Navigasi Materi

📚 PILIH MATERI
Bilangan Aljabar Geometri Data & Peluang Soal & Latihan STEM & Robotik Calculus Game Laboratorium Matematika

Fungsi Mutlak

MATEMATIKA SMA

Fungsi Mutlak
Absolute Value Function

Memahami konsep, persamaan, pertidaksamaan, grafik, transformasi, dan penerapan nilai mutlak dalam kehidupan sehari-hari.

A. Konsep Dasar Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Karena jarak tidak pernah negatif, nilai mutlak selalu positif atau nol.

Contoh 1
|5| = 5
Contoh 2
|−5| = 5
Contoh 3
|0| = 0

Definisi formal

|x| = x, jika x ≥ 0
|x| = −x, jika x < 0

Sifat-sifat nilai mutlak

|a| ≥ 0   dan   |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0
|−a| = |a|    |ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b|, dengan b ≠ 0
|a + b| ≤ |a| + |b|

Sifat terakhir disebut pertidaksamaan segitiga.

B. Pengertian Fungsi Mutlak

Fungsi mutlak adalah fungsi yang memuat variabel di dalam tanda nilai mutlak. Bentuk paling sederhana adalah:

f(x) = |x|

Salah satu bentuk umumnya adalah:

f(x) = a|x − h| + k, dengan a ≠ 0

Grafik fungsi ini berbentuk huruf V atau V terbalik. Titik puncaknya adalah (h, k).

Mengubah fungsi mutlak menjadi fungsi pecahan kasus

Misalkan f(x) = |x − 2|. Bagian di dalam nilai mutlak bernilai nol ketika x = 2.

f(x) = x − 2, jika x ≥ 2
f(x) = −x + 2, jika x < 2

Artinya, grafik terdiri atas dua bagian garis lurus yang bertemu di titik (2, 0).

C. Grafik dan Transformasi Fungsi Mutlak

Perhatikan bentuk umum berikut:

f(x) = a|x − h| + k
ParameterPengaruh pada grafik
a > 0Terbuka ke atas
a < 0Terbuka ke bawah
|a| > 1Grafik lebih sempit
0 < |a| < 1Grafik lebih lebar
hPergeseran horizontal; titik puncak memiliki absis h
kPergeseran vertikal; titik puncak memiliki ordinat k
Ingat! Titik puncak grafik adalah (h, k), sumbu simetrinya x = h. Jika a positif, nilai minimum fungsi adalah k. Jika a negatif, nilai maksimum fungsi adalah k.
LABORATORIUM INTERAKTIF

Eksplorasi Grafik f(x) = a|x − h| + k

Geser slider untuk mengubah nilai a, h, dan k. Amati perubahan grafik dan posisi titik puncaknya!

f(x) = |x|

Titik puncak (0, 0). Grafik terbuka ke atas.

Petunjuk: titik berwarna jingga menunjukkan titik puncak. Sumbu koordinat dan angka skala ditampilkan pada grafik.

Contoh soal grafik

Diketahui f(x) = 2|x − 3| − 4. Tentukan titik puncak, sumbu simetri, arah terbuka, dan titik potong sumbu koordinat.

Pembahasan:
Diperoleh a = 2, h = 3, dan k = −4.
Titik puncak = (3, −4).
Sumbu simetri: x = 3.
Grafik terbuka ke atas karena a positif.

Titik potong sumbu X:
2|x − 3| − 4 = 0
|x − 3| = 2
x − 3 = 2 atau x − 3 = −2
x = 5 atau x = 1.
Jadi titik potong sumbu X adalah (5, 0) dan (1, 0).

Titik potong sumbu Y: f(0) = 2|−3| − 4 = 2.
Jadi titik potong sumbu Y adalah (0, 2).

D. Persamaan Nilai Mutlak

Untuk b ≥ 0, persamaan |A| = b setara dengan A = b atau A = −b. Jika b negatif, persamaan tidak memiliki penyelesaian real.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian |2x − 5| = 7.

Kasus 1: 2x − 5 = 7, sehingga x = 6.
Kasus 2: 2x − 5 = −7, sehingga x = −1.
Jadi HP = {−1, 6}.

Contoh 2: Ruas kanan memuat variabel

Tentukan penyelesaian |x − 2| = x + 1.

Syarat: x + 1 ≥ 0, sehingga x ≥ −1.
Kasus 1: x − 2 = x + 1, tidak menghasilkan solusi.
Kasus 2: x − 2 = −(x + 1), sehingga 2x = 1 dan x = 1/2.
Nilai tersebut memenuhi syarat. Jadi HP = {1/2}.

Contoh 3: Bentuk kuadrat

Tentukan penyelesaian |x² − 4| = 5.

Kasus 1: x² − 4 = 5, sehingga x² = 9 dan x = −3 atau x = 3.
Kasus 2: x² − 4 = −5, sehingga x² = −1. Tidak ada solusi real.
Jadi HP = {−3, 3}.

E. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Bentuk kurang dari
|A| < b
−b < A < b

Solusi berada di antara −b dan b.

Bentuk lebih dari
|A| > b
A < −b atau A > b

Solusi berada di luar interval.

Untuk tanda ≤ dan ≥, gunakan prinsip yang sama dengan menyertakan batas interval.

Contoh 1

Selesaikan |3x − 2| < 7.

−7 < 3x − 2 < 7
−5 < 3x < 9
−5/3 < x < 3.
HP = (−5/3, 3).

Contoh 2

Selesaikan |2x + 1| ≥ 5.

2x + 1 ≤ −5 atau 2x + 1 ≥ 5.
x ≤ −3 atau x ≥ 2.
HP = (−∞, −3] ∪ [2, ∞).

Contoh 3: Bentuk kuadrat

Selesaikan |x² − 5| < 4.

−4 < x² − 5 < 4
1 < x² < 9
−3 < x < −1 atau 1 < x < 3.
HP = (−3, −1) ∪ (1, 3).

F. Fungsi dengan Dua atau Lebih Nilai Mutlak

Untuk menyelesaikan bentuk seperti f(x) = |x + 2| + |x − 3|, tentukan terlebih dahulu titik kritis dengan membuat setiap bagian di dalam nilai mutlak sama dengan nol.

Titik kritisnya adalah x = −2 dan x = 3. Garis bilangan terbagi menjadi tiga interval:

IntervalBentuk fungsi
x < −2−2x + 1
−2 ≤ x < 35
x ≥ 32x − 1

Fungsi memiliki nilai minimum 5 untuk setiap x pada interval [−2, 3].

Contoh soal

Tentukan nilai minimum f(x) = |x − 1| + |x − 5|.

Jika 1 ≤ x ≤ 5, maka f(x) = (x − 1) + (5 − x) = 4. Di luar interval tersebut jumlah jaraknya lebih besar.
Nilai minimum = 4, dicapai untuk 1 ≤ x ≤ 5.

G. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

1. Jarak kendaraan

Mobil A berada pada posisi −3 km dan mobil B pada posisi 8 km terhadap titik acuan.

d = |8 − (−3)| = 11 km

2. Suhu ruangan

Suhu ideal 25°C dengan penyimpangan paling banyak 2°C.

|T − 25| ≤ 2
23 ≤ T ≤ 27

3. Toleransi ukuran

Panjang baut standar 10 cm dengan toleransi 0,05 cm.

|x − 10| ≤ 0,05
9,95 ≤ x ≤ 10,05

4. Waktu kedatangan

Bus dijadwalkan tiba pukul 08.00 dengan toleransi 10 menit. Jika t menyatakan selisih waktu dalam menit terhadap pukul 08.00:

|t| ≤ 10

Bus tiba antara pukul 07.50 dan 08.10.

5. Perkiraan harga

Harga perkiraan Rp50.000 dengan selisih maksimal Rp5.000. Jika x dalam ribuan rupiah:

|x − 50| ≤ 5
45 ≤ x ≤ 55

H. Latihan Soal

Kerjakan soal berikut di buku catatan sebelum membuka kunci jawaban!

Bagian 1 — Konsep dan grafik

  1. Tentukan nilai |−12| + |5| − |−7|.
  2. Nyatakan f(x) = |2x − 6| dalam bentuk fungsi pecahan kasus.
  3. Tentukan domain dan range f(x) = |x + 4| − 3.
  4. Tentukan titik puncak dan sumbu simetri f(x) = 3|x − 2| + 5.
  5. Tentukan arah terbuka dan titik potong sumbu X dari f(x) = −2|x + 1| + 6.

Bagian 2 — Persamaan

  1. Tentukan HP dari |4x − 3| = 9.
  2. Tentukan HP dari |2x + 5| = x + 2.
  3. Tentukan HP dari |x² − 9| = 0.
  4. Tentukan HP dari |3x − 1| = |x + 5|.
  5. Tentukan HP dari |x − 2| + |x + 2| = 6.

Bagian 3 — Pertidaksamaan

  1. Selesaikan |5x − 10| < 15.
  2. Selesaikan |3x + 2| ≥ 8.
  3. Tentukan HP dari |x² − 4| ≤ 5.
  4. Selesaikan |2x − 1| > |x + 2|.
  5. Tentukan HP dari |x − 3| + |x + 1| ≤ 6.

Bagian 4 — Aplikasi

  1. Suhu ideal laboratorium 24°C dengan penyimpangan paling banyak 3°C. Tentukan interval suhu yang diperbolehkan.
  2. Panjang benda direncanakan 20 cm dengan toleransi 0,2 cm. Tentukan panjang minimum dan maksimum.
  3. Mobil A berada pada posisi −12 km dan mobil B pada posisi 8 km. Tentukan jarak keduanya.
  4. Target nilai seorang siswa adalah 85 dengan penyimpangan paling banyak 5 poin. Tentukan interval nilai yang memenuhi.
  5. Mesin dirancang menghasilkan 100 unit per jam dengan penyimpangan paling banyak 8 unit. Tentukan interval produksi normal.

I. Kunci Jawaban dan Pembahasan

Klik setiap nomor untuk melihat pembahasannya.

1. Nilai mutlak|−12| + |5| − |−7| = 12 + 5 − 7 = 10.
2. Fungsi pecahan kasusf(x) = 2x − 6 untuk x ≥ 3, dan f(x) = −2x + 6 untuk x < 3.
3. Domain dan rangeDomain = semua bilangan real. Nilai minimum fungsi adalah −3, sehingga range = [−3, ∞).
4. Titik puncakTitik puncak (2, 5) dan sumbu simetri x = 2.
5. GrafikTerbuka ke bawah. −2|x + 1| + 6 = 0 menghasilkan |x + 1| = 3, sehingga x = −4 atau x = 2. Titik potong sumbu X: (−4, 0) dan (2, 0).
6. Persamaan4x − 3 = 9 atau 4x − 3 = −9. Diperoleh x = 3 atau x = −3/2. HP = {−3/2, 3}.
7. Persamaan dengan variabelSyarat x + 2 ≥ 0. Kasus 2x + 5 = x + 2 memberi x = −3, tidak memenuhi syarat. Kasus 2x + 5 = −x − 2 memberi 3x = −7, sehingga x = −7/3, juga tidak memenuhi syarat. HP = ∅.
8. Persamaan kuadrat|x² − 9| = 0 berarti x² − 9 = 0. Jadi HP = {−3, 3}.
9. Dua nilai mutlak3x − 1 = x + 5 memberi x = 3. Kasus 3x − 1 = −x − 5 memberi x = −1. HP = {−1, 3}.
10. Jumlah dua nilai mutlakUntuk x ≥ 2, persamaan menjadi 2x = 6 sehingga x = 3. Untuk x ≤ −2, menjadi −2x = 6 sehingga x = −3. Di antara −2 dan 2 jumlahnya 4, bukan 6. HP = {−3, 3}.
11. Pertidaksamaan−15 < 5x − 10 < 15. Tambahkan 10 dan bagi 5: −1 < x < 5. HP = (−1, 5).
12. Pertidaksamaan3x + 2 ≤ −8 atau 3x + 2 ≥ 8. Jadi x ≤ −10/3 atau x ≥ 2. HP = (−∞, −10/3] ∪ [2, ∞).
13. Pertidaksamaan kuadrat−5 ≤ x² − 4 ≤ 5, sehingga −1 ≤ x² ≤ 9. Syarat x² ≥ 0 selalu benar. Jadi −3 ≤ x ≤ 3. HP = [−3, 3].
14. Dua nilai mutlakKuadratkan kedua ruas: (2x − 1)² > (x + 2)². Selisih kuadrat memberi (x − 3)(3x + 1) > 0. Jadi HP = (−∞, −1/3) ∪ (3, ∞).
15. Jumlah dua nilai mutlakJumlah jarak dari x ke 3 dan ke −1 tidak lebih dari 6. Hasilnya −2 ≤ x ≤ 4. HP = [−2, 4].
16. Suhu|T − 24| ≤ 3, sehingga 21°C ≤ T ≤ 27°C.
17. Pengukuran|x − 20| ≤ 0,2, sehingga 19,8 cm ≤ x ≤ 20,2 cm.
18. Jarak kendaraand = |−12 − 8| = 20 km.
19. Nilai ujian|x − 85| ≤ 5, sehingga 80 ≤ x ≤ 90.
20. Produksi|x − 100| ≤ 8, sehingga produksi normal antara 92 dan 108 unit per jam.

J. Rangkuman

  1. Nilai mutlak menyatakan jarak suatu bilangan dari nol.
  2. Grafik y = |x| berbentuk V dan memiliki titik puncak (0, 0).
  3. Grafik y = a|x − h| + k memiliki titik puncak (h, k).
  4. Persamaan |A| = b untuk b ≥ 0 diselesaikan melalui A = b atau A = −b.
  5. Pertidaksamaan |A| < b menghasilkan interval di antara −b dan b.
  6. Pertidaksamaan |A| > b menghasilkan dua daerah di luar interval.
  7. Untuk beberapa nilai mutlak, tentukan titik kritis terlebih dahulu.
  8. Nilai mutlak dapat digunakan untuk memodelkan jarak, toleransi, dan penyimpangan.

Teruslah bereksplorasi, karena matematika menjadi lebih bermakna ketika kita memahami alasannya!