua fungsi yang saling berkaitan. Untuk basis \(a>0\) dan \(a\ne1\), hubungan keduanya dapat ditulis sebagai berikut.
Grafik kedua fungsi merupakan bayangan cermin terhadap garis \(y=x\). Mari kita amati melalui grafik berikut.
Garis biru menunjukkan fungsi eksponen, garis hijau menunjukkan fungsi logaritma, dan garis putus-putus menunjukkan \(y=x\).
Coba pikirkan:
- Apa yang terjadi pada nilai \(a^x\) ketika \(x\) bertambah jika \(a>1\)?
- Mengapa grafik logaritma hanya berada pada daerah \(x>0\)?
- Apa yang terjadi pada grafik ketika basis diubah menjadi \(\frac12\)?
D. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1 — Menentukan nilai logaritma
Tentukan nilai \(\log_2 16\).
Pembahasan:
Misalkan \(\log_2 16=x\). Bentuk eksponennya adalah
Karena \(2^4=16\), maka
Contoh 2 — Hasil logaritma negatif
Tentukan nilai \(\log_3\frac{1}{27}\).
Pembahasan:
Jadi, \(x=-3\).
Ingat, hasil logaritma boleh negatif meskipun numerusnya harus positif.
Contoh 3 — Menentukan numerus
Jika \(\log_5 x=3\), tentukan nilai \(x\).
Pembahasan:
Contoh 4 — Logaritma dengan hasil nol
Tentukan nilai \(\log_7 1\).
Pembahasan: Kita mencari pangkat yang membuat 7 menghasilkan 1.
E. Penerapan Logaritma
1. Gempa bumi
Skala magnitudo gempa menggunakan hubungan logaritmik. Kenaikan satu satuan magnitudo berkaitan dengan kenaikan sepuluh kali amplitudo gelombang seismik pada kondisi pengukuran yang sebanding.
2. Tingkat keasaman (pH)
Dalam kimia, pH berkaitan dengan logaritma konsentrasi ion hidrogen. Pada kondisi larutan encer yang sebanding, perbedaan satu satuan pH menunjukkan perbedaan sepuluh kali konsentrasi ion hidrogen.
3. Pertumbuhan bakteri
Misalkan jumlah bakteri mengikuti model
dengan \(N(t)\) menyatakan jumlah bakteri setelah \(t\) jam.
Berapa jam diperlukan agar jumlah bakteri mencapai 800?
Jadi, diperlukan 3 jam, dengan asumsi pertumbuhan berlangsung sesuai model tersebut.
F. Latihan Mandiri
Kerjakan soal-soal berikut sebelum memeriksa jawaban. Pilih satu jawaban yang paling tepat pada setiap soal.
G. Ringkasan Materi
- Logaritma adalah cara untuk mencari pangkat.
- Basis harus positif dan tidak sama dengan 1.
- Numerus harus positif.
- Hasil logaritma dapat positif, nol, atau negatif.
- Eksponen dan logaritma merupakan dua operasi yang saling berkaitan.