Matriks Transformasi
Memahami bagaimana titik dan bangun geometri berpindah, berputar, dicerminkan, atau diubah ukurannya menggunakan matriks.
1. Apa itu transformasi geometri?
Transformasi geometri adalah pemetaan yang mengubah posisi, arah, atau ukuran suatu titik maupun bangun pada bidang koordinat. Setiap titik awal disebut objek, sedangkan hasil pemetaannya disebut bayangan.
Untuk transformasi linear, titik asal \(O(0,0)\) tetap. Translasi (pergeseran) tidak mempertahankan titik asal, sehingga translasi dapat ditulis dengan matriks koordinat homogen berukuran \(3\times3\).
2. Matriks untuk berbagai transformasi
Pencerminan terhadap sumbu X
Pencerminan terhadap sumbu Y
Pencerminan terhadap garis \(y=x\)
Rotasi berpusat O
Dilatasi berpusat O
Geser horizontal
3. Translasi dengan koordinat homogen
Translasi sejauh \(p\) satuan ke kanan dan \(q\) satuan ke atas mengubah \((x,y)\) menjadi \((x+p,y+q)\). Bentuk matriks homogen:
4. Grafik interaktif: amati perubahan bangun
Pilih jenis transformasi, ubah parameter, lalu amati bagaimana segitiga ABC berubah. Koordinat titik bayangan juga akan diperbarui otomatis.
5. Contoh soal dan pembahasan
Titik \(A(3,2)\) dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan koordinat bayangannya!
Penyelesaian:
\[ T=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} \] Jadi, \(A'(3,-2)\).Titik \(B(2,1)\) dirotasikan sebesar \(90°\) dengan pusat O. Tentukan bayangannya!
Penyelesaian: Untuk \(90°\), \(\cos90°=0\) dan \(\sin90°=1\).
\[ T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix} \] Jadi, \(B'(-1,2)\).Titik \(C(-2,3)\) didilatasikan dengan pusat O dan faktor skala \(k=2\).
\[ T=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix} \] Jadi, \(C'(-4,6)\).Titik \(P(1,2)\) dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam. Tentukan bayangan akhirnya!
Refleksi sumbu Y: \((1,2)\rightarrow(-1,2)\).
Rotasi 90°: \((x,y)\rightarrow(-y,x)\), sehingga \((-1,2)\rightarrow(-2,-1)\).
Bayangan akhir adalah \(P''(-2,-1)\).Urutan transformasi penting. Matriks transformasi kedua dikalikan di sebelah kiri matriks pertama: \(T_{akhir}=T_2T_1\).
6. Komposisi matriks transformasi
Jika suatu titik mengalami dua transformasi, misalnya pertama \(T_1\), kemudian \(T_2\), maka:
Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif, artinya \(T_2T_1\ne T_1T_2\). Karena itu, urutan transformasi harus diperhatikan.
7. Latihan soal
Kerjakan terlebih dahulu sebelum membuka pembahasan!
8. Soal uraian dan aplikasi
- Titik \(A(2,3)\), \(B(4,1)\), dan \(C(1,-2)\) dicerminkan terhadap garis \(y=x\). Tentukan koordinat \(A'\), \(B'\), dan \(C'\)!
- Titik \(P(-3,2)\) dirotasikan 180° dengan pusat O. Tentukan matriks transformasi dan koordinat bayangannya!
- Segitiga dengan titik \(A(1,2)\), \(B(3,2)\), dan \(C(2,4)\) ditranslasikan oleh vektor \(\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\). Tentukan koordinat ketiga titik bayangan!
- Titik \(K(2,1)\) terlebih dahulu didilatasikan dengan faktor 2, kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan koordinat akhirnya dan matriks komposisinya!
- Aplikasi: Sebuah desain logo pada layar komputer memiliki titik sudut \(A(1,1)\), \(B(4,1)\), dan \(C(2,3)\). Desainer ingin memperbesar logo dua kali terhadap titik pusat koordinat. Jelaskan bagaimana matriks dilatasi mengubah koordinat dan ukuran logo tersebut!
9. Kunci jawaban soal uraian
Buka kunci jawaban dan pembahasan
1. Refleksi \(y=x\): \((x,y)\rightarrow(y,x)\).
\(A'(3,2),\quad B'(1,4),\quad C'(-2,1)\).2. Matriks rotasi 180° adalah \(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\). Maka \(P(-3,2)\rightarrow P'(3,-2)\).
3. Tambahkan vektor translasi \((-2,3)\): \(A'(-1,5)\), \(B'(1,5)\), dan \(C'(0,1)\).
4. Matriks dilatasi \(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\), refleksi X \(R=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\). Matriks komposisi \(RD=\begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}\). Jadi \(K(2,1)\rightarrow(4,2)\rightarrow K''(4,-2)\).
5. Matriks dilatasi \(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\). Koordinat menjadi \(A'(2,2)\), \(B'(8,2)\), dan \(C'(4,6)\). Setiap jarak dari pusat O menjadi dua kali, sehingga panjang sisi logo menjadi dua kali dan luasnya menjadi empat kali.
Rangkuman
- Matriks transformasi memetakan koordinat titik menjadi koordinat bayangan.
- Refleksi mengubah posisi titik secara simetris terhadap garis cermin.
- Rotasi memutar titik terhadap pusat dengan sudut tertentu.
- Dilatasi mengubah ukuran berdasarkan faktor skala.
- Translasi dapat dinyatakan menggunakan koordinat homogen.
- Dalam komposisi, transformasi yang dilakukan lebih dahulu berada di sebelah kanan perkalian matriks.
Refleksi: Bagaimana matriks membantu kita memprediksi posisi baru suatu bangun tanpa harus menggambarnya ulang satu per satu?